Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

bardushkin

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

2.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

З а м е ч а н и е .

По последней формуле Пусть известна f x, y

Решение.

вычисляются так называемые геометрические вероятности.

. Найдем плотности распределения каждой из компонент X и Y.

f x

F x, y

f u

, u

x F x;

(*)

Продифференцируем обе части равенства (*) по Х, получим

d F		x
	X				f x, y dy
dx					f x, y dy
dx


f X x f					x, y dy

fY y					x, y dx
fY y				f	x, y dx

П р и м е р .
				1					x	2			y	2
				1		, если			x				y		1
				6		, если									1
				6					9				4
f x, y								2				2
							x	2			y	2
							x				y		1
			0, если										1
							9				4
							9				4

Найти:
f	X	x

– ?

y	– ?
	y

-3

-2

						x	2					2
			2		1	x						2	9	x
														2
f X x	1					9					2	3			2
f X x	1				dy						2				2	9	x
																	2
	6					x		2			6		0		9
				2	1			2					0

							9
							9
	1
	1				9 x				2	, åñëè x				3


f X x		9
	0,åñëè					x 3

Аналогично

	4 y	2
	4 y	, если	y 2
	2	, если	y 2
fY y	2
		y 2
0, если		y 2

§ 4. Зависимые и независимые СВ, условные законы распределения

В двух предыдущих параграфах было показано, как зная закон распределения системы двух (дискретных или непрерывных СВ) найти законы распределения отдельных компонент X и Y.

Вопрос. Можно ли, зная законы распределения отдельных СВ (X, Y) входящих в систему , найти закон распределения всей системы? Нет, в общем виде этого сделать нельзя – это можно сделать только в одном частном случае, когда СВ X и Y образующие эту систему—независимы.

О п р е д е л е н и е .

Две СВ X и Y называются независимыми, если
X xi	Y y j	X xi	Y

независимы все связанные с ними события
y	j

Замечание.

Так как зависимость и независимость событий всегда взаимны, то зависимость и независимость СВ, также всегда взаимна: если X не зависит от Y, то Y не зависит от X.

В терминах законов распределения, независимость СВ можно определить так: две СВ называются неза-

висимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того какое значение приняла другая.
Если компоненты X и Y двумерного вектора (X, Y) независимы, то функция распределения			F x, y вы-
ражается, через функции распределения отдельных компонент.
F x, y P X x,Y y
X x и Y y – независимы.
F x, y P X x,Y y P X x P Y y
F	x F	y
X	Y
F x, y F		x F y
	X	Y

Это правило является необходимым и достаточным условием независимости для любого типа
1. Если X и Y независимые дискретные СВ с матрицей распределения Pij i 1,..., n, j 1,...,
p	P X x	,Y y	j	P X x P Y y	j	p	i	p
ij	i		j	i	j		i	j

СВ. m .

2. Непрерывные СВ.

f x, y

F x, y

d F

x f

x y

f x, y f

x f

Лекция № 14

П р и м е р .

f x, y

С, 1 x 2, 1 y 3

0, иначе

Найти:

С – ?, зависимы или независимы X и Y – ?

F x, y – ?

Решение.

c dx dy c dx dy 6 c

C 16

		1				, 1 x 2, 1 y						3
						, 1 x 2, 1 y						3
f x, y 6

			0, иначе

									1		3		1
f X x				f x, y dy					1		dy		1
f X x				f x, y dy					6		dy		2
									6		1		2
											1
		1		, 1 x 2
f X	x

			3

		0, иначе
									1		2		1
fY y f x, y dx									1	dx			1
fY y f x, y dx									6	dx			2
									6	1			2
										1
		1			, 1 y 3
	y				, 1 y 3
fY	y	2
					иначе
		0,			иначе

f x, y			f X x fY y выполняется
	независимы													F x, y
Раз компоненты независимы, значит														F x, y
		0, x 1
					1
		x			1
FX x					3		, 1 x 2
					3
		1, x 2

		0,				y 1
					1
F	y	y			1		, 1 y 3
F	y						, 1 y 3
Y					2
					2
		1, y 3

F , y F							y
						Y
F x, F x
						X
											Y			y 1
									X					y 1
									X
									x –1					0
								–1 < x 2						0
										x > 2				0

FX x FY y .

