Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

bardushkin

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

2.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

n
D X1 ... X n D X K 2	cov X K , X l
K 1	1 K l n

(доказательство проводится методом математической индукции).

Лекция № 16

§ 7. Условные числовые характеристики системы СВ (X;Y). Регрессия.

О п р е д е л е н и е .

Условным математическим ожиданием одной из СВ входящих в систему (X; Y) называется ее МО вычисленное при условии, что другая СВ приняла определенное значение.

З а м е ч а н и е .

То есть МО найденное на основе условного закона распределения.

Если СВ

X ;Y дискретные, то

m M Y X xi y j P Y y j X xi

j 1

n M X Y y j xi P X xi Y y j

i 1 Если СВ X и Y непрерывные, то

M Y X x y fY y X x dy

M X Y y x f X x Y y dx

О п р е д е л е н и е .



M Y X M X Y



x x y y

называется регрессией Y на x.

называется регрессией X на y.

Графики этих зависимостей от x и от y называются линиями регрессии или кривыми регрессии.

M[Y|X = x]

	)
	x
(

M[X|Y = y]

Пример.

Y	0	2	5	Pi
X	0	2	5	Pi
X
1	0,1	0	0,2	0,3
2	0	0,3	0	0,3
4	0,1	0,3	0	0,4
P j	0,2	0,6	0,2	

Построить линии регрессии Y на x и X на y.

P Y

P Y 0	X 1	0,1

		0,3

2 X 1 00,3 0

P Y 5 X 1 0,20,3

1
3
M Y X 1 0	1	2	0	5	2	10
M Y X 1 0	3	2	0	5	3	3
	3				3	3
2

3

3 3

2 3 2 1

1			2	3	4	x
P Y 0		X 2	0	0
			0
			0,3
P Y 2 X 2			0,3
			0,3	1
			0,3	1
			0,3
P Y 5	X 2		0	0
			0
			0,3
			0,3

M Y X 2 0 0 1 2 0 5 2
P Y 0		X 4	0,1				1
			0,1				1
			0,4				4
P Y 2		X 4	0,4				4
				0,3				3
				0,3				3
			0,4				4
P Y 5	X 4		0,4				4
					0	0
					0
			0,4
M Y X 4 0			0,4
			1			3	0		5	3
			4			2	0		5	2
			4			2				2

P X 1Y 0				0,1			1
P X 1Y 0				0,2			2
				0,2			2
P X 2			Y 0	0		0
				0
				0,2
				0,2
			M X Y 0 1							1	2 0 4	1	2	1		5
			M X Y 0 1								2 0 4		2
									2		2			2	2
P X 4		Y 0		0,1			1
				0,1			1
				0,2			2
P X 1Y 2				0,2			2
				0		0
				0,6		0
				0,6
P X 2		Y 2		0,3			1		M X Y 2 1 0 2					1	4		1	3
				0,3			1							1			1
				0,6			2							2			2
P X 4		Y 2		0,6			2							2			2
					0,3			1
					0,3			1
				0,6			2
P X 1	Y 5			0,6			2
				0,2		1
				0,2
				0,2
P X 2			Y 5	0,2		0 M X Y 5 1 1 2 0 4 0 1
					0
					0
				0,2
P X 4			Y 5	0,2
				0		0
				0
				0,2
				0,2

3 5

2 2

Замечание.

Для независимых СВ линии регрессии Y на x и X на y параллельны координатным осям так как МО каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая.

Линии регрессии могут быть параллельны координатным осям и для зависимых СВ, когда МО каждой из них зависит от того, какое значение приняла другая.

Так как все моменты начальные и центральные любых порядков представляют собой МО, то можно говорить об условных моментах. Например об условных дисперсиях D Y X x , D X Y y .

§ 8. Двумерные нормальные распределения.

СВ

О п р е д е л е н и е

Нормальным законом распределения на плоскости называется распределение вероятностей двумернойX ;Y , если

f x, y

x m

y m

2 1

Итак нормальный закон на плоскости определяется 5-ю параметрами:																						mX ; mY ; X ; Y ; XY
Убедимся в том, что если компоненты X и Y не коррелированны, то они тогда и не зависимы.
	XY	0
	XY
											1	x m				2		y m			2
											1	x m			X			y m
															X					Y
					1						2			2						2
	x, y													2						2
f									e					X						Y
f				2					e					X						Y
				2		X		Y
						X		Y									y m
					x m												y m
							X	2											Y	2
							X												Y
		1					2				1								2
				e		2	2							e				2	2
						2	X											2	Y
	2						X			2									Y
	2		X							2			Y
f X x			fY y

Замечание

Для нормально распределенных компонент двумерной СВ понятие независимости и некоррелированности равносильны.

