1.9. Простейшие свойства бесконечно малых величин.

Теорема 1. Сумма нескольких БМВ есть величина БМВ.

Доказательство:

Рассмотрим несколько БМВ . Для определенности пусть это будут функции одной переменной. По определению пределабудем иметь

.

Обозначим . Тогда

.

Следовательно

и

БМВ, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение БМВ на ограниченную величину есть БМВ.

Доказательство:

Для доказательства выберем любое число . Если, то можно считать, что. Тогда

.

Следовательно – БМВ, что и требовалось доказать.

1.10. Простейшие свойства пределов.

Теорема 1. Если величины имеют конечные пределы, то

.

Доказательство:

Обозначим

.

Тогда

.

Здесь – БМВ. Поэтому, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если величины имеют конечные пределы, то

Доказательство:

.

Что и требовалось доказать.

Теорема 3. Если величины имеют конечные пределы, причём, то

.

Доказательство:

Отметим, что величина отделима от нуля, и поэтому отношениеопределено в соответствующей области.

,

.

Что и требовалось доказать.

1.11. Сравнение бесконечно малых величин.

Все бесконечно малые величины в соответствующей области стремятся к нулю, при этом они могут стремиться к нулю с разными «скоростями». Например, при три функцииявляются БМВ. Из рисунка видно, что скорость приближения к оис абсцисс различная.

Отношение БМВ в зависимости от ситуации может стремиться к нулю, к конечному числу или бесконечности. Для оценки скорости стремления БМВ к нулю введем следующие определения.

1. Величины  и  называются БМВ одного порядка, если существует конечный ненулевой предел их отношения

(1.11.1)

2. Если

, (1.11.2)

то величины  и  называются эквивалентными БМВ. Обозначают эквивалентные величины

. (1.11.3)

3. Если

, (1.11.4)

то величину  называют БМВ высшего порядка по отношению к величине . Обозначают этот факт

. (1.11.5)

4. Величина  называется БМВ п-го порядка по отношению к величине , если  и есть БМВ одного порядка

(1.11.6)

5. Если предел отношения не существует или его трудно вычислить, но само отношение есть ограниченная величина

, (1.11.7)

то обозначают этот факт так

. (1.11.8)

Аналогичные понятия можно ввести и для сравнения скорости роста ББВ.

1.12. Свойства эквивалентных бмв. Главная часть бмв и ббв.

Теорема 1. Если , то.

Доказательство:

.

Теорема 2. Если , то.

Доказательство:

.

Теорема 3. Предел отношения двух БМВ равен пределу отношения БМВ, эквивалентных заданным.

Доказательство:

.

Пусть БМВ представлена в виде суммы нескольких БМВ

, (1.12.1)

причем . Тогда самое крупное слагаемоеназываетсяглавной частью БМВ.

Главная часть БМВ определяется неоднозначно. Например,

. (1.12.2)

Теорема 4. БМВ эквивалентна своей главной части.

Доказательство:

.

В качестве иллюстрации рассмотрим два примера.

.

.

1.13. Предельный переход в неравенстве. Признаки существования предела. Замечательные пределы.

Теорема 1 (о предельном переходе в неравенстве). Если величины иимеют пределыа и b (соответственно), то при справедливо неравенство.

Доказательство:

Доказательство проведем от противного, предположив, что . Тогда, . Выберем, тогда в соответствующей области будем иметь

.

Последнее неравенство противоречит условию теоремы, значит , что и требовалось доказать.

Отметим, что в случае строгого неравенства для функцийнельзя получить строгое неравенство для пределов. Действительно,

.

Теорема 2 (Первый признак существования предела). Величина, заключенная между двумя другими величинами, имеющими один и тот же конечный предел, имеет тот же самый предел

.

Доказательство:

имеем

.

Теорема 3 (Первый замечательный предел).

. (1.13.1)

Доказательство:

Из рисунка

видно, что

,

,

,

или ,

так как

,

окончательно получаем

.

Что и требовалось доказать. Таким образом, при .

Дадим следующее определение.

Монотонно возрастающей переменной называется:

1. Числовая последовательность, если при.

2. Числовая функция одной переменной, если .

Аналогично вводится понятие монотонно убывающей переменной.

Теорема 4 (Второй признак существования предела, теорема Вейерштрасса).

Всякая монотонно возрастающая ограниченная переменная имеет конечный предел.

(Без доказательства)

Теорема 5 (Второй замечательный предел)

. (1.13.2)

Можно показать, что

,

и

.

Таким образом по теореме 4 второй замечательный предел существует. Его обозначают буквой e и называют числом Непера (это иррационально число, e=2.718281828…).

Существует еще две модификации второго замечательного предела

, (1.13.3)

и

. (1.13.4)