ГОУ ВПО
Самарский государственный университет
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
САМАРА 2009
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ 2
1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 3
1.1. Числовая функция одной переменной. 3
1.2. Числовая функция нескольких переменных. 4
1.3. Числовая последовательность. 5
1.5. Предел числовой последовательности. 6
1.6. Предел числовой функции одной переменной. 7
1.7. Предел числовой функции нескольких переменных. 8
1.8. Бесконечно малые, ограниченные, бесконечно большие и отделимые от нуля величины. 9
1.9. Простейшие свойства бесконечно малых величин. 11
1.10. Простейшие свойства пределов. 11
1.11. Сравнение бесконечно малых величин. 12
1.12. Свойства эквивалентных БМВ. Главная часть БМВ и ББВ. 14
1.13. Предельный переход в неравенстве. Признаки существования предела. Замечательные пределы. 15
1.14. Таблица основных эквивалентных БМВ. 17
1.15. Непрерывность функций в точке. 17
1.16. Односторонние пределы и классификация точек разрыва. 18
1.17. Свойства функций непрерывных на отрезке. 20
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 20
2.1. Производная и дифференциал числовой функции одной переменной. 20
2.2. Геометрический смысл производной и дифференциала числовой функции одной переменной. 21
2.3. Сводка правил для вычисления производной. 23
2.4. Частные производные и полный дифференциал числовой функции нескольких переменных. 23
2.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала. 25
2.6. Вычисление производных и дифференциалов сложных функций. 27
2.7. Вычисление производных неявных функций. 28
2.8. Производные и дифференциалы высших порядков для числовой функции одной переменной. 30
2.9. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. 31
2.10. Свойства функций, дифференцируемых на интервале. 32
2.11. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 34
2.12. Формула Тейлора. 36
2.13. Представление некоторых функций по формуле Тейлора. 39
2.14. Приложения формулы Тейлора к исследованию функций 40
2.14.1. Главная часть БМ 40
2.14.2 Возрастание и убывание функции 40
2.14.3. Экстремумы функции 41
2.14.4. Выпуклость и вогнутость кривой. 42
2.14.5. Точки перегиба кривой. 43
2.15. Формула Тейлора для числовой функции нескольких переменных. 44
2.16. Локальные экстремумы функции нескольких переменных. 44
2.17. Аппроксимация опытных данных по методу наименьших квадратов. 47
2.18. Производная скалярного поля по направлению. Градиент. 49
2.19. Условные экстремумы числовой функции нескольких переменных. 50
2.20. Формулировка задачи линейного программирования 54
1. Введение в математический анализ
1.1. Числовая функция одной переменной.
Отображение
называетсячисловой
функцией одной переменной,
если
и
.
Обозначается функция одной переменной
–
,
множествоX
называется областью определения функции,
множество Y
– множеством значений функции.
Множество пар чисел
(1.1.1)
называется
графиком
функции
.
Оно определяет некоторую кривую в
декартовой системе координатОху.
Основными элементарными функциями называются следующие тринадцать функций:
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5.
,
6.
,
7.
,
8.
,
9.
,
10.
,
11.
,
12.
,
13.
.
Элементарными функциями называются все функции, которые можно образовать из тринадцати основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и операций взятия функции от функции.
Например
Не элементарными функциями являются, например
1. Функция Хевисайда
.
2. Функция знака
.
3. Функция Дирихле
.
Существует три способа задания функций –табличный, графический и аналитический. Классификация функций заданных аналитически (с помощью формул) представлена следующей схемой.
