общая теория статистики

y = nyi ,

где n – число уровней динамического ряда.

Для расчета среднего уровня моментного ряда динамики с равными отрезками между датами средний уровень определяют как среднюю хронологическую:

средней геометрической из индивидуальных коэффициентов (темпов) роста, так как необходимо учитывать, то обстоятельство, что скорость развития явления идет по правилам сложных процентов, где накапливается процент на процент.

если динамический ряд обозначить как: y1 , y2 y3 ...yn

К р = nK р1 × K р 2 × K р3 ×...× K рn = n K рi ,

где – знак произведения; n – число коэффициентов роста.

Средний коэффициент (темп) прироста рассчитать по индивидуальным коэффициентам (темпам) прироста, с помощью средней геометрической, нельзя, так как темпы прироста могут иметь отрицательные значения, а отрицательные числа логарифмов не имеют. Поэтому средний коэффициент (темп) прироста рассчитывают как:

144

К пр = К р −1 или Т пр = Т р −100 .

Выявление и характеристика основной тенденции развития.

Расчет показателей динамики, как правило, является только первым этапом статистического исследования рядов динамики. Дальнейший анализ заключается в более сложных обобщениях, с определением основной тенденции развития, колеблемости уровней и связи рядов, прогнозированием развития явления на будущие периоды.

Прежде всего, при анализе тенденция развития необходимо определить

– наблюдается ли эта тенденция в изучаемом динамическом ряду, то есть проверить ряд на наличие тренда.

Тренд – основная тенденция (к снижению или увеличению) развития изучаемого явления.

Выравнивание динамического ряда производят с помощью механических и аналитических методов выравнивания.

Механические методы выравнивания динамического ряда.

Метод укрупнения интервалов. Данный метод заключается в том, что первоначально полученный динамический ряд преобразуется в другой, уровни которого относятся к более продолжительным периодам времени. Например, ряд состоящий из уровней за месячный период, заменяется рядом с квартальными уровнями, ряд годовых уровней заменяется на пятилетия, и т.д. Новый динамический ряд образуется либо суммированием абсолютных величин первоначальных уровней, либо путем расчета средних уровней в объединенном периоде времени. При этом отклонения в уровнях укрупненного динамического ряда сглаживаются (взаимопогашаются) и более четко проявляется основная тенденция развития явления.

Метод скользящей средней. Данный метод заключается в замене исходного динамического ряда новым, расчетным рядом состоящим из средних уровней, за определенный период, со сдвигом на один период времени.

Методы механического выравнивания рядов динамики являются только первоначальными, предварительными, эмпирическими методами, которые подготавливают исходные данные для более сложных методов выражающих общую тенденцию развития.

Аналитическое выравнивание динамического ряда.

Аналитическое выравнивание позволяет определить основную тенденцию развития явления во времени. При этом уровни ряда динамики выражаются как функции времени:

yˆt = f (t) + εt ,

где yt – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t ;

εt – отклонение от тенденции (случайное и циклическое).

145

В итоге выравнивания динамического ряда получают обобщенный (суммарный), проявляющийся во времени результат действия всех факторов влияющих на развития изучаемого явления во времени.

При проведение аналитического выравнивания определяется

зависимость f (t) , при этом выбирается такая функция f ( t ) , чтобы она показывала содержательное объяснение изучаемого процесса. При аналитическом выравнивании, чаще всего применяют следующие трендовые модели:

− линейная yˆt = a0 + a1t ;

− парабола второго порядка yˆt = a0 + a1t + a2t2 ;

−кубическая парабола yˆt = a0 + a1t + a2t2 + a3t3 ;

−показательная yˆt = a0a1t ;

−гиперболическая yˆt = a0 + a1 1t .

Чаще всего выбор функции кривой проводится при помощи анализа графического изображения динамического ряда. Но по графику исходных уровней не всегда можно точно определить форму зависимости. Поэтому часто используют не исходный динамический ряд, а ряд механически сглаженных уровней, в котором случайные колебания гасятся в той или иной мере.

Кроме анализа графического изображения, для выбора формы кривой рассматривают ряд признаков:

−если в исходном динамическом ряду наблюдаются более или менее постоянные разности первого порядка (абсолютные приросты), то есть не наблюдается тенденция к их увеличению или уменьшению выбирается линейная зависимость.

−первые разности сами по себе имеют некоторую тенденцию развития, но вторые разности (абсолютные приросты абсолютных приростов) имеют примерно одну и ту же величину - применяют параболу второго порядка

−если рост уровней исходного ряда идет по геометрической прогрессии, применяется показательная функция.

