bardushkin

F–распределение определяется двумя параметрами k1 и k2 и существует таблица квантилей.

x

Лекция № 18 Глава 9

Предельные теоремы теории вероятностей

§ 1. Неравенства Чебышева. Закон больших чисел.

Следующие два неравенства называют неравенствами Чебышева. Сформулируем их в виде теорем.

Т е о р е м а : x 0 имеют место неравенства:

X X I X x X I X x X I X x x I X x x I X x X

так как x > 0, получаем

Замечание.

Очень часто второе неравенство Чебышева дают в такой форме

Второе неравенство Чебышева показывает, что при малой дисперсии с вероятностью близкой к 1 СВ Х концентрируется около своего МО.

Т е о р е м а (Чебышева):

В силу аддитивного свойства дисперсии, получаем

Замечание.

Предельные утверждения, сформулированные в теореме Чебышева и следствии к этой теореме носят название закона больших чисел (ЗБЧ). ЗБЧ утверждает, что с вероятностью приближающейся при n к 1, среднее арифметическое независимых слагаемых при определенных условиях становятся близким к константе.

Из утверждения последнего следствия получаем ЗБЧ в схеме Бернулли.

Т е о р е м а (Бернулли):

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Представим n в виде суммы независимых СВ n X1 ... X n , где X i 1, или при i-ом испытании произошел успех и X i 0 , если при i-ом испытании произошел неуспех.

M X i p .

Применяя следствие к теореме Чебышева, получаем утверждение к теореме Бернулли.

§ 2. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы

(ЦПТ).

Известно, что нормально распределенные СВ широко распространены на практике, объяснение дал Ляпунов (ЦПТ).

Если СВ Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых СВ влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то СВ Х имеет распределение близкое к нормальному.

Приведем формулировку ЦПТ без доказательства.

Т е о р е м а (ЦПТ):

тельности.

Замечание Следствиями ЦПТ являются локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласса.

выборке.

Если Х–СВНТ – разбить множество значений на r – непересекающихся интервалов 1, ..., 2 и попав-

3. Х–СВДТ вычислить pi . Х–СВНТ вычислить pi P X i .

5.Принять статистическое решение.

2 2 r l 1 – гипотеза Н – принимается. b 1 0

2 2 r l 1 – гипотеза Н – отклоняется. b 1 0

e – количество оцениваемых параметров. Малочисленные частоты надо будет объединять.

Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности. n = 200

А;

ности и имеет равномерное распределение.

Лекция № 19 Глава 10

Элементы математической статистики

§ 1. Задачи математической статистики. Установления закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных (результатов наблюдений

1. Задача математической статистики

Указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально составленных экспериментов.

2. Задача математической статистики

1) Разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования:

-оценка неизвестной вероятности событий;

-оценка неизвестной функции распределения;

-оценка параметров распределения, вид которого известен;

-оценка зависимости СВ от одной или нескольких других СВ.

2) Проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения вид, которого известен.

Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

§ 2. Выборка и способы ее представления

Математическая статистика позволяет получить обоснованные выводы о параметрах, видах распределений и других свойствах СВ о конечной совокупности наблюдений над этими величинами.

Выборка понимается следующим образом. Пусть СВ Х наблюдается на каком либо эксперименте, повторим этот эксперимент n раз при одинаковых условиях. Получаем X1, X 2 ,..., X n , где каждая X j – СВ со-

ответствующая j-му эксперименту. Очевидно, что X j – независимые в совокупности СВ, причем каждая из этих СВ имеет один и тот же закон распределения, что и СВ Х.

О п р е д е л е н и е .

Закон распределения СВ Х называется распределением генеральной совокупности.

СВ вектор X1,..., X n называется выборочным вектором, а конкретные числа x1, x2 ,..., xn , получаемые

на практике при n кратном повторении эксперимента в неизменных условиях представляет собой реализацию выборочного вектора и называются выборкой объема n.

Что такое вариационный ряд, размах выборки, статистический ряд, группированный статистический ряд, частоты, относительные частоты, накопленные частоты, относительные накопленные частоты, всевозможные полигоны и гистограммы, а также, что такое эмпирическая функция распределения изучили самостоятельно.

§ 3. Числовые характеристики выборки

Пусть x1, x2 ,..., xn выборка объема n из генеральной совокупности с функцией распределения FX x .

Рассмотрим выборочное распределение, т.е. распределение дискретной СВ, принимающей эти значения

называют выборочными (эмпирическими) числовыми характеристиками.

Замечание.

Выборочные числовые характеристики являются характеристиками данной выборки, но не являются характеристиками распределения генеральной совокупности.

“~” – при обозначении этих числовых характеристик.

рованных выборок объема и определяются по следующим формулам

§ 4. Статистическое описание и вычисление оценок параметров распределения системы двух СВ

ставление называется диаграммой рассеяния.

О п р е д е л е н и е .

Распределением двумерной выборки называется распределение двумерного дискретного СВ случайного

Выборочные числовые характеристики вычисляются как соответствующие числовые характеристики двумерного дискретного случайного вектора. Если объем выборки небольшой, то тогда вычисления проводятся в следующей последовательности:

1. xi , yi , xi2 , yi2 , xi yi , xi yi 2 .

Контроль xi yi 2 xi2 2 xi yi yi2 .

2. Суммы квадратов отклонений от среднего и произведения отклонений от среднего

Qx xi x 2 xi2 xi 2 n

Qy yi y 2 yi2 yi 2 n

Выборочная линейная регрессия Y на X. Аналогично рассматривается X на Y.

~~

0 , 1

Обе прямые регрессий пересекаются в точке с координатами x, y .

Угол между этими двумя прямыми уменьшается при увеличении коэффициента корреляции.