Курс лекций по статистике

годовые - по пятилеткам и т.д. При этом проводится простое суммирование величин, а также расчет средних уровней за укрупнённый период.

В результате более четкого проявляется общая тенденция развития явления. Однако она не учитывает изменения внутри укрупнённых интервалов.

2. Метод скользящей средней – расчёт средних уровней динамического ряда по укрупнённым интервалам путём последовательного смещения начала отсчёта на один временной период.

Выбор интервала сглаживания зависит от условия, например, для нечётного ряда, состоящего из 15 уровней, применяют трёх-, пяти-, семичленную скользящую среднюю (но не более половины ряда).

Метод аналитического выравнивания

Аналитическое выравнивание дает количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней во времени.

Общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

yˆt f (t) .

Выбор адекватной математической функции, которая лучше отображает тренд должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления.

Примером математической модели являются:

где a0 , a1 – параметры уравнения;

t – время (порядковый номер периода или момента времени). Например, при выравнивании ряда динамики по прямой оценка пара-

метров уравнения осуществляется методом наименьших квадратов. Метод заключается в минимизации суммы квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению.

Для этого решается система нормальных уравнений:

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t=0) принять центральный интервал (момент). Если число членов ряда нечетное, то t = …-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4… Если число членов ряда четное, то t = …-5, -3, -1, 1, 3, 5… При этом t 0 и система уравнений примет вид:

Выразим из первого уравнения a0 n y .

yˆt a0 a1t , которое в результате будет представлять собой трендовую модель искомой функции.

8.5. Прогнозирование и экстраполяция в ряду динамики

Статистические методы занимают важное место в системе методов прогнозирования.

Базу для прогнозирования создают выявление и характеристика трендов и моделей взаимосвязей. Применение прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем, то есть прогноз основан на экстраполяции.

Для характеристики показателей ряда динамики применяют методы, которые позволяют осуществить прогноз, найти недостающие компоненты ряда.

Характеристика

Нахождение по имеющимся данным за определённый период значений в начале динамического ряда

Расчет по имеющимся данным за определённый период некоторых недостающих значений внутри этого периода

Нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, то есть продление ряда на основе выявленной закономерности изменения уровней в изучаемый отрезок времени

Выделяют следующие методы экстраполяции: среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и экстраполяцию на основе аналитического выравнивания.

Прогнозирование по среднему абсолютному приросту может быть выполнено в случае, если общую тенденцию можно считать линейной, т.е. метод основан на предположении о равномерном изменении уровней (под равномерностью понимается стабильность абсолютных приростов).

Экстраполяцию можно выполнить по формуле:yi y k ,

где yˆi k – прогнозируемый уровень;

yi – последний уровень анализируемого ряда;y – средний абсолютный прирост;

k – срок прогноза.

Прогнозирование по среднему темпу роста может быть выполнено в случае, если общая тенденция ряда характеризуется показательной кривой.

Экстраполяцию можно выполнить по формуле:

yˆi k yi К р k ,

где К р – средний коэффициент роста.

Экстраполяция на основе аналитического выравнивания является наиболее точным методом прогнозирования.

Зная уравнение для теоретических уровней и подставляя в него значения t за пределами исследованного ряда, рассчитывают вероятностные значения.

скорректированное по числу степеней свободы (n-m); n – число уровней ряда динамики;

m – число параметров адекватной модели тренда (для уравнения прямой m=2).

Вероятностные границы интервала прогнозируемого явления:

yˆt t S yˆ t yi k yˆt t S yˆ t .

8.6.Методы изучения сезонных колебаний

Вшироком понимании к сезонным относят все явления, которые обнаруживают в своем развитии отчетливо выраженную закономерность внутригодовых изменений, т.е. более или менее устойчиво повторяющиеся из года в год колебания уровней. Они являются результатом влияния природноклиматических условий, общих экономических факторов и других многочисленных и разнообразных факторов. Сезонные колебания наблюдаются в различных отраслях экономики: при производстве и переработке большинства сельскохозяйственных продуктов, в строительстве, транспорте, торговле и т.д.

Сезонные колебания отрицательно влияют на результаты производственной деятельности, вызывая нарушения ритмичности производства. Комплексное регулирование сезонных изменений должно основываться на исследовании сезонных колебаний.

Сезонные колебания характеризуются специальными показателями, которые называются индексами сезонности I S . Совокупность этих показате-

лей отражает сезонную волну. При анализе сезонности для выявления устойчивой сезонной волны, на которой не отражались бы случайные условия одного года, используют данные не менее чем трех лет.

