bardushkin

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2 2 2 1 2 0,9772 1 0,9544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

2.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

x 0, FX

II Случай

x	x
x	0 dt

x 0, FX x 0 dt e

dt e

0, x 0

FX x

e x

, x

(x)

h		ln 2
h	X
	X

Показательное распределение тесно связано с простейшим стационарным Пуассоновским потоком событий.

Покажем, что интервал времени Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке, имеет показательное распределение с параметром равным интенсивности потока.

	0
Найдем
F	t
T

t T

FT t .

P T t

Для того, чтобы подсчитать эту вероятность нужно, чтобы хотя бы одно событие потока попало на участок длины t.

P 1 P 1 e t
0
F t 1 e t
T
Продифференцировав	FT t , получим	fT t e	t
Продифференцировав	FT t , получим	fT t e

Показательное распределение играет большую роль в Марковских случайных процессах, теории массового обслуживания и теории надежности.

П р и м е р .

Время безотказной работы ЭВМ – это СВ Т, имеющая показательное распределение с параметром . Физический смысл – это среднее число отказов в единицу времени, если не учитывать простоев ЭВМ. Из-

вестно, что ЭВМ уже проработало без отказов время . Найти при этом условии плотность распределения
f t времени T	(время, которое ЭВМ проработает после момента , до ближайшего отказа).
Решение.
		+ t
		+ t
0		t
		t

Так как простейший поток отказов не имеет последствия, то вероятность появления хотя бы одного отказа на участке (, + t) не зависит от того, появлялись ли отказы ранее момента .

Найдем

f		t

Вывод:

F	t P T

e		t
e

t 1 e	t

Таким образом распределение времени, оставшегося до следующего отказа, не зависит от того, сколько времени ЭВМ уже отработало без отказов.

§ 3. Нормальное распределение

О п р е д е л е н и раметрами m R и

е	. СВНТ Х называется распределенной по нормальному (Гауссовскому) закону с па-
0	, если плотность распределения вероятности имеет вид.

x m

, x

Нормальное распределение задается двумя параметрами m и .

X ~ N m,

Докажем, что m mX , X – ?

x m

x f X x dx

x e

x m

z m

Пределы интегриров ания

Д о к а з а т е л ь с т в о :	не изменяются
Д о к а з а т е л ь с т в о :
					z
					2
		1		z m e	2
				z m e

			2

d z m

																																		z	2					z	2
																						1								z						dz		m	e			dz m
																														z	e		2			dz			e	2		dz m
																																	2							2
																							2															2


																нечетная								функция в симметричн											ых пределах			интеграл	Пуассона
																														"								равен	2
																														0
.
																			x m 2
DX					1					x m					2			e			2 2							dx

							2
							2

	z			x m
				x m

																						2										z2
	x z m																					2					z 2			e		2			dz


	Пределы						интегриров ания													2
	Пределы						интегриров ания
	не изменяются
	2										z2			z 2										2									z2
	2													z 2										2
							z e				2	d																	z e				2
											2																						2
		2																							2
		2												2											2
					2			z					2											z2							2
																								z2
																	e							2		d z											2
									2															2
								z	2					2																		2
			2					z						2																		2
						e 2
						e 2
2

Лекция № 12

								x m
									2
		x		1					2
f				1		e		2	2	, x
f	X		2			e		2		, x
	X

X ~ N m,
X ~ N 0,1				– стандартизованная нормальная величина.
f X x			1				x2
			1		e		2
					e		2

			2

Функция распределения стандартизованной нормальной величины.

x 1 x

t m

FX x

P x X x

П р и м е р .

Дана СВ Х,

X ~ N 30,10 . Найти вероятность попадания P 10 X

Решение.

P 10 X
	2	1

Часто требуется вычислять вероятность того, что отклонение нормально распределенной СВ Х от МО по абсолютной величине меньше заданного положительного числа .

P X mX – ?

X P X

P X

X m

P m

X m

Методами математического анализа можно легко построить график плотности

f	(x)
	X

1
2

S = 1

m – сдвиг по оси 0Х

– параметр островершинности fX(x)

Гауссова кривая:

З а м е ч а н и е .

