bardushkin

Глава I. Вероятностное пространство

Лекция № 1

§ 1. Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений.

Разница между закономерными и случайными событиями.

Закономерное событие – это событие, которое всегда осуществляется, как только создаются определённые условия.

Закономерное явление – это система закономерных событий.

Случайные события – это события, которые при одних и тех же условиях иногда происходят, а иногда

нет.

Однако случайные события подчиняются некоторым закономерностям, которые называются вероятностными закономерностями, при этом надо условится, что мы будем иметь дело не со всякими случайными событиями, а с массовыми, то есть будем предполагать, что в принципе можно создать много раз одни и те же условия, при каждом из которых могут произойти или нет некоторые случайные события.

Пусть при осуществлении некоторых условий (N раз), случайное событие A, будет осуществляться N(А)

раз.

Если N велико, относительная частота для случайных массовых событий обладает свойством устойчиво-

сти.

Относительная частота колеблется около определенного числа, которое характеризует данное случайное событие.

Р(А) – вероятность события А.

В теории вероятностей очень распространенным является подход, в котором событие определяется через неопределяемые понятия элементарного события.

Наиболее употребительная теоретико-вероятностная модель – урновая модель.

Пусть имеется урна с N одинаковыми шарами. Испытание состоит в том, что из урны случайно выбирается один шар.

{ 1, 2,..., n}

n – множество шаров в урне.

Если мы из урны выбираем шар i A, где A – некоторое подмножество , то мы будем говорить, что произошло событие A.

Если i A, где A – некоторое подмножество , то мы будем говорить, что событие A не произошло.

= { }

– пространство элементарных событий.

– элементарные события.

Замечания.

Операции суммы и произведения событий можно распространить на конечные и бесконечные множества событий.

В общем случае бесконечного пространства , мы будем брать не все подмножества в отличие от конечного, а лишь некоторые классы этих подмножеств, называемые алгебрами и - алгебрами этих подмножеств.

§ 3. Вероятностное пространство

Тройка ( , A, P), где

– это пространство элементарных событий;

A – -алгебра подмножеств , называемых событиями;

P – числовая функция, определенная на событиях и называемая вероятностью.

P называется вероятностным пространством, если выполнены следующие аксиомы:

A1. P(A) 0, A A.

A2. P( ) = 1 (нормированность P).

A3. P(A+B)=P(A) + P(B), если A B= (аддитивность).

событий из A такой, что

5.P( ) = 0

Доказательство:

+ =

Тогда по аксиоме 3 и 2 получаем,

P( ) + P( ) = P( ) P( ) + 1 = 1, P( ) = 0 . 6. Теорема сложения

A, B A

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Доказательство:

A + B = A + (B - AB), A (B - AB) =

P(A+B) = P(A) + P(B - AB), но AB B следовательно по первому свойству (вероятность от разности равна разности вероятностей).

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) .

Лекция № 2

§ 4. Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности

Рассмотрим случай конечного вероятностного пространства. В этом случае состоит из конечного

числа элементарных событий .= { }

A – алгебра всех подмножеств (ввиду конечности вероятностного пространства алгебра автоматически

ятностном пространстве).

Очевидно, что так определенная вероятность вместе P( ) 0 будет удовлетворять всем аксиомам.

Обозначим через A – количество элементов в множестве A .

Частным случаем определения вероятности по формуле (*) будет так называемое классическое определение вероятностей, когда все P будут равны друг другу, так как

Пример.

Бросается кубик на стол.1 = {выпадает 1}

2 = {выпадает 2} – свойства симметрии

§ 5. Элементы комбинаторики

Комбинаторика – это наука о том, сколько различных комбинаций удовлетворяющих условиям можно составить на элементах конечного множества.

Комбинаторные схемы

I. Правила суммы и произведения

Правило суммы

В общем случае правило произведения формируется следующим образом:

II. Размещения и сочетания

Набор элементов xi1, xi2, …, xin из множества X x1,..., xn называется выборкой объема r из n-

элементов <n, r>-выборка.

Выборка называется упорядоченной, если порядок следования элементов в ней задан.

Замечание

Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются различными.

Если порядок следования элементов не является существенным, то выборка называется неупорядочен-

ной.

В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов.

Упорядоченная <n, r>-выборка, в которой элементы могут повторяться, называется <n, r>-размещением с повторениями.

Упорядоченная <n, r>-выборка элементы, которой попарно различны, называется <n, r>-размещением без повторений (<n, r>-размещением).

Замечание

<n, n>-размещения без повторений называются перестанов-ками множества X .

Неупорядоченная <n, r>-выборка, в которой элементы могут повторяться, называется <n, r>-сочетанием с повторениями.

Неупорядоченная <n, r>-выборка элементы, которой попарно различны, называется <n, r>-сочетанием без повторений (<n, r>-сочетанием).

Замечание

Любое <n, r>-сочетание можно рассматривать, как r-элемент-ное подмножество n-элементного множе-

ства.

Примерa,b,c, d,e , n 5 <5,3> - сочетание без повторений.a,c,e

х элементного множества).

Anr = nr

Доказательство:

Каждое <n,r>-размещение с повторениями является упорядоченной последовательностью длины r Причем каждый элемент этой последовательности может быть выбран n-способами.

По правилу произведения получаем

Anr = n n n ... n nr .

Теорема 2.