При исчислении индексов применяют разные методы, выбор которых зависит от характера общей тенденции ряда динамики.

Если ряд динамики не имеет ярко выраженной тенденции развития, то индексы сезонности исчисляют непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания. Для расчёта индексов сезонности необходимо иметь данные по периодам не менее чем за 3 года. Сущность метода заключается в определении средних по периодам y i и для всего анали-

зируемого ряда y . По этим данным находят индекс сезонности:

I S yi 100 , y

i

где y i – средний уровень для каждого месяца (минимум за три года); y – среднемесячный уровень для всего ряда.

Для наглядного представления сезонной волны исчисленные индексы сезонности изображают на графике.

Когда уровень проявляет тенденцию к росту или снижению, то отклонения от постоянного среднего уровня могут исказить сезонные колебания. В таких случаях фактические данные сопоставляют с данными, полученными аналитическим выравниванием.

Задачи по теме

1. По условным данным о выпуске продукции провести анализ ряда динамики. Данные расчетов представим в таблице.

Решение:

Расчетные данные по базисным и цепным показателям абсолютного прироста, темпа роста, темпа прироста, абсолютного значения 1% прироста представлены в таблице.

Базисный абсолютный прирост: y Б yi y0 .

y Б 2007 2006 22 20 2 ,

В среднем ежегодно выпуск продукции увеличивался на 2,5 тыс.шт. Средний темп роста определим двумя способами:

по цепным коэффициентам роста как средняя геометрическая:

Т р m 1 K цр1 K цр 2 ... K цр n 100 5 1 1,1 1,182 1,077 1,071 100 110,7%

по формуле:

Средний темп прироста: Т пр Т р 100 110,7 100 10,7%

С 2006 по 2010 гг. выпуск продукции увеличивался в среднем на 10,7% в

год.

2. По условию задачи 1 выровнять ряд по уравнению прямой. Определить с вероятностью 95,4% возможные пределы, в которых может находиться выпуск продукции в 2011 году.

Решение:

Результаты расчетов представлены в таблице.

Для выравнивания данного ряда используем линейную трендовую мо-

yˆt a0 a1 t , которое в результате будет представлять собой трендовую модель искомой функции:

емый выпуск продукции в 2011 году составит yˆ2011 25,2 2,6 ( 3) 33 тыс.шт. Результат экстраполяции прогнозируемых явлений обычно получают не

точечными (дискретными), а интервальными оценками.

Для определения границ интервалов воспользуемся формулой: yˆt t S yˆ t ,

Коэффициент доверия t = 2, т.к. вероятность Px = 95,4%.

Остаточное среднее квадратическое отклонение от тренда, скорректированное по числу степеней свободы (n-m):

Вероятностные границы интервала прогнозируемого явления:

yˆt t S yˆ t yi k yˆt t S yˆ t

33 2 0,63 y2011 33 2 0,63 31,74 y2011 34,26

С вероятностью 95,4% можно предположить, что выпуск продукции в 2011 году будет не менее 31,74 тыс.шт., но и не более 34,26 тыс.шт.

3. По одному из промышленных объединений имеются данные о произведенной продукции в старом составе (3 предприятия) и в новом составе (4 предприятия).

Решение:

Показатели за 2008-2010 гг. несопоставимы с показателями за 2005-2007 гг., т.к. исчислены в неодинаковых границах. Приведем данные к сопоставимому виду с помощью метода смыкания рядов. Для этого используем две методики.

По первой методике сомкнем ряд с помощью коэффициента перехода из старых границ в новые.

Кпер 22,428,3 1,26

Пересчитаем показатели за 2008-2010 гг.:

y2005 20,0 1,26 25,2 и т.д.

По другой методике уровень 2008 года, в котором произошли изменения, примем за 100%, а остальные уровни ряда пересчитаем в процентах по отношению к этому уровню.

Т Р 2005 22,420,0 100 89,3 и т.д.

4. По данным о численности персонала на определенные даты определить среднюю списочную численность персонала.

С 1 по 15 апреля работали 20 человек, с 16 по 25 апреля – 27 человек, с 26 по 30 апреля – 30 человек.

Решение:

В соответствии с классификацией по условию дан интервальный ряд с неравными интервалами.

Для расчета среднего уровня ряда воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной.

Средняя списочная численность работников в апреле составила 24 человека.

5. По данным об остатках вкладов в банке определить средние месячные остатки вкладов за 2 квартал.

1 апреля – 22 млн.руб.

1 мая – 28 млн.руб.

1 июня – 30 млн.руб.

