общая теория статистики

Задание 5.

Имеются следующие данные по кондитерскому магазину «Орион»:

Определите:

1)Как изменилось количество реализуемых кондитерских изделий в целом по магазину ( в % и в тыс.руб.).

2)Изменились ли цены на кондитерские изделия, если известно, что товарооборот в отчетном периоде увеличился на 28%.

3)Сделайте выводы.

Задание 6.

Имеются следующие данные по промышленному торгу района:

Определите общие индексы цен и физического объема продаж, если товарооборот в фактических ценах увеличился в отчетном периоде по сравнению с предыдущим на 2%. Сделайте выводы.

Задание 7.

Имеются данные по магазинам района:

Определите:

1.Индивидуальные индексы издержек обращения.

2.Удельные веса магазинов в общем объеме реализации за предыдущий

иотчетный периоды.

3.Определите динамику изменения среднего уровня издержек обращения в абсолютном и относительном выражении.

4.Индексы среднего уровня издержек обращения:

а) переменного состава;

184

б) фиксированного состава; в) влияния структурных сдвигов.

Покажите взаимосвязь между индексами и сделайте выводы.

Задание 8.

Имеются данные по отдельным предприятиям отрасли:

Определите:

1.Динамику изменения среднего уровня рентабельности.

2.Индивидуальные индексы уровня рентабельности.

3.Индексы среднего уровня рентабельности:

а) переменного состава; б) фиксированного состава;

в) влияние структурных сдвигов.

Покажите взаимосвязь между индексами. Сделайте выводы.

Задание 9.

Как в среднем изменились цены на молочную продукцию, если известно, что объем ре6ализации этих продуктов увеличился за этот период на 15%, а товарооборот по этой группе товаров увеличился на 21% ?

Задание 01.

В отчетном периоде по сравнению с базисным стоимость основных производственных средств увеличилась на 17%, а фондоотдача снизилась на 5%. Как изменился при этом объем произведенной продукции?

Задание 11.

Трудоемкость производства одного изделия в отчетном периоде снизилась на 2,5%, а объем произведенной за этот период продукции увеличился на 3,2%. Как изменились при этом затраты времени на производство продукции?

185

Задание 12.

Основные показатели работы основных видов транспорта одной из областей России:

Рассчитайте индивидуальные индексы (цепные и базисные) длины путей и перевезенных грузов за каждый год и отдельно для железнодорожных и автомобильных дорог.

На цепной основе рассчитайте:

а) индекс грузооборота транспорта общего пользования за каждый год; б) абсолютное изменение грузооборота всего за каждый год.

Задание 13.

По данным задачи 12:

1.Рассчитайте для каждого года среднюю длину перевозки грузов.

2.На цепной основе рассчитайте индекс средней длины перевозки грузов за каждый год.

3.Определите в абсолютном и относительном выражении изменение среднего расстояния перевозки:

а) за счет изменение длины перевозки, б) за счет изменения видовой структуры перевозки.

Тема 1.9. Выборочный метод

Выборочное наблюдение – это такое несплошное наблюдение, при котором отбор подлежащих обследованию единиц осуществляется в случайном порядке, отобранная часть изучается, а результаты распространяются на всю исходную совокупность.

186

Совокупность, из которой производится отбор, называется генеральной, и все ее обобщающие показатели – генеральными.

Совокупность отобранных единиц именуется выборочной совокупностью, и все ее обобщающие показатели – выборочными.

Ошибки, свойственные выборочному наблюдению, называются ошибками репрезентативности, или ошибками представительства. Они характеризуют размер расхождения между данными выборочного наблюдения и всей совокупности. Ошибки репрезентативности могут быть случайными систематическими.

Специальные этапы проведения выборочного наблюдения следующие: а) определение необходимого объема выборки и способа отбора; б) проведение отбора;

в) обобщение данных наблюдения и расчет выборочных характеристик; г) расчет ошибок выборки; д) распространение выборочных характеристик на генеральную

совокупность.

