- •9. Несобственные интегралы. Признаки сравнения.
- •10. Несобственные интегралы c особенностями в нескольких точках.
- •11. Функции многих переменных
- •17. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке
- •18. Понятие локального экстремума. Необходимые условия.
- •19.Достаточные условия локального экстремума.
- •№27. Численные методы вычисления определённого интеграла
19.Достаточные условия локального экстремума.
Т.Пусть ф-ция z=f(x,y) диф-ма в т. () и имеет вторые производные в этой точке,т.-стационарная.ОбозначимТогда
1)если ,то в т.-лок.экстремум. При этом -лок.max,-лок.min
2)если ,то в т.лок.экстремума нет.
3)если D=0,то требуется доп.исследования.
Док-во:Разложим f(x,y)по формуле Тейлора в окр-ти т.M0:
Т.к. -стац. Точка,первый диф-ал=0
Остается
квадратичная форма от
Если -положит.определена (по критерию Сильвестра)
в т. -лок.min
Еслиотриц.определенав т.-лок.max
№20.Понятие неявной ф-ции.Теорема существования и непрерывности неявной ф-ции.Дифференцирование неявной ф-ции.Диф-ие неявной ф-ции нескольких переменных.
Опр.Неявная ф-ция y=f(x)-это решение ур-ия F(x,y)=0 относительно y,т.е.
Т.(существование и непрерывность неявной ф-ции)
Пусть выполн. усл.:
1)F(x,y) непр. в прямоуг. Q={(x,y)|a<x<b,cyd}
2)(т.е. на нижних и верхних сторонах прямоугольникаQ ф-ция имеет знач. разных знаков)
3) явл. строго монотонной ф-цией относит.y на [c,d].Тогда на (a,b) ! неяв. ф-цияy=f(x),определяемая ур-ем (*) и эта ф-ция непр. на (a,b) .
Т.(диф-ть неяв. ф-ции)
Пусть:1)F(x,y)диф-ма в некоторой окр. точки ,
2)непр. в т.
3)
Тогда сущ.прямоугольник ,в к-ом ур-иеF(x,y)=0 определяет единственную неявную ф-цию y=f(x),где и произв. Неявной ф-ции ищется по формуле:
Замечание. При вычислении сначала берется частная производная поx,а затем вместо y подставляется ф-ция f(x).Следствие:Если ф-ция F(x,y) диф-ма n раз в окр.т. ,то и неяв.ф-цияy=f(x)диф-ма n раз в окр-ти т. .
Теорема.(диф-ть неяв. ф-ции нескольких переменных) Пусть:1)диф-ма в нек. точке
2)непр. в;
3)
Тогда в окр.т. ур-иеопр-ет единств. неяв. ф-цию,причемнеяв.ф-ция диф-ма в окр. т.и ее частные производ. Вычисл по формулам:
для всех i=1,2,…m.
№21. Неявные функции, определяемые системой уравнений.
Рассм: Решение:
называется совокупностью неявных функций, определяемых системой уравнений.
Определитель
,
сост частных произв назыв определителем Якоби, или якобианом ф-ий ,, …,по переменным,, …,и обознач.
Теорема(диф-ть неяв ф-й заданных сист ур-й). Пусть
функции ,, …,из (**) дифф-емы вU;
частные производные непрерывны в точке;
,,…,,.
Тогда определена единственная совокупность неяв ф-ий, дифф-емых в U и частные производные неявных ф-ий находятся по след системе:
Из этой системы однозначно опред частные произв для ,(Она определена и сущ единств реш-е.)
№22. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной явными и неявными функциями.
Касательной плоскостью к пов-ти в т М назыв плоскость, в которой лежат все касательные в т М к различным кривым, проведённым на пов-ти через эту точку.
Нормалью к пов-ти назыв перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.
Если ур-е пов-ти в декартовой системе координат задано в явной форме z=f(x,y), где f(x,y) – дифференцируемая ф-я, то уравнение касательной плоскости в точке поверхности М0(x0,y0,z0) есть.
Z-z0=f’x(x0,y0)(X-x0)+f’y(x0,y0)(Y-y0)+f’y(x0,y0)(Y-y0). Здесь z0=f0(x0,y0), а X,Y,Z – текущие коорд точки касательной плоскости.
Уравнения нормали имеют вид:
(X-x0)/f’x(x0,y0)=(Y-y0)/f’y(x0,y0)=(Z-z0)/-1
где X,Y,Z – текущие координаты точки нормали.
Если ур-е пов-ти задано в неявной форме F(x,y,z)=0 и F(x0,y0,z0)=0, соотв ур-я будут иметь такой вид:
F’x(x0,y0,z0) (X-x0)+ F’y(x0,y0,z0) (Y-y0)+ F’z(x0,y0,z0) (Z-z0)=0 – ур-е касательной плоскости
(X-x0)/F’x(x0,y0,z0)=(Y-y0)/F’y(x0,y0,z0)=(Z-z0)/ F’z(x0,y0,z0) – ур-е нормали.
Пример: ур-е касательной и нормали к пов-ти z=x2/2-y2 в т. М(2;-1;1)
Найдём част произв и их знач в т. М: (dz/dx)M=2, (dz/dy)M=2. Подставить в 1 и 2 формулы и имеем 2x+2y-z-1=0 (ур-е кас плоскости) и (x-2)/2=(y+1)/2=(z-1)/-1 (ур-е нормали).
№23.Понятие кратного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства.
Опр. Кратным интегралом от функции f на множестве D называется предел интегральной суммы, когда максимальный диаметр разбиения 0.
Двойной интеграл от f(x;y) на :
Геометрический смысл двойного интеграла:
Это объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z=f(x,y), а снизу плоскостью z=0.
Свойства кратных интегралов:
, (Площадь)(Объем)
, где A,B=const.
- мн-во меньшей размерности
на D =>
, M=const
Теорема о среднем значении: Пусть непрерывна на замкнутом мн-веD. Тогда ;.
№24. Вычисление кратного интеграла путем сведения к повторным.
Сведение кратного интеграла к повторным.
Теорема:
Пустьf(x,y) заданна и непрерывна на прямоугольнике
Тогда непрерывна на [a;b]
Доказательство:
; , при |h|<;
Тогда .
Теорема:
Пусть f(x,y) определена и непрерывна на прямоугольнике
Тогда
№25. Замена переменных в кратном интеграле.
Пусть x=(u,v), y=(u,v). Функции и имеют непрерывные производные в замкнутой ограниченной области D
I(u,v)= ≠0
Тогда
D→D’ (выраж. В переменных u,v)
Пусть x=(u,v,w), y=(u,v,w), z=(u,v,w)
Тогда: №26. Несобственные кратные интегралы
1) Интеграл по бесконечной области
Пусть f(x,y), непрер. в бесконечной области D:
, где D’ – конечная область, лежащая в D, которая расширяется произвольным образом.
Если существует конечный предел, независ. От выбора области D’ и способа расширения, то несобственный интеграл называется сходящимся.
2) Интеграл от разрывной функции
Пусть f(x,y) непрер. В ограниченной замкн. D всюду, за исключением P0(x0, y0)
Если существует конечный предел , где D - область D с вырезанной -окрестностью т. P0, то этот предел называется несобственным интегралом от f(x,y) по области D
Интеграл Пуассона
Переход к полярным координатам