1 июля – 32 млн.руб.

Решение:

В соответствии с классификацией по условию дан моментный ряд с равными интервалами.

Для расчета среднего уровня ряда воспользуемся формулой средней хронологической простой:

.

Среднемесячные остатки вкладов во 2квартале составили 28 млн.руб.

6. В марте по сравнению с февралем цены возросли на 8%, в апреле по сравнению с мартом на 11%. Определить: на сколько процентов возросли цены в апреле по сравнению с февралем; среднемесячный темп прироста цен с февраля по апрель.

Решение:

1.По условию можно определить цепные темпы роста.

Тр ц м / ф 8 100 108%

Т р ц а / м 11 100 111%

Между цепными и базисными показателями существует следующая взаимосвязь: произведение всех последовательных цепных коэффициентов роста равно конечному базисному коэффициенту роста за весь период.

ТрБ апр/ февр К цр март/ февр К цр апр/ март 100 1,08 1,11 100 119,9%

Вапреле по сравнению с февралем цены возросли на 19,9 процентов.

7. По данным об остатках оборотных средств определить средние месячные остатки за год.

1 января – 80 тыс.руб.

1 мая – 20 тыс.руб.

1 октября – 110 тыс.руб.

1 января – 60 тыс.руб.

Решение:

В соответствии с классификацией по условию дан моментный ряд с неравными интервалами.

Для расчета среднего уровня ряда воспользуемся формулой средней хронологической взвешенной:

Среднегодовые остатки оборотных средств составили 65 тыс.руб.

9. Статистическое изучение взаимосвязей социально–экономических явлений

9.1. Виды и формы взаимосвязей между явлениями

Общественная жизнь состоит из большого количества сложных явлений, которые формируются под влиянием многочисленных, разнообразных и взаимосвязанных факторов. Понять и изучить какое либо явление можно, исследуя его во взаимосвязи с окружающими признаками.

В статистике различают факторные и результативные признаки. Факторные признаки (x) – это признаки, обуславливающие изменения

других, связанных с ними признаков.

Результативные признаки (у) – это признаки, меняющиеся под действием факторных признаков.

Между явлениями и их признаками различают два вида связей: функциональные и стохастические, каждая из которых имеет свои особенности.

Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь.

Особенности функциональной связи:

определенному значению величины факторного признака соответствует только одно значение результативного признака;

она обычно выражается формулами, что в большей степени присуще точным наукам (математике, физике)

функциональная зависимость с одинаковой силой проявляется у всех единиц совокупности;

она является полной и точной, так как обычно известны перечень всех факторов и механизм их воздействия на результативный признак в виде уравнения.

Особенности корреляционной связи:

средняя величина результативного признака меняется под влиянием изменения факторных признаков (ряд из которых может быть неизвестен);

разнообразие факторов, их взаимосвязи и противоречивые действия вызывают широкое варьирование результативного признака;

корреляционные связи обнаруживаются не в единичных случаях, а в массе и требуют для своего исследования массовых наблюдений;

связь между признаками-факторами и результативным признаком неполная, а проявляется лишь в общем, среднем.

Взависимости от направления действия функциональные и корреляционные связи делят на прямые и обратные; по аналитическому выражению

(по форме) - на прямолинейные (линейные) и криволинейные (нелинейные).

При прямых связях с увеличением (уменьшением) значений факторного признака происходит увеличение (уменьшение) результативного признака.

При обратных связях – с увеличением (уменьшением) значений факторного признака происходит уменьшение (увеличение) результативного признака.

Под формой связи понимают тенденцию, которая проявляется в изменении результативного признака в связи с изменением признака-фактора. Она может быть выражена различными математическими функциями.

При прямолинейных связях с возрастанием величины факторного признака происходит равномерное возрастание (или убывание) величин результативного признака (выражают уравнением прямой линии).

При криволинейных связях – с возрастанием величины факторного признака возрастание (или убывание) результативного признака происходит неравномерно или направление его изменения меняется на обратное (выражаются уравнениями кривых линий: гиперболой, параболой, др.).

Корреляционные связи в зависимости от количества признаков, включенных в модель, делятся на парные и множественные.

Если оценивается связь между одним признаком-фактором и результативным признаком (при абстрагировании влияния других), то такая связь называется однофакторной (парной).

Многофакторные (множественные) – это связи между несколькими факторными признаками и результативным признаком (факторы действуют комплексно, т.е. одновременно и во взаимосвязи).

9.2. Методы измерения связей между количественными признаками

Для изучения связи между количественно-варьирующими признаками используются следующие методы: