17. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке

Пусть функция f(x) непрерывна на замкнутом промежутке (а, b). Тогда она обладает следующими свойствами.

1. Среди значений, которые функция принимает в точках данного промежутка, имеется наибольшее и наименьшее.

Замечание 1. Среди значений, которые принимает функция f(x) в точках незамкнутого промежутка (а, b), может не быть наибольшего или наименьшего.

Так, в незамкнутом промежутке (1, 3) функция 2х не обладает ни наименьшим значением, ни наибольшим (она могла бы принять эти значения на концах х=1и х=3, но из незамкнутого промежутка концы исключены).

2. Если т есть значение функции f(x) при х = а и п — значение f(x) при х — b, то функция f(x) принимает внутри промежутка (а, Ъ) по крайней мере по одному разу всякое значение р, заключенное между т и п.

Геометрически: всякая прямая, проведенная параллельно оси абсцисс выше точки А, но ниже точки В, встретит по крайней мере один раз график АВ.

Замечание 2. Разрывная функция может не обладать свойством 2

2а. В частности, если на одном конце промежутка функция имеет положительное, а на другом — отрица­тельное значение, то внутри промежутка она по край­ней мере один раз обращается в нуль.

Геометрически: если одна из точек А, лежит выше оси ОХ, а другая ниже, то график АВ по крайней мере один раз встречает ОХ.

3. Если переменные х п х' изменяются так, что раз­ность х - х бесконечно малая, то разность f(x) - f(x') тоже бесконечно малая.

Замечание 3. Если x' есть постоянная величи­на с, то разность f(x) - f(c) является бесконечно малой. В силу свойства 3 настоящего па­раграфа при бесконечной малости х- х' разность f(x) - f(x') бесконечно малая не только тогда, когда х' по­стоянна, но и тогда, когда х' переменна.

Замечание 4. При непрерывности функции в незамкнутом промежутке свойство 3 может не иметь места. Так, функция – непрерывна в промежутке (0, 1), лишенном концах = 0. Пусть х и х' изменя­ются так, что х' = 2х и х —> 0. Тогда разность х - х' бес­конечно малая, но разность f(x) - f(x')=

18. Понятие локального экстремума. Необходимые условия.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума: M₀ - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C₀ находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C₀, но эти точки (например, В) не являются "соседними" с точкой C₀.

В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:

Аналогично определяется и глобальный минимум:

Небходимые условия локального экстремума

Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y)D. Точка M₀(x₀;y₀D - точка локального экстремума.

Если в этой точке существуют z'_x и z'_y, то

Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C₀ на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом 0° к оси Ох и к оси Оу.

Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных

что и требовалось доказать.