1.17. Свойства функций непрерывных на отрезке.

Функция называетсянепрерывной на отрезке если она непрерывна в каждой точке интервала, а на концах отрезка выполняются равенства

.

Всевозможные функции непрерывные на отрезке образуют множество, которое называют – класс функций. Функцияявляется элементом этого множества

.

Теорема 1. (Об ограниченности непрерывной на отрезке функции).

Если , то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. (О наибольшем и наименьшем значении непрерывной на отрезке функции).

Если , то существуют такие точки, что

.

Теорема 3. Если , причем, то, каково бы ни было число, найдется хотя бы одна такая точка, в которой буде выполняться соотношение

.

и ,то для любого значе­нияС, заключенного между А и В, существует такая точка х₀[a, b], что (х₀) = С.

Все три теоремы принимаются без доказательства.

2. Дифференциальное исчисление

2.1. Производная и дифференциал числовой функции одной переменной.

Рассмотрим функцию одной переменной . Выберем в области определения произвольную точкуи зафиксируем ее. Дадим этой точке приращениеи образуем новую точку –. Вычислим приращение функции

(2.1.1)

Составим отношение приращений функции к приращению аргумента . Если существует предел этого отношения при, то этот предел называетсяпроизводной числовой функции одной переменной и обозначается

(2.1.2)

Применим к соотношению (2.1.2) теорему о связи величины, имеющей конечный предел с бесконечно малой величиной (Теорема 1, раздел 1.8)

(2.1.3)

Умножим равенство (2.1.3) на

. (2.1.4)

В правой части формулы (2.1.4) два слагаемых. Первое является линейным относительно и более крупным – это главная часть БМВ. Второе – нелинейно и является БМВ более высокого порядка малости, чем первое. Формулу (2.1.4) можно переписать в виде

(2.1.5)

Главная и линейная часть формулы (2.1.5) обозначается

, (2.1.6)

и называется дифференциалом числовой функции одной переменной.

Применим формулу (2.1.6) для функции

.

Таким образом, для независимой переменной получаем

.

Формула (2.1.6) принимает симметричный вид

, (2.1.7)

и мы получаем еще одно широко используемое обозначение производной

. (2.1.8)

Иногда используют формулу

.

Сформулируем без доказательства две теоремы о дифференцируемости числовых функций одной переменной.

Теорема 1. Для дифференцируемости числовой функции одной переменной необходимо и достаточно, чтобы для этой функции существовала конечная производная.

Теорема 2. Всякая дифференцируемая в некоторой точке числовая функция одной переменной непрерывна в этой точке.

2.2. Геометрический смысл производной и дифференциала числовой функции одной переменной.

Выясним, что означает производная и дифференциал функции одной переменной с точки зрения геометрии.

Из прямоугольных треугольников инаходим

.

Здесь – угол наклона секущей линии. Если тои секущая линия будет стремиться занять положение касательной линии. Тогда,

. (2.2.1)

Таким образом, геометрический смысл производной функции одной переменой состоит в том, что она равна тангенсу угла наклона касательной линии к графику функции в заданной точке.

Из прямоугольного треугольника находим

. (2.2.2)

Таким образом, геометрический смысл дифференциала функции одной переменной состоит в том, что он равен приращению ординаты касательной линии к графику функции в заданной точке.

Из курса физики известен физический смысл производной функции. Если есть функция пути по времени, то производная этой функцииесть скорость движения рассматриваемого объекта.