1 < y 3

0x 1 y 1

y 1 2

y > 3

x1 3

Если СВ образующие систему зависимы, то для нахождения закона распределения системы не достаточно знать законы распределения отдельных величин, входящих в систему, требуется знать так называемый условный закон распределения одной из них.

О п р е д е л е н и е .

Условным законом распределения одной из величин системы (X, Y) называется ее закон распределения вычисленный при условии, что другая СВ приняла определенное значение.

Начнем с наиболее простого случая, а именно со случая, когда СВ Y является дискретной.

О п р е д е л е н и е .

	Условной функцией распределения FX x Y y j называется P X x Y y j
	FX x Y y j P X x Y y j	P X x,Y y j

		P Y y j

З а м е ч а н и е 1 .

Условная функция распределения обладает всеми свойствами, которые присущи обычной (т.е. безусловной) функции распределения.

З а м е ч а н и е 2 .

Если СВ X также дискретная, причем

P X

x	,Y y	j
i		j

pij

, то удобно рассматривать условную веро-

ятность

ijij

ij , СВ X принять

P X xi Y y j

Pij

P j

	значения xi
		P X x
		P Y

	при условии, что
i	,Y y		j	P
				ij
y				P
		j
				j

y j

В общем случае условную функцию распределения	FX x Y y	P X x,Y y	, однако, это не все-
		P Y y

гда возможно. Потому, что для непрерывного типа

P Y y 0 .

Чтобы отстроиться от этих неприятностей, попытаемся воспользоваться предельным переходом, заменяя

событие

Y y , событием y Y y и устремив 0.

Получим.

y Y y P X x

y Y y

P X

x, y Y y

P y Y y

x, y F

x, y

y Y y

F y F

FX x

y Y y . Оказывается та-

Назовем условной функцией распределения FX x Y y lim

кой предел всегда существует.

Если СВ Y – непрерывна, то условную функцию распределения можно определить следующим выраже-

нием

F x, y

x Y y

В наиболее важных для приложений случаях вектор (X, Y) представляет собой двумерную непрерывную

СВ с совместной плотностью

x, y .

x, y

, u

FXY x, y

f u1 , y du1

f u

, y du

Y y

Так как функция FX x Y y

условной плотности.

f x, y

f x

Y y

fY y

du2

имеет производную по x, то мы получаем окончательное выражение для

П р и м е р .

	1			x	2			y	2
	1	,		x				y		1
	6	,								1
	6			9				4
f x, y			2				2
		x	2			y	2
		x				y		1
0,								1
		9				4
		9				4

Найти:
f	X	x
	X
f	Y	y
	Y

y – ?
	4 y	2
	4 y	, если	y 2
	2	, если	y 2
	2
		y 2
0, если		y 2

 

Решение.
										1					,	x		3	4 y	2
															,	x		2	4 y
											y
	f X x							3		4	y			2
	f X x		Y y
										x			3		4	y	2
							0,			x					4	y	2
													2
													2
Таким			образом						СВ			X				при		условии, что Y = y распределена равномерно на отрезке
3		4 y		2	;	3	4		y		2		.
2		4 y			;	2	4		y				.


Если			y 2 , то условная плотность не определена.

§ 5. Мультипликативные свойства математических ожиданий, аддитивное свойство дисперсии

Т е о р е м а .

Если СВ X и Y независимы, то

Д о к а з а т е л ь с т в о :

M XY

M X

M Y

Ограничимся случаем двух дискретных СВ принимающих конечное множество значений, тогда

Xxi I X xi i 1

n
Y y j I Y y	j
j 1

m n

XY xi y j

i 1 j 1

x	x		2		... x	m
1
y	y			2	... y		n
1
I X x ,Y y		j
i

В силу аддитивности МО,
m n
M X Y M xi y j I X x ,Y y
	i j
i 1 j 1
m n
xi y j P X xi ,Y y j
i 1 j 1
Так как СВ независимы, то
P X xi ,Y y j P X xi P Y y j
m	n
M X Y xi P X xi y j P Y y j
i 1	j 1
M X M Y .

