Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

bardushkin

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

2.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

ряд

Если

xn

n 1

Если

Х принимает счетное множество значений				x1,	x2 , ..., xn ,...	с вероятностями

pn	сходится абсолютно, то	M [ X ] xn pn .
			n 1

g(x)	– числовая функция и ряд		g(xn ) pn		сходится абсолютно, то		M [g(
			n 1

p	, p	2	,
1

X )]
	n 1

..., p	n	,...
	n

g(x	n	) p
	n

2. Х – СВНТ.

Теорема.


Если СВ Х имеет плотность f X (x) и		\| x \| f X (x) dx


Если функция	g(x) – непрерывна и	\| g(x) \| f X (x) dx



(сходится), то

, то M[g(x)]


M[ X ]		x


	g(x) f X

f	X	(x)

(x) dx

§ 2. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение

МО в теории вероятностей относится к типу характеристик положения (см. далее мода, медиана), кроме них используется еще ряд числовых характеристик различного назначения, среди них особое значение имеют моменты (начальные, центральные).

Положим g(x) x	S	.
Положим g(x) x		.
О п р е д е л е н и е . Начальным моментом S-го порядка СВ Х называется S M [ X
З а м е ч а н и е .
Иногда используются абсолютные начальные моменты S-го порядка M[\| X \|					S	] .
						] .
			S	pi
Для СВДТ: S xi				pi
	i

Для СВНТ: S		x	S	f X (x) dx .
			S

]

З а м е ч а н и е .

1 mX – начальный момент 1-го порядка. Обозначим M [ X ] a .

О п р е д е л е н и е . Центральным моментом S-го порядка называется

З а м е ч а н и е .

Иногда используются абсолютные центральные моменты S-го порядка.

M[| X a |S ] .

Для СВДТ:

S (xi a)				S	pi .
S (xi a)					pi .
	i
Для СВНТ:

S		(x a)	S	f X (x) dx .
			S

M[( X

a	S

)]

О п р е д е л е н и е

ется 2 DX D[ X ] Для СВДТ:

DX (xi a)	2
DX (xi a)
i

. Центральный момент II-го порядка ( 2 ) называется дисперсией СВ Х и обознача-

M[( X a)2 ] . pi .

Для СВНТ:


DX	(x a)	2
DX	(x a)

f X

(x) dx

О п р е д е л е н и е . X ным отклонением в литературе).

– называется средним квадратическим отклонением СВ Х (стандарт-

Свойства дисперсии:

1. DX M[ X	2	2
1. DX M[ X		] mX

Д о к а з а т е л ь с т в о :

M[( X m

)

] M[ X

X m

]

[ X

] 2m

M[ X ] M[m

] M[ X

] 2m

[ X

] m

(

)

DX 0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о :

2	m	2
X		X


DX M[( X mX )				2	].

( X mX )	2	0	(*).

По свойству 4 МО и с учетом неравенства (*) получаем доказательство свойства 2 для дисперсии.

3. c D[c D[ X

R .
X ] c	2	D[ X ].

c] D[ X ].

Д о к а з а т е л ь с т в о :

D[c X ] M [(c X M [c X ])

]

M [(c X c m

)

]

M [c

( X m

)

] c

M [( X

)

] c

D[ X c] M [( X c M [ X c])

]

M [( X c M [ X ] c)

] D

Лекция № 8

П р и м е р .

	X		-1				0		1			2
	P		0,1			0,2			0,3			0,4
mX 1
1) Способ.
DX (xi mi )2 pi ( 1 1)2 0,1 (0 1)2 0,2
		i
(1 1)2 0,3 (2 1)2 0,4 0,4 0,2 0 0,4 1.
2) Способ.
D		M [ X		2	] m		2	2 1		2	1.			D		1.
D	X	M [ X			] m		X	2 1			1.		X	D	X	1.
	X						X						X		X

Дисперсия СВ Х является характеристикой рассеивания, то есть она характеризует разбросанность СВ Х около ее МО.

Дисперсия имеет размерность квадрата СВ, что не всегда удобно, поэтому очень часто используется среднее квадратическое отклонение, которое имеет размерность самой СВ.

Механическая интерпретация МО и дисперсии.

Пусть на прямой в точках		x1 x2 ... xk	расположены точечные массы p1, p2 ,		..., pk
k
M [ X ] xi	pi – центр тяжести.
i 1
k
D[ X ] (xi	mi ) pi	– момент инерции масс		pi относительно центра тяжести.
i 1

k
i	1:
p	1:
i 1

Таким образом, МО характеризует место, вокруг которого группируются массы пень разбросанности этих масс относительно МО.

, а дисперсия – сте-

П р и м е р .

IA	0	1
P	q	p
q 1 p

M[I

] 0

q 1 p p.

