2.14.1. Главная часть бм

Пусть функция имеет в точке все производные нужного порядка и при этом

.

Тогда при функция является БМВ и ее представить формулой Тейлора имеет вид

(2.14.1)

Очевидно, что главная часть БMВ равна

,

где m – наименьший порядок производной отличной от нуля. Таким образом

. (2.14.2)

Напомним, что главная часть БМ определяется неоднозначно. Здесь она представлена наиболее просто – в виде степенной функции.

Пример. Найти главную часть функции .

Решение:

По формуле (2.14.2) получим

.

2.14.2 Возрастание и убывание функции

Пусть 0. Ограничимся в формуле Тейлора нулевым и первым слагаемыми

.

Таким образом, в окрестности точки поведение функции определяется линейной функцией. При в окрестности точки касательная вместе с функцией возрастает, а при – убывает. Если , то точка называется стационарной.

2.14.3. Экстремумы функции

Точка называется точкой локального минимума функции , если существует некоторая окрестность этой точки, для любых точек которой выполняются неравенства

.

Точка называется точкой локального максимума функции , если существует некоторая окрестность этой точки, для любых точек которой выполняются неравенства

.

Понятие минимума и максимума объединяют одним словом – экстремум.

Пусть – стационарная точка, , а . Тогда вблизи точки

(2.14.3)

Соотношение (2.14.3) показывает, что знак приращения функции полностью определяется знаком второй производной . Если

,

то точка будет точкой локального минимума. Если

,

то точка будет точкой локального максимума.

В самом общем случае

,

и вблизи точки имеет место формула

. (2.14.4)

Постоянный знак у приращения функции будет только при четном m. В этом случае функция будет иметь экстремум ( – минимум, – максимум). Если же m – нечетное число, то экстремума в точке не будет.

Пример. Найти экстремум функции .

Решение:

Вычислим

;

;

Функция в точке имеет локальный минимум.

2.14.4. Выпуклость и вогнутость кривой.

График функции называется вогнутым на отрезке, если он на этом отрезке лежит не ниже любой своей касательной.

График функции называется выпуклым на отрезке, если он на этом отрезке лежит не выше любой своей касательной.

Установим связь между выпуклостью и вогнутостью графика функции и производными функции . Представим функциюформулой Тейлора, ограничиваясь тремя слагаемыми

. (2.14.5)

Обозначим – ординату графика функции,– ординату графика касательной линии. Тогда знак их разностиполностью определяется знаком производной второго порядка.

.

Если

,

то в окрестности точки график функции будет вогнутым.

Если

,

то в окрестности точки график функции будет выпуклым.

2.14.5. Точки перегиба кривой.

Точка , отделяющая промежуток выпуклости графика функции от промежутка вогнутости называетсяточкой перегиба.

Очевидно, что при переходе через точку перегиба вторая производная меняет свой знак, в самой точке перегиба либо не существует.

Пример. Найти точки перегиба функции .

Решение:

1. Находим абсциссы возможных точек перегиба

.

2. Проверяем, меняет ли вторая производная знак при переходе через точку.

3. Точка является точкой перегиба графика функции.

2.15. Формула Тейлора для числовой функции нескольких переменных.

Для числовой функции одной переменной была получена дифференциальная форма формулы Тейлора (2.12.13)

.

Можно показать, что эта форма является универсальной формой представления функций формулой Тейлора независимо от числа переменных.

Так для функции двух переменных в окрестности точкидифференциальная форма формулы Тейлора имеет вид

. (2.15.1)

Здесь .

Совершенно аналогично можно записать формулу Тейлора для случая любого количества переменных.

Для дальнейшего нам понадобится обычная не дифференциальная форма формулы Тейлора для функции двух переменных. Пользуясь формулами для дифференциалов высших порядков (2.9.3) запишем ее, ограничиваясь всего двумя слагаемыми.

. (2.15.2)