Следствие:

Если СВ X1, X 2 ,..., X n – независимы, то M X1 X 2 тельство проводится методом математической индукции).

Из мультипликативного СВ МО аддитивное свойство Т е о р е м а .

... X	M X	M X	2	... M X
n	1		2	n

дисперсии.

(доказа-

Если СВ X и Y независимы, то

D X Y D X D Y .

Д о к а з а т е л ь с т в о :

D X Y M X Y m

M X m

Y m

M X m

Y m

2 X m

DX DY

2 M X mX Y mY .

Так как X и Y независимы, то

X mX

и Y mY

независимы

D X Y D

D 2 M X m

M Y m

DX DY

Следствие:

Если СВ X1, X 2

,..., X n

– независимы, то D X1

X 2 ... X n D X1

D X	2	...
	2

D X n

Лекция № 15

§ 6. Числовые характеристики системы двух СВ. Ковариация и коэффициент корреляции

О п р е д е л е н и е .
Начальным моментом k S	порядка системы двух СВ X ;Y		называется	K ,S	M X k Y S .
				K ,S
Если система для двух дискретных СВ, то k ,S		xik y Sj	pij .
		i j

Если X ;Y система двух непрерывных СВ, то

						f x, y dx dy .
k,S		x	k	y	S
			k		S


О п р е д е л е н и е .
Центральным					моментом			порядка	k S
				k	Y mY		S	.
k,S M X mX					Y mY			.
а) Если X ;Y система двух дискретных СВ, то
k ,S xi mX k y j mY S pij
	i	j

б) Если X ;Y система двух непрерывных СВ, то

k,S x mX k y mY S f x, y dx dy .

системы двух СВ

X ;Y

называется

На практике чаще всего встречаются моменты I-го и II-го порядка.

	M X	1	Y	0	M X m
1,0	M X		Y		M X m	X
1,0						X
	M X	0	Y	1	m
0,1	M X		Y		m
0,1					Y

Точка с координатами			mX , mY на плоскости OXY представляет собой характеристику положения, то-
чек X, Y, а их разброс рассеивания происходит вокруг точек mX , mY .
	0,1	0
1,0	0,1



2,0

0,2



M X	2	Y	0

M X	0	Y	2





M X		2			X
		2
M Y			2
M Y	2			Y
	2
			2

	M X	1	1	M X Y
1,1	M X		Y	M X Y
1,1

2,0 M X mX 2 Y mY

2,0 M X mX 0 Y mY

	M X m			X	Y m
1,1				X		Y
Рассмотрим 1,1				отдельно.
1,1	– ковариация СВ X ;Y .
	K	XY	cov X ;Y
1,1		XY





M M

mX 2 D X

mY 2 D Y

Механическая интерпретация.
Когда распределение вероятностей на плоскости ХOY трактуется, как распределение единичной массы
на этой плоскости, точка mX , mY – центр масс распределения, дисперсии				D X и D Y – моменты инер-
ции распределения или относительно точки mX , mY в направлении осей OX и OY соответственно, а кова-
риация – центральный момент инерции распределения масс.
K	XY	K	YX

Т е о р е м а .

Если СВ X и Y независимы, то

K XY 0
Д о к а з а т е л ь с т в о :
K	XY	M X m	X	Y m
	XY		X	Y

M XY XmY mX Y mX mY

M XY M X mY mX M Y mX mY

M XY mX mY

Для независимых СВ

M XY M X M Y , т.к. X и Y независимы.
K XY M X M Y m X mY 0						.
З а м е ч а н и е .
Попутно доказано,			что		в общем		случае
M XY m	X	m	, K	XY				0,1
		Y			1,1	1,0

З а м е ч а н и е .

K XY

вычисляется по следующей формуле

K XY характеризует не только степень зависимости СВ, но также их рассеявание вокруг точки центра масс, но к сожалению размерность K XY равна произведению размерностей X и Y. Чтобы получить безраз-

мерную величину, характеризующую только зависимость, а не разброс ковариацию делят на произведение

X	Y .
			K
				XY
		XY	X
		XY
					Y
					Y
	О п р е д е л е н и е .
	Величина			XY		называется коэффициентом корреляции СВ X и Y.
	Коэффициент					XY характеризует степень зависимости СВ X и Y, но не любой, а только линейной зави-

симости, которая проявляется в том, что при возрастании одной СВ X , другая также проявляет тенденцию возрастания, в этом случае XY 0 .

