№27. Численные методы вычисления определённого интеграла

Замена переменного:

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a';b'], а функция φ(t) имеет непрерывную производную φ'(t) на отрезке [α;β] , причём все значения x= φ(t) при t ϵ[α;β] принадлежат отрезку [a';b'] , в том числе φ(α)=a и . φ(β)=b. Тогда имеет место равенство:

Доказательство: Пусть F(x) - некоторая первообразная для f(x) , так что

и G(t) - некоторая первообразная для f(φ(t))φ'(t) , так что

Поскольку по теореме о замене переменного в неопределённом интеграле имеет место формула

то есть G(t)=F(φ(t))+C где C=const, то при t= β и t= α имеем G(β)=F(φ(β))+C и G(α)=F(φ(α))+C, откуда

G(β)-G(α)=F(φ(β))-F(φ(α)).

Учитывая, что φ(β)=b и φ(α)=a , получаем G(β)-G(α)=F(b)-F(f), а это и есть доказываемая формула замены переменного.

Интегрирование по частям:

Пусть функции f(x) и g(x) имеют на отрезке [a;b] непрерывные производные f'(x) и g'(x) . Тогда имеет место формула

Заметим, что эту формулу можно записать в виде

где выражение

называется внеинтегральным членом. Введя обозначения u=f(x) и v=g(x), мы можем переписать формулу интегрирования по частям в более коротком виде:

 Доказательство: Поскольку из условий теоремы следует, что под знаками интегралов в левой и правой частях равенства стоят непрерывные функции, то к этим интегралам можно применять формулу Ньютона - Лейбница:

и

Пусть F(x) - некоторая первообразная для функции f(x)g'(x), а G(x)- некоторая первообразная для функции g(x)f'(x). Формула интегрирования по частям для неопределённого интеграла, то есть

означает, что F(x)=f(x)g(x)-G(x)+C,

где C=const. Положим теперь x=b и x=a и получим: F(b)=f(b)g(b)-G(b)+C и F(a)=f(a)g(a)-G(a)+C, откуда F(b)-F(a)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-(G(b)-G(a)).

Но с учётом равенств, полученных выше по формуле Ньютона - Лейбница, это как раз и даёт доказываемую формулу.

№30.Условный экстремум

Рассмотрим задачу нахождения локального экстремума функции , если накладываются дополнительные условия, ограничивающие область изменения аргумента.

Определение. Функция имеетусловный максимум (условный минимум) в точке , если существует такая окрестность точки, что, удовлетворяющей уравнению связи, выполняется неравенство.

В отличие от задачи определения точек экстремума функции многих переменных в данной задаче появляется дополнительное условие: точки экстремума удовлетворяют равенству . Для решения задач нахождения условных экстремумов используется метод неопределенных множителей Лагранжа. Функция Лагранжа определяется следующим образом:

,

Где λ – множитель Лагранжа.

Задача оптимизации производства

Опр. Доход производства r есть произведение общего объёма выпуск фирмой на их рыночную цену.

r=p₀y

Опр. Издержки фирмы- это общие выплаты за все виды затрат

c=p₁x₁+p₂x₂ , x₁,x₂ - объемы ресурсов , p_1,p₂ – рабочие цены на единицу ресурсов

Опр. Прибыль – разность м/у доходом и издержками.

П(x₁,x₂) = p₀f(x₁,x₂) – (p₁,x₁+p₂,x₂)

y= f(x₁,x₂) – произв фун-ции

Цели производства – получить макс прибыли путём рационального использования ресурсов