Мода и медиана совпадают с МО.

§ 4. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального; асимметрия и эксцесс

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики (асимметрию и эксцесс).

a X 33X

e 4 3

X	4
	4
	X

Для нормального распределения эти характеристики равны 0, поэтому, если для изучаемого теоретического распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость

этого распределения к нормальному. Наоборот большие значения a X клонения от нормального.

fX(x)

aX > 0

, указывают значительные от-

Пологая часть правее моды, значит a X 0 .

f	(x)
	X

a	X	> 0
	X

0	d	X	x
		X

Пологая часть левее моды, значит

f	(x)
	X

e	X	> 0
	X

	кривая нормального
	распределения
0			x
f	(x)
	X
		кривая нормального
			распределения
	e		<0
	X
0			x

З а м е ч а н и е .

При исследовании эксцесса надо считать, что нормальное исследуемое распределение, имеют одинаковое МО и дисперсию.

Глава VII. Системы случайных величин (случайные векторы)

Пусть на одном и том же вероятностном X1 X1 ,..., X n X n , совокупность X1; X 2 ;...; X случайным вектором.

П р и м е р ы .

пространстве ( ,A, P) задано n СВ,

– называется многомерной (n-мерной) СВ или

Широта X и долгота Y падения метеорита на Землю представляет собой двумерный случайный вектор

X ,Y . В эту модель можно ввести третью координату Z – это время от начала наблюдения до падения пер-

вого метеорита на Землю. Тогда X ,Y , Z .

Успеваемость студента, окончившего курс обучения в ВУЗе, характеризуется n – случайных величин, проставленных по 5-ти бальной системе.

§ 1. Совместная функция распределения

Рассмотрим в одном и том же вероятностном пространстве ( ,A,P) набор СВ

X	;
1

X	;...; X	n
i		n

. Так как

множество

X k

x
k

A, таких пересечения

n	X
	X	k
		k
k 1

x
k

A, поэтому существует вероятность этого

события, которая называется многомерной функцией распределения.

P X1 x1, X 2 x2 ,..., X n xn F x1, x2 ,..., xn .
З а м е ч а н и я :
1.В дальнейшем ограничимся случаем двух случайных величин	X1 X , X 2 Y
2. Функция F x, y P X x,Y y – вероятность того, что случайная точка X
нечный квадрант с вершиной в точке x; y .
Y

. ,Y

попадает в беско-

(x, y)

С помощью F, можно вычислить вероятность попадания случайной точки в полуполосу или в прямоугольник.

а)

	Y
	y
		x1		x2		X
P x	X x	2	,Y y F x		2	, y F x	, y
1		2			2	1

б)

			y1

										x				X
P X x, y					Y y				2	, F x,	y	2	F x, y
				1					2			2						1
в)
					Y
			y
			2
			y
			1
							x1								x2			X
P x	X x					2	, y	Y y F x					2	,		y	2	F x	, y	2
1						2	1						2				2	1		2
F x		2	,	y	F x				,	y
		2		1				1		1

П р и м е р .
F x, y sin x sin y
0 x
0 x			2
			2
0 y
0 y			2
			2
x
x	6
x
x	2
	2
y
y	4
	4
y
y	3
	3
Решение
		X			,	Y				sin		sin		sin
P		X			,	Y		sin		sin		sin		sin
	6			2 4			3		2		3		6		3

		sin		sin		sin		3	3	2
sin		sin		sin		sin
	2		4		6		4	2	4	2
	2		4		6		4	2	4	2

2

4
4

	3	2
	4
	4

Из формулы вероятности попадания в прямоугольник и определения многомерной функции распреде-
ления	F x, y , вытекают следующие свойства, которые доказываются аналогично одномерному случаю.
Свойства.
1.	F x, y по каждому аргументу не убывает и непрерывна слева.
2.	F , y F x, F , 0 .
3.	F , 1.
4. а) При y , F x, y становится функцией распределения компоненты x.

F x, FX x .

б) При x , F x, y становится функцией распределения компоненты y.

