общая теория статистики

а) проверим на автокорреляцию ряд хt. Для этого параллельно со значениями хt записывают значения, сдвинутые на единицу, т.е. х t - 1. Чтобы ряд х t-1 не укорачивался, в первую строку его значений записывают последнее значение хt. При этом средние уровни и стандартные отклонения

154

Одним из способов исключения влияния автокорреляции является

коррелирование остаточных величин: εx = x - xt и εy = y - yt , где xt и yt - выравненные, теоретические уровни динамических рядов.

Предположив, что объем выпуска продукции предприятием и количество переработанного сырья изменяется во времени по параболе 2-го порядка, произведем аналитическое выравнивание рядов x и y, и рассчитаем

xt и yt .

а) уравнение параболы 2-го порядка: xt = a0 + a1t + a2 t 2 . Для расчета параметров a0 ,a1 и a2 , необходимо решить систему нормальных уравнений,

Подставляя полученные суммы в систему уравнений, получаем:

ìï 7а0 + 28а2 = 436,8 í 28а1 = 715,

ïî28а0 + 196а2 = 1946

отсюда а0 = 52,928 ; а1 = 2,554 ; а2 = 2,368 .

Тогда искомое уравнение тренда xt = 52,928 + 2,554t + 2,36t 2 .

Подставляя в это уравнение значения t, определяем теоретические

значения xt (см. графу 8 таблицы). В графе 9 таблицы рассчитаны остаточные величины .

б) аналитическое выравнивание ряда y:

155

времени, получаем выравненные значения yt , которые приведены в графе 8 таблицы. Остаточные величины находятся в графе 9.

По ряду причин между остаточными величинами также может существовать автокорреляция и тогда нельзя по их значениям коррелировать динамические ряды. Поэтому далее необходимо проверить каждый ряд на наличие автокорреляции между остаточными величинами. Для этого используют коэффициент автокорреляции для остаточных величин:

n

åεt εt −1

ra = t =2n

åεt2

t =1

Все необходимые расчеты для динамического ряда x приведены ниже в таблице:

Используя рассчитанные в таблице суммы, получаем:

2,9

ra = 91,58 = 0,032

Таким образом расчетное значение коэффициента автокорреляции для остаточных величин намного ниже критического табличного значения, что говорит об отсутствии автокорреляции в остаточных величинах, а также о том, что линия тренда подобрана удачно.

156

Таблица необходимых расчетов для ряда y:

Используя полученные в таблице суммы, имеем:

− 0,1193

ra = 0,2393 = -0,499

При 5%-ном уровне значимости табличное значение коэффициента автокорреляции равно -0,674, что, как видим, больше расчетного значения. Таким образом, между остаточными величинами динамического ряда y отсутствует автокорреляция.

Теперь можно измерить зависимость между динамическими рядами x и y по остаточным величинам. Для этого используют коэффициент корреляции между остаточными величинами, который рассчитывают по формуле:

зависимости между вариацией объемов выпуска продукции и вариацией количества переработанного сырья на предприятии в 2001–2007 гг.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1.

Урожайность пшеницы составила, ц с 1 га:

157

Проведите выравнивание по прямой и экстраполяцию на 2004 год.

Задание 2.

Заполните таблицу, определите среднегодовой уровень ряда.

Задание 3.

Производство автомобилей характеризуется данными, тыс.штук:

Приведите ряды динамики к одному основанию, определите коэффициент опережения, сделайте выводы.

Задание 4.

По группе семей имеются данные:

Определите:

1)Наличие и направление связи;

2)Постройте уравнение регрессии;

3)Среднюю ошибку аппроксимации, сделайте заключение;

4)Дайте оценку коэффициенту регрессии;

5)Сделайте вывод.

Задание 5.

Производство тканей характеризуется данными (млн.м2):

158

Приведите ряды к одному основанию, определите коэффициент опережения, вывод

.

Задание 6.

По данным задачи 5. определите:

а) производство шерстяной ткани в среднем за год в период 1999-2003г. б) средний темп прироста производства шерстяной ткани;

Задание 7.

Урожайность пшеницы составила, ц с 1 га:

Заполните таблицу.

Задание 8.

Имеются данные об изменении уровня доходов и количества преступлений в районе:

Определите наличие и направление связи между уровнем доходов (x) и

количеством преступлений (y) в районе, проверьте ряд (x) на наличие автокорреляции, сделайте выводы.

Задание 9.

Среднегодовое изменение производства продукции, %

Определить среднегодовые темпы роста производства продукции за периоды 1995-2000 гг; 1995-2005 г.г.