Различают четыре вида отбора совокупности единиц наблюдения:

−случайный;

−механический;

−типический;

−серийный (гнездовой)

Случайный отбор. При этом виде отбора осуществляется отбор единиц из генеральной совокупности в случайном порядке, наугад, без каких-либо элементов системности. Выборка может быть проведена по схеме повторного и бесповторного. При повторном – каждая отобранная единица возвращается

вгенеральную совокупность и может вновь попасть в выборку. При бесповторном – каждая обследованная единица изымается и не возвращается

всовокупность, поэтому она не попадает в повторное обследование. Механический отбор. Вся совокупность разбивается на равные по

объему группы по случайному признаку. Затем из каждой группы, как правило, берется одна единица. Все единицы изучаемой совокупности предварительно располагаются в определенном порядке – например, по алфавиту, а потом, в зависимости от объема выборки, механически, через определенный интервал, отбирается необходимое количество единиц.

Типический отбор. Изучаемая совокупность развивается по существенному типическому признаку на качественно однородные, однотипные группы. Затем из каждой группы случайным способом отбирается количество единиц, пропорционально удельному весу группы во всей совокупности.

Серийный (гнездовой) отбор. Отбору подвергаются не отдельные единицы совокупности, а целые группы (серии, гнезда), отобранные случайным или механическим способом.

187

Основные характеристики параметров генеральной и выборочной совокупности обозначаются символами:

N – объем генеральной совокупности (число входящих в нее единиц); n – объем выборки (число обследованных единиц);

X – генеральная средняя (среднее значение признака в генеральной совокупности);

~х – выборочная средняя;

σ 2 – генеральная дисперсия (дисперсия признака в генеральной совокупности);

S 2 – выборочная дисперсия того же признака;

σ – среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности; S – среднее квадратическое отклонение в выборке.

При проведении выборочного наблюдения основной задачей является определение ошибок выборки. Различают среднюю и предельную ошибки выборки.

Средняя ошибка выборки ( μ ) представляет собой среднюю величину возможных отклонений выборочной средней от генеральной доли.

Так при случайном повторном отборе для расчета средней ошибки выборочной средней используют следующее соотношение:

определяют: х = tμ ,

где t - нормированное отклонение, или коэффициент доверия, и представляет собой отношение ошибки конкретной выборки к средней ошибке выборки. Коэффициент доверия определяет размер ошибки в зависимости от того, с какой вероятностью P она находится. Значение t и P определяются в специальных таблицах.

Из формулы μ следует, что задав размер средней ошибки и оценив колеблемость признака, можно определить какова должна быть численность выборки, чтобы ошибка по величине не превышала среднюю.

При решении этого вопроса на практике чаще заранее задается не средняя, а предельная ошибка выборки, которая как видно из формулы, устанавливается с определенным уровнем гарантии (вероятности) P .

188

Определение средней, предельной ошибок и необходимой численности выборки

Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности. Например, для выборочной средней такие пределы устанавливаются на основе следующих соотношений:

Это означает, что с заданной вероятностью можно утверждать, что значение генеральной средней следует ожидать в пределах от ~x - Dx до ~x + Dx .

Примеры решения типовых заданий

Пример 1.

Условие: В населенном пункте проживает 250 тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семье была организована 2 % случайная бесповторная выборка семей. По ее результатам было получено следующее распределение семей по числу детей:

С вероятностью 0,954 найдите пределы, в которых будет находиться среднее число детей в генеральной совокупности.

Решение:

189

Вначале определим выборочную среднюю и дисперсию.

Для определения выборочной средней используем формулу средней арифметической взвешенной:

Дисперсия может быть определена, как разность среднего квадрата и квадрата средней величины:

Исчислим предельную ошибку выборки с учетом:

Р = 0,954 , t = 2 ;

Вывод: с вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднее число детей в семье практически не отличается от 1,5, т.е. в среднем на каждые две семьи приходится три ребенка.

Пример 2.

Условие: При обследовании 100 образцов изделий, отобранных из партии в случайном порядке, оказалось 20 нестандартных. С вероятностью 0,954 определите предел, в котором находится доля нестандартной продукции в партии.