F , y FY y .

§ 2. Дискретные двумерные случайные величины

О п р е д е л е н и е . Двумерная СВ (X, дискретной.

Пусть СВ Х может принимать значения

x	,
1

называется дискретной, если каждая из СВ и Х и Y является

..., xn , а СВ Y принимает дискретные значения

y1,..., ym .

…

P{X=xi}

P11

P12

…

P1m

P21

P22

…

P2m

…

Pn1

Pn2

…

Pnm

P{Y=yj}

P 1

P 2

…

P m



Двумерный

случайные

вектор

может

принимать

только

пары

значений

X ,Y xi ; y j i 1,..., n;

j 1,..., m

P i j 1

i 1

j 1

По этой таблице нетрудно определить функцию распределения.

F x, y	Pij
	i:xi x;
	j: y j y
P X ;Y B			Pij
		x	; y	j	B
		i		j

Лекция № 13

	Y	–1	1	Pi
X		–1	1	Pi
X
0		0,1	0,06	0,16
1		0,3	0,18	0,48
2		0,2	0,16	0,36
P j		0,6	0,4	1

Найти одномерные законы распределения компонент X и Y.
Найти вероятность того, что	P X Y – ?
F x, y – ?

Решение.

P X

P X P X

P2 P3



0,16

0,48 0,36

X	0	1	2
P	0,16	0,48	0,36

P Y P Y P X

F x,

1 P 1 0,6

1 P 2 0,4

Y 1 P X Y 1 0,06 0,94

-1

y P X x, Y y

Y	y –1	–1 < y 1	y > 1
X	y –1	–1 < y 1	y > 1
X
x 0	0	0	0
0 < x 1	0	0,1	0,16
1 < x 2	0	0,4	0,64
x > 2	0	0,6	1

§ 3. Непрерывные двумерные СВ

Пусть A – -алгебра множеств двумерного пространства R2, порожденная всевозможными прямоугольниками вида

a	x b
1	1
a2	y b2 .

О п р е д е л е н и е .

Двумерной плотностью

P X ;Y B f x, y dx B

распределения

dy , где B A

f x, y называется такая функция, что вероятность

Из определения

Свойства.

I. f x, y 0 .

f x, y

следуют ее свойства.

		f x, y dx dy 1
II.								(условие нормировки).
II.								(условие нормировки).

	F x, y		x		y	f u1			du1 du2 .
III.							, u2
III.							, u2

	f x, y			2	F x, y
IV.					F x, y
IV.					x y			.
					x y

О п р е д е л е н и е .

Двумерная СВ (X; Y) называется непрерывной, если ее распределение имеет f x, y .

П р и м е р 1 :

f	x, y					1			1	1 y
f	x, y				2		x		2			2
							x

F x, y – ?
Решение.
F x, y				1				y		x					1
				1				du2							1		du1
											1 u 2				1 u 2
				2							1 u 2				1 u 2
														1		2
	1		arctg u					x		arctg u				y
			arctg u							arctg u			2
		2				1							2


arctg x		arctg y
	2

 

П р и м е р 2 : (двумерное равномерное распределение)

Плотность	f x, y равномерного распределения на области S R2 конечной двумерной площади
	1	, x; y S
		, x; y S
f x, y S

0, x; y S

		z
		1	h
		S
		B	y
		B
x		S

P X ;Y B B S

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.20152.68 Mб70AMS.pdf
#
05.06.2015485.71 Кб42anglysky.docx
#
17.12.2018411.14 Кб3answC1.doc
#
19.07.20191.41 Mб5Answers by Lumen-pc or Melnik.docx
#
08.12.2018178.69 Кб1B3.doc
#
05.06.20152.66 Mб14bardushkin.pdf
#
27.03.2016974.85 Кб118BARXOTKIN.pdf
#
05.06.2015137.01 Кб18bdz1_mp_10.pdf
#
05.06.2015130.21 Кб12bdz1_mp_12.pdf
#
05.06.2015116.51 Кб11bdz2_mp_12.pdf
#
05.06.2015143.88 Кб7bdz3_mp_12.pdf