Найдем условные законы распределения СВ X и Y воспользовавшись формулами.
f		x Y y	f	x, y
f	X	x Y y	f		y
			f	Y	y


f		y X x	f x, y
f	Y	y X x	f X x
			f X x

Y y

x m

2 1

y X x

y m

2 1

Как легко видеть , каждый из условных МО и условной дисперсией вычисляемым по

D X Y y	2	1		2
	X			XY
D Y X x		1
	2		2
	Y		XY

y m		2

Y


Y

x m	X	2




X

законов распределения является также нормальных с условным формуле:

M X Y y m

X y m

M Y

X x m

x m

Замечание.

Из двух формул для условного МО видно, что для системы нормально распределенных X и Y, линии регрессии Y на x и X на y представляют собой прямые линии, то есть регрессия всегда линейна.

В геометрической интерпретации график линейной формулы плотности представляет собой холмообразную поверхность.

f (x, y)

mY y

mX x

f m	X	, m
	X	Y	2
			2
			X

Сечение поверхности липсы.

f x,

	.
	2
	1
	XY
y	плоскостями параллельными плоскости XOY представляют собой эл-

Глава 8 Законы распределения функций СВ

§ 1. Закон распределения функции одного случайного аргумента.

X	x1	x2	…	xn
P	p1	p2	…	pn
Y X

Y	y1	…	ym

P		p	…	p
P		1		m

1)		X	–2	–1	0	1	2
		P	0,1	0,15	0,3	0,05	0,4
Y	X	3
Y	X

Y		–8	–1	0	1	8
P		0,1	0,15	0,3	0,05	0,4

2)		X	–2	–1	0	1	2
		P	0,1	0,15	0,3	0,05	0,4

Y X	2
Y X

Y	0	1	4
P	0,3	0,2	0,5
Пусть теперь СВ X – непрерывна и функция				f X x – функция плотности.
Y X

Найдем закон распределения СВ Y, но при этом ограничимся случаем, когда функция X нотонна, непрерывна и дифференцируема в интервале (a, b) всех возможных значений СВ X.

G y СВ Y будет определяться по формуле G y P Y y .X монотонно возрастает на (a, b).

Y < y

			x = (y)
		a	b	x
		X < (y)
y – функция обратная к функции X .
Y y ~ X y
			y
G y P Y y P X y			f X x dx
	dG y		a
g y	dG y
g y	dy	f X y y .

g y fX y y

строго мо-

Лекция № 17

G y P Y y					Y X
1)	y X – монотонно возрастает
g	y	dG y	f		y y
g	y	dy	f	X	y y
				X

2)	y X – монотонно убывает на (a; b)
		y

(x)

Y < y

x = (y)

a	b x
	X > (y)

Y y ~ X y
G y P Y y							b		x dx
G y P Y y							f X		x dx
					y
Дифференцируя G y по y, получим
g y	dG y			f				y y
g y		dy		f			X	y y
							X

g y f		X	y			y
g y f			y			y

Пример 1

СВ Х распределена непрерывно с функцией плотности Пусть Y aX b .

Найти g y – ?

y ax b
x	y b			y
x	a			y
	a
y			1
y			a
			a
g y			y b		1
		f				(*)
		f				(*)
			a		a

Пример 2

f X

СВ

X ~

подчиняется.

N m,

. Пусть

Y aX

. Выяснить, как выглядит функция плотности и какому закону она

y b

g y

2 2

y am b 2

g y

2 2 a2

Y ~ N am b, a .

Итак в результате линейного преобразования нормально распределенной СВ деленная по нормальному закону с параметрами am b, a . ( Y ~ N am b,

Х,

получается СВ Y распре-

a ).

§ 2. Функции от многомерных СВ. Формула композиции.

Функция от многомерной СВ определяется точно также, как и функция от одномерной СВ. Мы рассмотрим это понятие на примере двумерной СВ.

Пусть на вероятностном пространстве (, A, P), задана двумерная СВ (X, Y). Предположим, что у нас

имеется измеренная числовая функция g X ,Y числовых аргументов X и Y.

СВ Z g X ,Y g X ,Y , назовем функцией от двумерной СВ (X, Y).

а) Функция g X ,Y от двумерной дискретной СВ (X, Y) снова является дискретной СВ, принимающей значения g xi , y j с вероятностями pij P X xi ,Y y j .

Чтобы построить ряд распределения СВ Z g X ,Y надо:

1) Исключить все те значения g xi , y j , вероятность которых равна нулю;

2) Объединить в один столбец все одинаковые значения g xi , y j , приписав этому столбцу суммарную

вероятность. Пример

Рассмотрим СВ –суммарное число успехов в двух независимых опытах с одной и той же вероятностью

p в каждом отдельном опыте. Тогда

1 2 , где 1

– количество успехов в первом опыте, а

2 – ко-

личество успехов во втором опыте, а

g x, y x y .