Задание 10.

159

Имеются следующие данные об остатках вкладов по одному из отделений сберегательного банка (млн.руб.):

Определите:

1)Средние квартальные и среднегодовые остатки вкладов по отделению банка;

2)Произведите сглаживание ряда динамики методом скользящей средней и аналитического выравнивания (по прямой);

3)На основе исчисленных показателей определите ожидаемые уровни остатков вкладов населения на 01.04.2004 года.

4)Изобразите динамику и ожидаемые уровни остатков вкладов по отделению банка на графике. Сделайте выводы.

Задание 11.

Имеются следующие данные о вводе жилых домов по одной из строительных компаний.

Для анализа динамики ввода жилых домов исчислите:

1.Среднегодовой ввод жилых домов.

2.Базисные, цепные и среднегодовые показатели абсолютного прироста, темпов роста и темпов прироста ввода жилых домов.

3.На основе средних абсолютных приростов и темпов роста определите ожидаемый уровень ввода жилых домов в 2007 году.

4.Методом экстраполяции спрогнозируйте уровень ввода на 2006 год.

5.Изобразите динамику ввода жилых домов на графике.

160

Задание 12.

Имеются данные о днях трудопотерь вследствие заболеваемости с временной утратой трудоспособности (ВУТ) на машиностроительном заводе:

Задание:

1)По каждой группе болезней для определения тенденций развития проведите:

а) укрупнение временных интервалов; б) расчет скользящей средней;

в) аналитическое выравнивание (по прямой).

2)На основании полученных коэффициентов регрессии проведите динамическую группировку болезней, при этом выделите три группы:

– растущие ( a1 –положителен, причем значимо его отклонение от 0);

161

–благополучные ( a1 – отрицателен, значимо его отклонение от 0);

–стабильные ( a1 –статистически не отличается от 0).

3) Сделайте выводы.

Задание 13.

Имеются данные о заболеваемости с временной утратой трудоспособности (ВУТ) на заводе, дни на 100 работающих:

По каждой болезни и в целом по заводу для оценки уровня сезонности выполните:

1)Расчет индексов сезонности.

2)Изобразите сезонную волну на рисунке.

Тема 1.7. Корреляционно-регрессионный анализ социально-экономических явлений

Причинно-следственные отношения - это связь явлений и процессов, когда изменение одного из них – причины – ведет к изменению другого – следствия. Социальноэкономические явления представляют собой результат одновременного воздействия большого числа причин. Следовательно, при изучении этих явлений необходимо выявить главные, основные причины.

В основе первого этапа статистического изучения связи лежит качественный анализ изучаемого явления, связанный с анализом природы социального или экономического явления методами экономической теории, социологии, конкретной экономики. Второй этап – построение модели связи. Он базируется на методах статистики: группировках, средних величинах,

162

таблицах и т. д. Третий, последний этап – интерпретация результатов – вновь связан с качественными особенностями изучаемого явления.

Признаки, обуславливающие изменения других, связанных с ними признаков, называются факторными, или просто факторами. Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, являются результативными. Связи между явлениями и их признаками классифицируется по степени тесноты связи, направлению и аналитическому выражению.

В статистике различают функциональную связь и стохастическую зависимость. Функциональной называют такую связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно и только одно значение результативного признака. Функциональная связь проявляется во всех случаях наблюдения и для каждой конкретной единицы исследуемой совокупности.

Если причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем, среднем при большом числе наблюдений, то такая зависимость называется стохастической. Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением факторных признаков.

По степени тесноты связи различают количественные критерии оценки тесноты связи

По направлению выделяют связь прямую и обратную. При прямой связи с увеличением или уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного.

По аналитическому выражению выделяют связи прямолинейные (или просто линейные) и нелинейные. Если статистическая связь между явлениями может быть приближенно выражена управлением прямой линии, то ее называют линейной связью: если же она выражается уравнением какой-либо кривой линии (параболы, гиперболы, степенной, показательной, экспоненциальной и тд.), но такую связь называют нелинейной, или криволинейной.

Графически взаимосвязь двух признаков изображается так: на оси X откладывается значения факторного признака, а на оси ординат – результативного. Каждое пересечение линий, проводимых через эти оси, обозначается точкой. При отсутствии тесных связей имеет место беспорядочное расположение точек на графике. Чем сильнее связь между признаками, тем теснее будут группироваться точки вокруг определенной линии, выражающей форму связи.

Корреляция – это статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.

163