D[I

] M[I

] m

p p

p(1

p) p q.

q 1

§ 3. Мода, медиана и квантили

p q

МО не единственная характеристика положения, применяемая в теории вероятностей.

О п р е д е л е н и е .

P{X x	m	} max P{X
	m	K
		K

Модой

x	K	}	d	X
	K			X

СВДТ Х называется такое возможное значение

xm .

, для которого

Модой СВНТ Х называется действительное число

сти вероятностей					( f X (x)) .
	П р и м е р .

		X		0		1	2	3	4
		P		0,05		0,3	0,25	0,2	0,2
	d	X	1
		X

З а м е ч а н и е .

d x

, являющееся точкой максимума функции плотно-

Мода может не существовать, иметь единственное значение, такие распределения называются унимодальное, или иметь множества значений – полимодальное распределение.

Наличие более чем одной моды, часто указывает на разнородность статистического материала, который положен в основу исследований.

О п р е д е л е н и е . Медианой СВ Х называется действительное число

P{X hX } P{X hX } , то есть это корень уравнения FX (x)	1	.
	2

, удовлетворяющее условию:

Эта характеристика применяется, как правило, только для СВНТ и геометрически медиана, это абсцисса

той точки на оси ОХ, для которой площади под графиком			f X (x) лежащие слева и справа от нее одинаковы и
равны	1	.
	2

З а м е ч а н и е .

В случае симметричного распределения (имеющего моду) три характеристики: 1) МО ; 2) мода; 3) медиана совпадают.

З а м е ч а н и е .

Уравнение

F		(x)	1
F	X	(x)	2
	X

может иметь множество корней, поэтому медиана может определяться неодно-

значно.

О п р е д е л е н и е . Квантильлью порядка р распределения СВНТ Х называется действительное число t p , удовлетворяющее уравнению P{X t p } p .

З а м е ч а н и е .

Медиана hx t0,5 – квантиль порядка 0,5.

§ 4. Целочисленные СВ и их производящие функции

В ряде случаев при определении важнейших числовых характеристик дискретных СВ может помочь аппарат производящих функций.

О п р е д е л е н и е . Дискретную СВ Х, принимающую только целые, неотрицательные значения назы-

вают целочисленной СВ.

Закон распределения целочисленной СВ определяется

p	n	P{X
	n

n}, n 0,1, 2,..., pn

n 0

Закон распределения целочисленной СВ удобно изучать с помощью производящей функции, которая определяется, как

В соответствии с определением МО:

Этот ряд сходится абсолютно при | S

		(S) M[S	X	]
	X	(S) M[S		]
	X

X (S) pn S n
		n 0
\| 1 .

Поскольку

1 (n) (0), n! X

0,1,

2,...

, то между законом распределения

p	n	P{X n}, n 0,1, 2
	n

и производящими функциями


X (S) pn S	n
X (S) pn S
n 0

устанавливается взаимноодноз-начное соответствие.

З а м е ч а н и е


X (S) pn S	n
X (S) pn S
n 0

– вероятностная производящая функция.

В математике рассматриваются произвольные производящие функции.

a0 , a1, a2 , ...

a		a	S a		S	2
	0			2
		1

З а м е ч а н и е

...

– производящая функция, если она имеет не нулевой радиус сходимости.

X (1) pn 1.

n 0

Возьмем первую производную по S от производящей функции.

(S ) n pn n

(1) n pn n

S	n 1

m X .

, подставим значение S = 1.

Возьмем вторую производную по S от производящей функции

"	n (n 1)			pn S	n 2
X (S)	n (n 1)			pn S
	n
"		(n	2	n) pn n		2	pn n pn
S 1: X (1)		(n		n) pn n			pn n pn
		n			n		n

2 mX

2 "X (1) 'X (1) .

D				m			2			"	(1)			'	(1) (	'
	X		2				X			X				X		X

'"		(1)			3	3		2	2			1	.
X

(1))	2

То есть можно выразить начальные моменты более высокого порядка, через начальные моменты более низкого порядка.

Глава V. Некоторые важные для практики распределения дискретных СВ

§ 1. Биномиальное распределение

О п р е д е л е н и е . СВДТ Х имеет биномиальное распределение, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, m, …, n, а соответствующие вероятности

p		P X m C	m	p		q	n m	, m 0,1, 2,..., n
	m		n		m
0 p 1, q 1 p

Это распределение зависит от двух параметров: n, p. В литературе X ~ B(n, p) .

Рассмотрим условия, при которых возникает биномиальное распределение.

Пусть производится n независимых опытов (испытаний), в каждом из которых событие А (“успех”) появляется с вероятностью p, СВ Х – это число успехов при n-опытах.

Комментарии.

Опыты называются независимыми, если вероятность какого-либо исхода каждого из них не зависит от

того, какие исходы имели другие опыты.