Поскольку 1

и 2

принимают только два значения 0 или 1, тогда :

g 0; 0

0 0 0 q

g 0;1 0 1 1 q p

g 1; 0 1 0 1 p q

g 1;1 1 1 2 p

2pq

б)

В случае

когда СВ (X, Y)

непрерывного типа

с плотностью

f x, y ,

функция распределения

Z g X ,Y

будет определяться формулой

f x, y dx dy

g x, y Z

Область интегрирования здесь состоит из всех точек (x, y) для которых g x, y Z .

Особо важным для практики представляется случай, когда X и Y – независимые СВ, а функция Z=X +

Y, тогда

g x, y x y .

Получается так называемая формула композиции.

f x, y f X

x fY y

FX Y z P X Y z

f X x fY y dx dy

(*)

x y z

Интеграл (*) вычисляется, как повторный, поэтому

z x

FX Y z f X x dx fY y dy

FY z x f X x dx

f X

x fY y x dy dx

dy f X x fY y x dx .

Дифференцируя по z получаем


f X Y z			f X		x fY z x dx

		z				z x f		x dx
F	X Y	z	F			z x f	Y	x dx
	X Y			Y			Y

– формулы композиции (свертки).

С помощью этих формул легко выражаются формулы плотности и функции распределения суммы независимых СВ.

Пример.

Пусть	X и Y		– независимы.
	1	, x	a; b
	a	, x	a; b
fY x b	a
0,	x a; b

F	X	x
	X

– функция распределения Х, а Y имеет плотность

Получить функцию распределения и функцию плотности суммы X + Y.

FX Y

1 b

f X Y


FX z x fY x dx

b			z x dx z x u
FX			z x dx z x u
a
z a

	FX u du ;
z b			z a F		z b
	F	X	z a F	X	z b
		X		X
			b a
			b a

Так как производная интеграла по переменной z равна значению подынтегральной функции от верхнего предела умноженную на производную по z от верхнего предела , минус значение подынтегральной функции от нижнего предела на производную по z от нижнего предела.

§ 3. Распределение 2. (“хи-квадрат”).

			k
Пусть	X i ~ N 0,1	i 1, 2,..., k , тогда	2 X i2

i 1

по закону 2 с k степенями свободны.

–

k	2

X i
i 1

–называется СВ распределенной

f X 2 x

		0, если x 0
						x		k
f	2 x			1		x		k	1
f	2 x			1	e	2	x	2	1	если x 0
				Г k / 2		2		2	,
			k / 2						,
		2	k / 2
		2
Г x
Г x		t x 1 e t dt ,

Г k 1 k!

Z ~ N 0;1 .

m		k	k
	2

D	2	k

Распределение 2 определяется одним параметром числом степеней свободы. С увеличением степеней свободы распределение 2 медленно приближается к нормальному.

На практике при k > 30 считают, что		2	~ Y , где Y ~ N k,	2k .

Для СВ, имеющей 2 распределение существуют таблицы квантилей.

§ 4. Распределение Стьюдента.

Пусть

V– независимая от Z СВ, которая распределена по закону 2 с k степенями свободы.

Рассмотрим СВ T Z .

СВ Т имеет распределение, которое называется t–распределением или распределением Стьюдента с k

степенями свободы.

f	(x)
	T

			k 1
			Г	2			x	2
		x		2			x
						1
f	T					1
	T				k		k
					k		k
			k	Г
					2
		0, k 1
mT							1
		не существует , k					1
			k		2
				, k
				, k
DT		k	2

		, k 2

k 1 2

ется

t1 p

t–распределение определяется одним параметром – числом степеней свободы.

Свозрастанием числа степеней свободы t–распределение асимптотически (довольно быстро) приближа-

кстандартному нормальному распределению с параметрами (0; 1).

Для СВ, имеющих распределение Стьюдента, имеется таблица квантилей, причем в силу четности

k t p k .

§ 5. Распределение Фишера.

Если U и V независимые СВ, распределенные по закону 2,

2	k
2
		2

, тогда

		U
		k
	F	1
	F	V
		V
		k
		2

имеет распределение, которое называется F–распределением или распределением Фишера со степенями свободы k1 и k2. ( F ~ F k1, k2 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.20152.68 Mб70AMS.pdf
#
05.06.2015485.71 Кб42anglysky.docx
#
17.12.2018411.14 Кб3answC1.doc
#
19.07.20191.41 Mб5Answers by Lumen-pc or Melnik.docx
#
08.12.2018178.69 Кб1B3.doc
#
05.06.20152.66 Mб14bardushkin.pdf
#
27.03.2016974.85 Кб118BARXOTKIN.pdf
#
05.06.2015137.01 Кб18bdz1_mp_10.pdf
#
05.06.2015130.21 Кб12bdz1_mp_12.pdf
#
05.06.2015116.51 Кб11bdz2_mp_12.pdf
#
05.06.2015143.88 Кб7bdz3_mp_12.pdf