Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

bardushkin

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

2.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

называется функцией распределения СВ Х .

P 1 0,5

								- многоугольник
1	2	3	4	5	6	7 ...	x	распределения

Часто удобной бывает механическая интерпретация СВДТ.

	P		P		P		P
	1		2		3		4
0	1	2	3	4	5	6	7

P P		P	P	1
1	2	3	4

Аналитическое задание СВДТ

Примеры

1. Гипергеометрическое распределение

Это распределение числа белых шаров (X) в выборке без возвращения, объем выборки n, из урны, содержащей М – белых шаров и (N–M) – черных шаров.

P X m	C	m	C	n m
	C	M	C	N M


			n
			C
			N
m 0,1,..., min n, M

2. Равномерное распределение на множестве

1,2,..., N

P X m	1	, m 1,2,..., N
	N

§2. Функция распределения случайной величины. Её свойства. Функция распределения СВДТ.

Ряд распределения может быть построен только для СВДТ, для недискретных случайных величин из-за несчетности множества возможных значений такое представление невозможно. Наиболее общей формой закона распределения пригодной для всех типов случайных величин является функция распределения.

Функция F x FX x P X x , x R

С помощью функции распределения можно выразить вероятности попадания CB Х в различные интервалы вида

x X x

X x

Пусть x1 x2 ,

тогда X

x2 разложим в сумму двух несовместных событий

X x2

X x1 x1

X x2 ,

тогда

P X x2

P X x1 x1 X x2

P X x1 P x1

X x2

x P x

X x

P x1 X x2 FX x2

FX x1

(**)

Событие X x можно представить, как счетную сумму несовместных событий

X x

n 1

x+1

P X x lim

P X x 1

x 1 ...

...

N 1

P X x 1

X x

lim

P x

n 2

n 1

Согласно (**).

P X x 1

lim

n 1

1 P X x 1

n 2

1 F x 1

lim

n 1

N n 2

1 lim

1 F

x 0

P X x 1 FX x 0

P X x 1 P X x F

x 0

P X x F

x 0

P x

X x

0 F

P x

X x

0 F

P x

X x

P X x F

x 0 F

Т е о р е м а .

Функция

FX x

обладает следующими свойствами:

1.FX x – не убывает;

2.FX x – непрерывна слева;

3.FX 1 ;

4.FX 0 .

Доказательство:	P x1 X x2 0 .
1. Следует из (**), т.к.

2.Следует из аксиомы непрерывности 4, т.к. события

Bn
Bn		x

P B
	n
F	x
X

1 n

F	X	x
	X
F		x
	X


x

	1	0	n
x		0	n
X	n
	n

Свойства 3, 4 вытекают из аксиомы счетной аддитивности (3*), т.к. An , где

An | n 1 X n , тогда

				N
1 P P An			lim	P An lim		FX N FX N
		n	N n N 1		N
lim	FX	N lim	FX N
N		N

Пусть

lim N0

lim N

FX F

N N

(по теореме Вейeрштрасса).

1 0 C 1,C 1 .

Лекция № 6

Из равенства P X x FX x 0 FX x следует, что в точках разрыва функции	FX x имеет место
положительная вероятность. P X x 0
Так как при каждом натуральном n может быть не более n-точек x с вероятностями	P X x	1	, то у
	P X x	n	, то у
функции FX x имеется не более счетного числа точек разрыва.		n
функции FX x имеется не более счетного числа точек разрыва.
Обозначим через x1, x2, ... все точки разрыва функции FX x , если вероятности	P X xk Pk та-

ковы, что	pk	1	, то это равносильно тому, что СВ X имеет дискретное распределение, то есть является
	k

СВДТ.

З а м е ч а н и е . Для СВДТ FX x

П р и м е р .

имеет ступенчатый вид.

X	-3	-1	0	2	3
P	0,1	0,3	0,1	0,3	0,2

Получить функцию распределения и построить ее график.

Решение.
F	x P X x
X
		0,	x 3
			3 x 1
		0,1,	3 x 1

			1 x 0
	x	0,4,	1 x 0
F	x
X			0 x 2
		0,5,	0 x 2

			2 x 3
		0,8,	2 x 3
			x 3
		1,	x 3

FX x

0,8

0,5

-3

-1 0 1 2 3

P X 2 P 1 X

2 0 F
	X
F	2 0
X

2 0,8 0,5 0,3
F	1 0 0,8 0,4 0,4
X

Введем новое важное понятие индикатора события.