Покажем, что СВ Х имеет биномиальное распределение.

B x m – это количество успехов в n опытах , равно m. Событие B распадается на ряд вариантов, в

каждом варианте успех достигается m раз, а неуспех n–m раз.

Если успех ставим в соответствие 1.

Если неуспех ставим в соответствие 0.

0,1,1, 0, 0,..., 0,1

m штук – “1”

n–m штук – “0”.

Так как опыты независимы, то каждый такой вариант имеет вероятность

P p

1 p

n m

(по тео-

реме умножения), а всего таких вариантов Сn

штук, причем все такие варианты несовместны, то по теореме

сложения вероятностей несовместных событий следует.

P B P X m C

n m

Лекция № 9

Найдем важнейшие числовые характеристики X ~ B(n, p) .

Воспользуемся производящей функцией

n m

( pS)

X (S) Cn p

m 0

(S) (q p S)

Возьмем производную по S.

(S) n (q p S)

n 1

(1) n p

m	X	n p
	X

" (S) n (n 1) (q p S)n 2 p 2

" (1) n (n 1) p 2

(1) '

(1) ( '

(1))2

n p n

n p q

D	X	n p q
	X
	X	D	X	n p q
	X		X

n p (1 p)

П р и м е р .

Передается 5 сообщений по каналу связи (n = 5). Каждое сообщение с вероятностью p = 0,3, независимо от других искажается. СВ Х – количество искаженных сообщений. Построить ряд распределения, МО, DX, X, моду, а также вероятность того, что будет искажено не менее двух сообщений.


Y			0				1					2				3					4
P		0	p	0	q	5	1	1	q	4	2	p	2	q	3	3	3	q	2	4	p	4	q	1
		C5	p		q		C5 p		q		C5	p		q		C5 p		q		C5	p		q
		0,168					0,36				0,309					0,133				0,028
	mX 5 0,3 1,5 .
	DX 5 0,3 0,7 1,05 .

	X		1,05 1,03 .

d X 1.

P{X 2} 1 P{X 2} 1 (0,168 0,36) 0,472

C	5	p	5	q	0
C	5	p		q
	5

0,002

§ 2. Распределение Пуассона

О п р е д е л е н и е . СВДТ Х имеет распределение Пуассона, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, m, … (счетное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой

P	P{X
m

	a	m
m}	a
m}	m!
	m!

e	a

З а м е ч а н и е .

Закон Пуассона зависит только от a, смысл этого параметра состоит в следующем, он одновременно является МО и дисперсией СВ Х.

(aS)

X (S )

e a

S m e a

e a eaS a a(S 1)

m 0

(S) e

a(S 1)

(1) a

(S) a2 ea(S 1)

a a

DX a

X a

Рассмотрим условия, при которых возникает Пуассоновское распределение. Покажем, что оно является предельным, для биноминального распределения при n и одновременно р 0, но nр а (а~0,1–10).

Т е о р е м а (Пуассона).

Если n , р 0, но n p а,

P{X m} C	m	p	m	q	n m
P{X m} C	n	p		q
	n

Д о к а з а т е л ь с т в о .

то

фиксированного значения m, где m=0,1,…

a	m		a
		e		.

m!

P{X m}
	n(n 1)(n

	(np)	m

			1
	m!

n!	p	m	(1

m!(n m)!

2)...(n m 1) p m!

1		2
	1		... 1
n		n

p)	n

m
(1
m 1

n

m

p)	n m
p)
(1 p)		n	(1 p)	m
(1 p)			(1 p)

фиксированного значения m.

p 0 (1 p)		m	1

np a p	a			a n	e a
			lim 1

	n		n	n

	a	m		a
lim P{X m}			e

	m!
n

К о м м е н т а р и и :

Так как n-велико, а вероятность p - очень мала, то в каждом отдельном опыте “успех” приходит редко. Поэтому закон Пуассона в литературе называется законом редких явлений.

П р и м е р .

Завод отправил на базу n=5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится p=0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. n=5000. p=0,0002. np 1 a

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.20152.68 Mб70AMS.pdf
#
05.06.2015485.71 Кб42anglysky.docx
#
17.12.2018411.14 Кб3answC1.doc
#
19.07.20191.41 Mб5Answers by Lumen-pc or Melnik.docx
#
08.12.2018178.69 Кб1B3.doc
#
05.06.20152.66 Mб14bardushkin.pdf
#
27.03.2016974.85 Кб118BARXOTKIN.pdf
#
05.06.2015137.01 Кб18bdz1_mp_10.pdf
#
05.06.2015130.21 Кб12bdz1_mp_12.pdf
#
05.06.2015116.51 Кб11bdz2_mp_12.pdf
#
05.06.2015143.88 Кб7bdz3_mp_12.pdf