2.16. Локальные экстремумы функции нескольких переменных.

Точка называется точкой локального минимума функции двух переменных , если существует некоторая окрестность этой точки, для любых точек которой выполняются неравенства

.

Точка называется точкой локального максимума функции двух переменных , если существует некоторая окрестность этой точки, для любых точек которой выполняются неравенства

.

Установим связь между локальными экстремумами и частными производными функции . Для этого воспользуемся формулой (2.15.2). Из нее следует, что если хотя бы одна из частных производных первого порядка будет отлична от нуля, то при переходе через точку полное приращение функции изменит свой знак и локального экстремума не будет. Таким образом, должно выполнятся условие

. (2.16.1)

Соотношение (2.15.3) называется необходимым условием экстремума, точка соответствующая называется стационарной точкой.

Формула Тейлора (2.15.2) принимает вид

Обозначим , тогда выражение дляпринимает вид

. (2.16.2)

Формула (2.16.2) показывает, что знак полностью определяется знаком квадратного трехчлена. Он имеет постоянный знак только тогда, когда его дискриминант строго меньше нуля.

,

или

. (2.16.3)

Неравенство (2.16.3) представляет собой достаточное условие экстремума функции двух переменных. Иногда его записывают в форме определителя второго порядка

. (2.16.4)

Положительность или отрицательность приращения определяется знаком второй частной производной –. Еслито точка будет точкой максимума. Если то точка будет точкой минимума.

Если необходимое условие (2.16.1) выполняется, а достаточное условие не выполняется , то точка будет точкой минимакса.

Если , вопрос об экстремуме остается открытым, нужно исследование частных производных высших порядков.

Пример. Исследовать на локальный экстремум функцию .

Решение:

1. Найдем стационарные точки функции.

2. Вычислим величину

.

В точке имеем, поэтомуне является точкой экстремума. В точкеимеем. Поэтомуявляется точкой минимума, причём.

2.17. Аппроксимация опытных данных по методу наименьших квадратов.

Пусть в результате некоторого эксперимента по измерению двух величин х и у построена табличная функция состоящая из п точек

			…
			…

По этим данным требуется построить функцию в аналитической форме .

В идеале кривая должна проходить через все экспериментально полученные точки. На практике измерения величинимеют случайные погрешности.

Эти погрешности должны быть сглажены так, что бы аналитическая кривая имела минимально возможное удаление от всех экспериментальных точек одновременно.

По расположению экспериментальных точек определим вид искомой функции

. (2.17.1)

Здесь – параметры функции, выбором которых можно управлять.

Вычислим отклонения каждой экспериментальной точки от соответствующего значения теоретической функции

. (2.17.2)

Отклонения могут быть как положительными, так и отрицательными, поэтому в качестве величины характеризующей отклонение всей совокупности опытных точек от теоретической кривой, выбирается сумма квадратов всех отклонений

. (2.17.3)

Параметры подбирают так, что бы величина была минимальной

.

Подставляя сюда формулы (2.17.2), получаем

. (2.17.4)

Решая систему (2.17.4), можно найти стационарные точки функции (2.17.3). Обычно таких точек бывает ровно одна, она является точкой минимума и соответствует такой кривой семейства (2.17.1), для которой отклонение от совокупности опытных данных будет наименьшим.

Пример. Подобрать линейную зависимость электрического сопротивления молибдена от температуры, используя следующие опытные данные

	1178	1489	1988	2289
	28.94	37.72	52.70	61.97

Решение:

В качестве теоретической функции выберем линейную зависимость . Составим систему по формулам (2.17.4)

,

и получим

.

С помощью заданной таблицы, находим

Система уравнений принимает вид

.

В результате решения системы находим . Искомая линейная зависимость выражается соотношением

.