О п р е д е л е н и е . Индикатором события A A называется СВ

Ряд распределения случайной величины		I A имеет следующий вид
	IA		0	1
	P		1–p	p

где р-вероятность события А.

1, A I A I A 0, A

Многоугольник распределения

	I
	A
p
1 - p
0	1	x

Функция распределения

F		x
I
	A

		1 - p
				1	x
			0,	x 0
F		x		0 x 1
F		x	1 p,	0 x 1
I	A
	A
				x 1
			1,	x 1

§3. Непрерывная СВ. Плотность распределения.

О п р е д е л е н и е . Функция

f x

x1 x2 , P x1 X x2 f X x dx

f	X	x
	X

(***)

есть плотность распределения СВ X, если

Из определения (***) следуют свойства плотности распределения.

Свойства

		x	f X t dt
1.	FX
1.	FX

З а м е ч а н и е .

Для СВ X имеющей функции. Плотности из свойства 1 непрерывности интеграла с переменным верхним пределом)

и теоремычто FX

изx

курса математического анализа (о непрерывна.

	'					f X x .
2.	FX x f X x	в точках непрерывности				f X x .
			x
	FX x2 FX x1		2	f X x dx, x1 x2 .
3.
3.
			x
			1
	f X x 0 , т.к.	FX x неубывающая функция, то					'
4.	f X x 0 , т.к.	FX x неубывающая функция, то					FX x 0 .
					f X x dx 1 .
5. Условия нормировки:
5. Условия нормировки:

О п р е д е л е н и е . СВ X называется СВНТ, если ее распределение имеет функцию плотности

Через плотность f X x можно выразить любую вероятность

P X B		f X			x dx .
P X B		f X			x dx .
	B
Примеры.
0,					x 0
			2
I. FX x ax			2	,	0 x 1
I. FX x ax				,	0 x 1
					x 1
	1,				x 1

1)a – ?

2)f X x и построить ее график – ?

3)0,25 X 0,5P

Решение.

Так как

FX x

непрерывная в точке 1 и

FX 1 1, то

|x 1

a 1 .

x 0

f X x

0 x 1

2x,

x 1

(x)

f	X	x
	X

3)P 0,25 X 0,5 FX 0,5 FX 0,250,25 0,0625 0,1875

II.

f	X	x
	X

a – ?
F	x
X

	x
0,	x
		2

a cos x,			x
a cos x,			x
				2
				2

и построить ее график – ?

P 0 3)

1)1 f X


2)	FX x
	1

X
X			– ?.
		4
x dx				/ 2
x dx				a
				/ 2
P X x
				2

	2
	2

cos xdx a sin x / 2

/ 2

	3
	x
2

2a 2a 1, a 12 .

	,	f		x 0
2	,	f	X	x 0
			X

FX x	x	x
FX x	f X t dt	0 dt 0

	x
2		2

FX x	x	f X t dt	x	x	1			1
			0 dt			cos f	dt		x
					2			2	sin t / 2
				/ 2

sin x		1
sin x		2
		2

	2
	2

	x				/ 2			/ 2	1		x
FX x	f X t dt					0 dt			1	costdt	0 dt 1
FX x	f X t dt					0 dt			2	costdt	0 dt 1
								/ 2	2		/ 2
								/ 2			/ 2
	0,			x
						2
						2
		1		1
FX x		1	sin x	1	,			x

		2		2			2			2
		2		2			2			2
	1,			x
						2
						2

F	(x)
	X

							1
												x
			2
			2					2
								2

	0 X			4				4
							x dx		1	cos x dx	1		2
3) P					f				1		1	sin x 4	2
3) P					f	X						sin x 4
						X		2			2		4
		4						2			2	0	4
				0				0				0

Глава IV. Числовые характеристики случайных величин

Лекция № 7

§ 1. Математическое ожидание

Пусть вероятность P на конечном вероятностном пространстве ( , A , P) определяется с помощью элементарных вероятностей p( ) .

		О п р е д е л е н и е . МО случайной величины
		X ( ) p( ) .
		X ( ) p( ) .

X X ( ), M[X ] mX

называется сумма

З а м е ч а н и е .

В литературе математическое ожидание часто называют средним значением X. Из определения МО – вытекают следующие свойства :

Свойства

1. M[I A ] P(A) .

Д о к а з а т е л ь с т в о :

M[I A ] I A ( ) p( ) I A ( ) p( ) p( )
			A
	A	1

p( A)

2. Аддитивность: M [ X Y ] M [ X ]

Д о к а з а т е л ь с т в о :

M [Y

]

M [ X Y ] ( X ( ) Y ( )) p( )

X ( ) p( ) Y ( ) p( ) M [ X ] M [Y ]

З а м е ч а н и е .