Решение:

Рассчитаем долю нестандартной продукции в выборочной совокупности:

Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью 0,954 составит:

D = 2×0,04 = 0,08

190

12%ÐpÐ28%

Итак, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля нестандартной продукции в партии товара колеблется от 12% до 28%.

Задача типовая 3.

Условие: В районе проживает 2000 семей. В порядке случайной бесповторной выборки предполагается определить средний размер семьи при условии, что ошибка выборочной средней не должна превышать 0,8 с вероятностью P=0,954 и при среднем квадратическом отклонении 0,2.

Решение: Рассчитаем необходимую численность выборки:

Для анализа необходимо отобрать 24 семьи в порядке случайной бесповторной выборки.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1.

В порядке механической выборки обследован возраст 100 студентов вуза из общего числа 2000 человек. Результаты обработки, материалы наблюдения приведены в таблице:

Определите:

а) средний возраст студентов по выборке; б) величину ошибки при определении возраста студентов на основе

выборки; в) вероятные пределы колебания возраста для всех студентов при

вероятности 0,997.

Задание 2.

Для определения ежедневных суточных привесов 300 поросят, поставленных на откорм, необходимо проводить контрольные взвешивания. Требуется установить, сколько голов поросят надо подвергнуть контролю, чтобы определить суточные привесы с ошибкой, не превышающей +5%. Отбор свиней осуществлять методом случайного бесповторного отбора. Известно, что средняя колеблемость суточных привесов составляет 12%, уровень вероятности суждения 0,954.

Задание 3.

Определите, сколько персональных компьютеров следует подвергнуть обследованию в порядке случайности бесповторной выборки, чтобы с

191

вероятностью 0,954 предельная ошибка (в % к среднему сроку службы компьютера) не превышала 3%. Коэффициент вариации среднего срока службы компьютеров по данным предыдущих обследований составляет 15%, а вся партия состоит из 1250 компьютеров.

Задание 4.

Для оценки устойчивости пшеницы против осыпаемости на участках, оставшихся неубранными через 15 дней после наступления восковой спелости взято по две пробы с концов двух делянок, т.е. всего четыре робы по 250 колосьев каждая. Затем было установлено число осыпавшихся зерен в отобранных колосьях, колосья были обмолочены и определено число сохранившихся зерен. Результаты подсчета сохранившихся и осыпавшихся зерен в колосьях представлены в таблице.

Таблица 1. Число оставшихся и сохранившихся зерен в колосьях

Требуется определить средний процент осыпаемости и ошибку (доверительные границы) полученного по пробам среднего процента. Уровень вероятности суждения 0,954.

Задание 5.

Определите, сколько персональных компьютеров следует подвергнуть обследованию в порядке случайности бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка (в % к среднему сроку службы компьютера) не превышала 3%. Коэффициент вариации среднего срока службы компьютеров по данным предыдущих обследований составляет 15%, а вся партия состоит из 1250 компьютеров.

Задание 6.

Для определения средней заработной платы продавцов была произведена 20%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности типических групп (внутри типов применялся метод случайного бесповторного отбора).

192

С вероятностью 0,997 определите предел, в котором находится средняя заработная плата всех продавцов.

Задание 7.

В районе 10 тысяч семей. Какое число семей необходимо отобрать для определения среднего размера семьи, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,5 человека, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 9?

Задание 8.

Для анализа структуры вкладов населения было проведено выборочное собственно-случайное обследование 10% банковских вкладов. В результате получено следующее распределение:

Определите:

−средний размер вклада, и с вероятностью 0,954 установите возможные пределы выборочной средней для всей совокупности вкладов населения;

−с вероятностью 0,683 определите пределы отклонения доли вкладов свыше 10 тыс. руб.

Задание 9.

Из 5% опрошенных выпускников университета 30% удовлетворены полученными знаниями за время обучения. Какова должна быть численность выборки, чтобы ошибка доли не превышала 0,05 (с вероятностью 0,954 и количестве выпускников 2000 человек).

Задание 10.

В результате механической выборки в городе предполагается определить долю семей с числом детей три и более.

Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,03, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,4.

193