- •Самарский государственный университет
- •1. Введение в математический анализ
- •1.1. Числовая функция одной переменной.
- •1.2. Числовая функция нескольких переменных.
- •1.3. Числовая последовательность.
- •1.5. Предел числовой последовательности.
- •1.6. Предел числовой функции одной переменной.
- •1.7. Предел числовой функции нескольких переменных.
- •1.8. Бесконечно малые, ограниченные, бесконечно большие и отделимые от нуля величины.
- •1.9. Простейшие свойства бесконечно малых величин.
- •1.10. Простейшие свойства пределов.
- •1.11. Сравнение бесконечно малых величин.
- •1.12. Свойства эквивалентных бмв. Главная часть бмв и ббв.
- •1.13. Предельный переход в неравенстве. Признаки существования предела. Замечательные пределы.
- •1.14. Таблица основных эквивалентных бмв.
- •1.15. Непрерывность функций в точке.
- •1.16. Односторонние пределы и классификация точек разрыва.
- •1.17. Свойства функций непрерывных на отрезке.
- •2. Дифференциальное исчисление
- •2.1. Производная и дифференциал числовой функции одной переменной.
- •2.2. Геометрический смысл производной и дифференциала числовой функции одной переменной.
- •2.3. Сводка правил для вычисления производной.
- •2.4. Частные производные и полный дифференциал числовой функции нескольких переменных.
- •2.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала.
- •2.6. Вычисление производных и дифференциалов сложных функций.
- •2.7. Вычисление производных неявных функций.
- •2.8. Производные и дифференциалы высших порядков для числовой функции одной переменной.
- •2.9. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.
- •2.10. Свойства функций, дифференцируемых на интервале.
- •2.11. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •2.12. Формула Тейлора.
- •2.13. Представление некоторых функций по формуле Тейлора.
- •2.14. Приложения формулы Тейлора к исследованию функций
- •2.14.1. Главная часть бм
- •2.14.2 Возрастание и убывание функции
- •2.14.3. Экстремумы функции
- •2.14.4. Выпуклость и вогнутость кривой.
- •2.14.5. Точки перегиба кривой.
- •2.15. Формула Тейлора для числовой функции нескольких переменных.
- •2.16. Локальные экстремумы функции нескольких переменных.
- •2.17. Аппроксимация опытных данных по методу наименьших квадратов.
- •2.18. Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •2.19. Условные экстремумы числовой функции нескольких переменных.
- •2.20. Формулировка задачи линейного программирования
2.18. Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
Рассмотрим дифференцируемую функцию трех переменных (скалярное поле) . Каждая из ее трех частных производных
характеризует скорость роста функции в направлении координатных осей.
Выясним, какая величина характеризует скорость роста этого скалярного поля в направлении произвольной прямой.
Рассмотрим произвольную прямую в пространстве, направление которой задается единичным вектором .
Возьмем на прямой точку и точку . Эти точки образуют вектор , коллинеарный вектору.
Полное приращение функции
выражается через частные производные формулой (2.4.13)
,
или
. (2.18.1)
Разделим обе части равенства (2.18.1) на
.
Учитывая, что
,
находим
. (2.18.2)
Если существует предел
, (2.18.3)
то этот предел называется производной скалярного поля по направлению вектора .
Переходя в равенстве (2.18.2) к пределу при , получаем формулу для вычисления производной по направлению
. (2.18.4)
Три частных производных в качестве координат образуют вектор
, (2.18.5)
который называется градиентом скалярного поля в рассматриваемой точке .
Очевидно, что вектор – градиент и производная по направлению связаны соотношением
. (2.18.6)
Обозначим угол между векторами и – . Тогда
. (2.18.7)
Формула (2.18.7) показывает, что максимальное значение производной по направлению соответствует углу . Таким образом, вектор градиента указывает в пространстве направление максимального возрастания скалярного поля. Уголсоответствует направлению максимального убывания скалярного поля. Уголсоответствует направлению, в котором скалярное поле не изменяется.
Если рассмотреть поверхности уровня , на которых скалярное поле постоянно, то уравнение касательной плоскости к такой поверхности в точкеимеет вид
.
Частные производные выражаются через частные производныепо формула производных неявных функций
, .
Тогда уравнение касательной плоскости принимает вид
.
Главным вектором этой касательной плоскости является вектор градиента, следовательно, градиент направлен по нормали к поверхности уровня.
2.19. Условные экстремумы числовой функции нескольких переменных.
Пусть функция двух переменных выражает в количественном отношении некоторую цель (прибыль фирмы, транспортные расходы, производственные издержки и т.д.). Эта функция так и называется –целевая функция. Обычных локальных экстремумов эта функция может не иметь. На ее аргументы (обычно в их роли выступают некоторые ресурсы – закупаемое сырье, стоимость перевозок, зарплата работникам, электроэнергия, износ оборудования и т.д.) накладываются некоторые ограничения, которые связывают их функциональной зависимостью . Таким образом, формулируется задача отыскания экстремумов целевой функции при наложенных на аргументы ограничениях.
. (2.19.1)
Такие экстремумы называютсяусловными экстремумами.
Если уравнение можно разрешить относительно переменнойy, то поиск условного экстремума сведется к поиску обычного экстремума для функции одной переменной . Однако, как правило, решить нелинейное уравнение аналитически невозможно, поэтому для поиска условных экстремумов разработан специальный алгоритм –метод множителей Лагранжа.
Продифференцируем как сложную функцию, учитывая, что
.
Необходимое условие экстремума , дает
. (219.2)
Выражая из уравнения (2.19.2) производную , находим
. (2.19.3)
Вычислим теперь эту же производную как производную функции заданную неявно уравнением
. (2.19.4)
Сравнивая производные (2.19.3) и (2.19.4), получаем равенство
,
равносильное системе двух уравнений
.
Присоединяя к этой системе ограничение , получаем замкнутую систему уравнений
, (2.19.5)
относительно неизвестных . Решением системы (2.19.5) и будут условные экстремумы поставленной задачи.
Систему (2.19.5) легко получить с помощью вспомогательной функции Лагранжа
. (2.19.6)
Очевидно, что необходимые условия для обычных локальных экстремумов для функции Лагранжа (2.19.6) приводят нас снова к системе (2.19.5)
. (2.19.7)
Совершенно аналогично решается задача нахождения условных экстремумов в общем случае, когда целевая функция является функцией нескольких переменных, а на аргументы накладывается несколько условий. Задача отыскания условных экстремумов формулируется следующим образом
. (2.19.8)
Функция Лагранжа для такой задачи имеет вид
. (2.19.9)
Параметры называютсямножителями Лагранжа.
Пример. Найти кратчайшее расстояние от начала координат до кривой
.
Решение:
Целевая функция здесь имеет вид
.
Составляем функцию Лагранжа
.
Записываем необходимые условия локальных экстремумов
.
Из двух первых уравнений системы, находим
.
Исключаем из системы переменную .
Окончательно находим
.
Из рисунка видно, что в первой точке целевая функция достигает максимума, а во второй – минимума, причем
, .