Из свойства 2 по индукции выводится свойство конечной аддитивности.

M[X	1	... X	n	] M[X	] ... M[X	n	].
	1		n	1		n
3. c R : M [c X ] c M [ X ] .
		M [c] c

Д о к а з а т е л ь с т в о :

M[c X ] (c M[c] c

X ( )) p( ) c X ( ) p( ) c p( ) c 1

p c

( )

M[ X

]

4. Если X Y , то mX mY

Д о к а з а т е л ь с т в о :

M [ X Y ] ( X ( ) Y ( )) p( ) 0
		0
A	0


По свойствам 2 и 3
M [ X Y ] M [ X ] M [Y ]

m	X	m	0
		Y	.
m		m
	X
		Y

5. МО СВ X выражается через ряд распределения СВ X с помощью формулы

K	K
M [ X ] xi P{X xi } xi pi
i 1	i 1

Д о к а з а т е л ь с т в о :

	K
Так так СВ	X xi I{X x }
	i
	i 1

, тогда

	K					K		K
M [ X ]	x	M [I	{X x	}	]	x	P{X x }	x	p
	i		{X x	}		i	i	i	i
			i
	i 1					i 1		i 1

Пусть

y(x) – некоторая числовая функция, подставляя вместо аргумента x СВ Х, получим новую СВ

Y g( X )

M [Y ] – ?
1	способ. С помощью закона распределения Y;
2	способ. С помощью формулы

K M [Y ] M [g( X )] g(xi ) P{X i 1

Докажем формулу для M [Y ] .

}

			K
	g( X ) g(xi ) I{X x } .
		i 1						i
		i 1
	Все дальнейшие выкладки повторяют свойство 5.
	П р и м е р .

	X		-1		0			1			2
	P		0,1		0,2			0,3			0,4
	а) mX – ?
	б) Найти		mY	двумя способами, где Y= X2.
	Решение
	mX 1 0,1 0 0,2 1 0,3 2 0,4 1.
	Y		0		1			4
	P		0,2		0,4			0,4
	1 способ:		mY 0 0,2 1 0,4 4 0,4 2 .
			mY	( 1)		2	0,1 (0)			2	2	0,3 2	2	0,4 2 .
	2 способ:		mY	( 1)			0,1 (0)				0,2 1	0,3 2		0,4 2 .
	Статистическое истолкование МО.
	Пусть в некоторой лотерее имеется 1 выигрыш , размер которого случаен и равен
лотерея проводится N-раз,							причем выигрыш xi					выпадает Ni-раз.			N N1 N2	...
									1		K
тельная частота выигрыша							xi . x		1		xi Ni – средний выигрыш на одну лотерею.
тельная частота выигрыша							xi . x		N		xi Ni – средний выигрыш на одну лотерею.
									N		i 1
											i 1

x	,
1
N
k

x	2	, ..., x
	2

,N i – N

k . Если относи-

Х – СВ равная размеру выигрыша в одной лотерее.

	Ni	P{X x }
	Ni			– из статистической устойчивости частот. Поэтому средний выигрыш x колеблется

	N		i
	N
около МО.
		1	K	K	Ni	K
			xi Ni xi			xi P{X xi } mX .
	x
	x	N			N
		N	i 1	i 1	N	i 1
			i 1	i 1		i 1

Пусть теперь вероятностное пространство ( , A тельства теоремы, по которым вычисляются M [ X ] и

1. Х – СВДТ.

Теорема.

, P) не является конечным. Сформулируем без доказа-

M [g( X )] .

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.20152.68 Mб70AMS.pdf
#
05.06.2015485.71 Кб42anglysky.docx
#
17.12.2018411.14 Кб3answC1.doc
#
19.07.20191.41 Mб5Answers by Lumen-pc or Melnik.docx
#
08.12.2018178.69 Кб1B3.doc
#
05.06.20152.66 Mб14bardushkin.pdf
#
27.03.2016974.85 Кб118BARXOTKIN.pdf
#
05.06.2015137.01 Кб18bdz1_mp_10.pdf
#
05.06.2015130.21 Кб12bdz1_mp_12.pdf
#
05.06.2015116.51 Кб11bdz2_mp_12.pdf
#
05.06.2015143.88 Кб7bdz3_mp_12.pdf