bardushkin

Доказательство:

Каждое <n,r>-размещение без повторений является упорядоченной последовательностью длины r. По правилу произведения получаем

Теорема 3.

Доказательство:

Каждое <r,r>-сочетание без повторений можно упорядочить r!-способами.

Объединение получаемых таким образом попарно непересекающихся множеств <n,r>-размещений без повторений для всевозможных <n,r>-сочетаний без повторений, даст все <n,r>-размещения без повторений.

Ar r! (суммирование производится по всевозможным <n,r>-сочетаниям без повторений). n

Пример

X 1,2,3,4 , n 4, r 6 B 2;2;3;3;3;4 .B 0110111016 4 1

Пример

C 110011011

C 1;1;3;3;4;4 .

Доказательство:

В.

(n–1) нуля равно числу элементов xn , входящих в В.

Это соответствие между В и B B B будет взаимнооднозначным.

Поэтому, чтобы подсчитать количество <n,r>-сочетаний с повторениями достаточно подсчитать количество векторов B .

Количество векторов B

Лекция № 3

§ 6. Геометрические вероятности

Геометрические вероятности – класс моделей вероятностных пространств, дающий геометрические вероятности.

Пусть Ω={ω} – ограниченное множество n-мерного евклидова пространства с конечным n-мерным объёмом.

Событиями назовём подмножества Ω, для которых можно определить n-мерный объём.

Для любого A A положим

Это вероятностное пространство служит моделью задач, в которых частица случайно бросается в область Ω. Предполагается, что положение частицы равномерно распределено на множестве Ω, т. е. вероятность попадания частицы в подмножество A пропорциональна n-мерному объёму этой области.

З а м е ч а н и е .

В классе конечных вероятностных пространств в систему A входили все подмножества Ω. При геомет-

рическом определении вероятности в качестве A уже нельзя взять все подмножества Ω, так как некоторые из них не имеют n-мерного объёма.

П р и м е р ы

1 . Стержень разламывается на две части в случайной точке, равномерно распределённой по длине стержня. Найти вероятность того, что длина меньшего обломка окажется не больше трети длины всего стержня.

Обозначим за x расстояние от фиксированного конца стержня до точки излома.

Глава 2. Условные вероятности; независимость

§ 1. Условные вероятности; теорема умножения

Если все относительные частоты событий устойчивы, тогда условная относительная частота тоже устойчива.

Пусть P(B)>0.

Условной вероятностью P(A|B) события A при условии, что событие B произошло, называется отно-

P(A|B) = PB(A) (встречается в литературе).

Т е о р е м а у м н о ж е н и я

1 способ. В урне находятся M-белых шаров и N-M-черных шаров. По схеме выборки без возвращения, последовательно выбираются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

A = {1 вынутый шар белый}

B = {2 вынутый шар белый}

AB = {оба шара белых}

Доказательство проводится методом математической индукции.

§ 2. Формула полной вероятности

Система событий A1,..., An называется конечным разбиением (разбиением) пространства , если они:

Тео р ем а (Формула полной вероятности)

Пример.

В урне находятся M-белых шаров и N-M-черных шаров. По схеме выборки без возвращения, последовательно выбираются два шара. Найти вероятность события B={второй вынутый шар белый}.

A = {первый шар белый}

A = {первый шар черный}

Решение

A A =

A + A =

Пример показывает, что при правильно организованной жеребьевке шансы будут равны.

Лекция № 4

§ 3. Формулы Байеса

Т е о р е м а . Если A1 ,..., An – разбиение и все P Ai 0, P B 0 , тогда имеет место следующая формула:

k1

До к а з а т е л ь с т в о :

По теореме умножения:

Формулы Байеса позволяют по априорным и условным вероятностям вычислить апостериорные вероятности гипотез.

П р и м е р . Детали, изготовленные цехом завода, попадают к одному из двух контролёров для проверки на стандартность. Вероятность того, что деталь попадёт к первому контролёру – 0,6; ко второму контролёру, соответственно, – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной, для первого контролёра – 0,9; для второго – 0,98. Годная деталь была признана стандартной. Найти вероятность того, что её проверил первый контролёр.

§ 4. Независимость событий

Если события A и B таковы, что P B 0 P A | B

О п р е д е л е н и е . Событие A не зависит от события B, если P A | B P A

Это приводит к определению.

О п р е д е л е н и е . События A и B называются независимыми, если вероятность произведения событий равна произведению вероятностей событий P AB P A P B . Если событие A не зависит от со-

бытия B, то они являются просто независимыми. Если P AB P A P B не выполняется, то события явля-

ются зависимыми.

P AB P A P B – теоретико-вероятностная (статисти-ческая) независимость; её следует отличать от причинной независи-мости реальных явлений. Причинная независимость реальных явлений не устанавливается с помощью этого равенства, а постулируется на основе других внешних соображений. При установлении независимости событий A и B часто используется следующий принцип:

События A и B, реальные прообразы которых являются причинно-независимыми, независимы и в теоре- тико-вероятностном смысле. Этот принцип не является теоремой – он установлен практикой человека, а реальный смысл этого принципа можно связать со свойством устойчивости частот:

Из теоретико-вероятностной независимости не следует причинная независимость их реальных прообразов.

П р и м е р . Из колоды в 52 карты случайно вынимается одна карта. A={туз}, B={бубновая масть}, AB={вынут туз бубновой масти}.

Решение.

События A и B – независимые события в теоретико-вероятностном смысле.

Добавим в колоду джокер:

Совокупная независимость более сильное свойство, нежели попарная независимость.

Глава III. Случайные величины и законы их распределения

§ 1. Случайные величины и законы их распределения

Пусть (Ω, A, P) – произвольное вероятностное пространство.

К о м м е н т а р и й . Смысл определения состоит в следующем: поскольку не любое подмножество пространства Ω является событием, и все события составляют -алгебру подмножества A, то, естественно,

рассматриваются только такие функции X X , для которых имеет смысл говорить о вероятности попадания X X в достаточно большие числовые множества. Свойство (*) гарантирует, что для любого X неравенство X x есть событие, а, значит, имеет смысл говорить о его вероятности.

З а м е ч а н и е . Если вероятностное пространство (Ω,A,P) является конечным, то случайной величиной называется любая числовая функция от элементарного события.

называется случайной величиной дискретного типа (СВДТ). Если это множество является несчетным, то случайная величина называется случайной величиной непрерывного типа (СВНТ).

Пример 1. СВДТ. Опыт – бросание игральной кости. СВ X – число выпавших очков. Множество значений

– {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Пример 2. СВНТ. Опыт – дважды измеряется емкость конденсатора, с помощью точных приборов. СВ X

– разность между результатами первого и второго измерений.

Лекция № 5

Законом распределения СВ называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной.

Если случайная величина X имеет данный закон распределения, то мы будем говорить, что она распределена по этому закону (подчинена этому закону распределения).

Наиболее простую форму можно придать закону распределения СВДТ, обычно этот закон задается рядом распределений.

Рядом распределений СВДТ Х называется таблица

pi P X xi ,

x1 x2 ... xn ...

С помощью этой таблицы можно найти вероятности любых событий.

Часто бывает удобно иметь графическое изображение ряда распределения, так называемый многоугольник ряда распределения.