Если одна возрастает, а другая убывает, то

В первом случае говорят, что две СВ связаны положительной корреляцией. Во втором случае говорят, что две СВ связаны отрицательной корреляцией. Модуль XY характеризует степень тесноты линейной за-

висимости между СВ X и Y. Если линейной зависимости нет, то

XY 0 .

Т е о р е м а .

Если же СВ X и Y связывает жесткая функциональная линейная зависимость

при a 0 , XY 1

при a 0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Y X

, то

	XY	1
	XY

K XY

M X

X mX

Y mY

b aM

X b

a M X m		2	a D
	X			X

DY M Y mY 2 M aX b amX b 2

a 2 M X mX 2 a 2 DX

X a X

Т е о р е м а .

1, a 0

0, a 0

1, a 0

XY 1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о

Рассмотрим СВ Z Y
D Z D	Y	X	X

, тогда

M Y X X Y M Y X X Y 2

X m

Y m

X m

Y m

M X m

M Y m

M X m

Y m

D Z 0

K XY X Y

О п р е д е л е н и е .

СВ X и Y называется не коррелированными, если XY 0 (или K XY 0 ).

Замечание.

Из независимости СВ следует их не коррелированность. Обратное не верно. Из коррелированности не вытекает их независимость.

незави-	XY	0 (отсутствие линейной зависимости)
	XY
симы

(обратное не верно)

При этом любая другая зависимость может иметь место.

Пример.

															Y			0			2	5		Pi
														X				0			2	5		Pi
														X
															1		0,1				0	0,2		0,3
															2			0			0,3	0		0,3
															4		0,1				0,3	0		0,4
															P j		0,2				0,6	0,2		
Найти: mX , mY , DX , DY , X , Y , KXY , XY – ?
Решение.
Очевидно, что компоненты X и Y зависимы.
p		0,1 p				p					0,3 0,2 0,06
11					1			1
m	X		1 0,3 2 0,3 4 0,4 2,5
	X
m		0 0,2 2 0,6 5 0,2 2,2
Y
DX				2	0,3		2	2	0,3				4	2	0,4	2,5		2	1,65	, X		1,65 1,285
DX			1		0,3		2		0,3				4		0,4	2,5			1,65	, X		1,65 1,285
		0		2	0,2			2	0,6					2	0,2	2,2		2	2,56
DY				2			2	2					5	2				2			, Y		2,56 1,6
DY							2						5								, Y		2,56 1,6
K	XY		M XY m							X		m	1 0 0,1 1 2 0 1 5 0,2
	XY									X		Y

2 0 0 2 2 0,3 2 5 0 4 0 0,1 4 2 0,3

4 5 0 2,5 2,2 0,9

	0,9		0,438
XY	1,285	1,6

XY 0 , значит между компонентами X и Y существует отрицательная линейная зависимость.

Те о р е м а .

D X Y D X D Y 2 K
		XY
Д о к а з а т е л ь с т в о :
D X Y M X Y m		m
			2
	X	Y
M X mX Y mY 2

M X mX 2 2 X mX Y mY Y mY 2

M X mX 2 M Y mY 2

2 M X mX Y mY D X D Y 2 K XY

Следствие:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.20152.68 Mб70AMS.pdf
#
05.06.2015485.71 Кб42anglysky.docx
#
17.12.2018411.14 Кб3answC1.doc
#
19.07.20191.41 Mб5Answers by Lumen-pc or Melnik.docx
#
08.12.2018178.69 Кб1B3.doc
#
05.06.20152.66 Mб14bardushkin.pdf
#
27.03.2016974.85 Кб118BARXOTKIN.pdf
#
05.06.2015137.01 Кб18bdz1_mp_10.pdf
#
05.06.2015130.21 Кб12bdz1_mp_12.pdf
#
05.06.2015116.51 Кб11bdz2_mp_12.pdf
#
05.06.2015143.88 Кб7bdz3_mp_12.pdf