Оценку параметров уравнений a0 , a1 , a2 ,...an осуществляют при помощи метода наименьших квадратов (МНК), который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней динамического ряда от уровней выровненного динамического ряда.

После того, как уравнение выравнивания построено, его необходимо проверить, проведя оценку его значимости (надежности). Данную оценку проводят при помощи критерия Фишера ( F критерий ). Для чего

рассчитывается фактический уровень данного критерия Fфакт который

146

отсчета, можно назначить такую точку отсчета, что сумма показателей

времени исследуемого динамического ряда будет равна нулю(åt = 0).

При нечетном числе уровней изучаемого динамического ряда за точку отсчета принимают серединный уровень ряда, который обозначают как 0 . Периоды стоящие выше данного уровня обозначают отрицательными

Если число уровней изучаемого динамического ряда четное, то точку отсчета берут между двумя серединами уровнями, она не обозначается. Периоды стоящие выше обозначают отрицательными натуральными числами

147

Для линейной зависимости параметр a0 рассматривается как

обобщенный начальный уровень ряда, a1 - как параметр силы связи, он показывает, на сколько единиц изменится результат при увеличении времени на единицу.

Подставив значение рассчитанных параметров уравнения a0 , a1 и

рассчитаем выровненные теоретические значения уровней динамического ряда, которые образуют теоретическую прямую линию (линейный тренд).

Аналитическое выравнивание по параболе второго порядка.

Аналитическое уравнение параболы второго порядка имеет вид: yˆt = a0 + a1t + a2t2 .

Метод наименьших квадратов в данном случае даст систему из трех нормальных уравнений:

ì na0 + a1 åt + a2 åt2 = å y ïí a0 åt + a1 åt 2 + a2 åt3 = å yt

ïîa0 åt 2 + a1 åt3 + a2 åt4 = å yt2 .

Используя метод приведения åt = 0, и зная что и åt 3 = 0 , упростим систему уравнений:

решением системы двух уравнений с двумя неизвестными.

Аналитическое выравнивание по показательной функции.

Показательная функция аналитического выравнивания имеет вид: yˆt = a0a1t .

Для определения параметров уравнения также используют МНК, для чего предварительно логарифмируют уровни, и тогда логарифмы уровней отражаются линейной функцией:

Lgyˆt = Lga0 + tLga1 .

Примем åt = 0, тогда параметры уравнений Lga0 и Lga1 рассчитывают

как:

148

yˆt .

Экстраполяция и интерполяция.

Исследование динамических рядов социально-экономических явлений, определения закономерности их развития во времени создают основу для статистического прогнозирования (экстраполяции) и интерполяции изучаемого явления.

Экстраполяция в динамике предполагает распространение полученных выводов, полученных в прошлом на будущее время. При этом предполагается, что закономерность развития, динамического ряда сохраняется в будущем.

Самый простой метод экстраполяции это применение средних характеристик ряда динамики: среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.

Более часто применяют экстраполяцию динамического ряда по аналитически выровненным рядам.

После того как по фактическому динамическому ряду выявлен тренд (выровненный ряд, отражающий тенденцию развития) экстраполяцию можно провести двумя методами:

1)графический метод. Заключается в построении точного графика выровненного динамического ряда, на котором линию полученного тренда продлевают до интересующей нас даты.

2)аналитический метод. При данном методе в рассчитанное аналитическое уравнение подставляют номер интересующего нас периода.

Выявление основной тенденции развития дает возможность определять также значение недостающего члена ряда – интерполяция. Также проводится графическим и аналитическим методом.

Анализ сезонных колебаний рядов динамики.

При анализе динамических рядов может быть обнаружена периодичность колебаний уровней динамического ряда, то есть наблюдается устойчивое отклонение уровней от тенденции в зависимости от периода времени (внутригодичного, внутриквартального, внутримесячного и т.д.). в данном случае статистика говорит, что в динамическом ряду наблюдаются сезонные колебания.

Сезонные колебания – внутригодичные (внутриквартальные, внутримесячные и т.д.) изменения в ряду динамики, вызванные специфическими условиями, возникающими в определенном периоде года (квартала, месяца, и т.д.). Например, в сезонность наблюдается по уровню

149

удоев, яйценоскости, потребление топлива, сезонность наблюдается в потреблении определенных товаров и т.д.

Наиболее часто, сезонные колебания статистика изучает при помощи следующих методов:

−метод абсолютных разностей и относительных разностей

−расчет индексов сезонности

Метод абсолютных и относительных разностей.

При методе абсолютных разностей используют непосредственно размеры данных разностей. При методе относительных разностей определяют отношения абсолютных размеров указанных разностей к среднему уровню. При расчете абсолютных и относительных разностей:

−определяют абсолютные уровни ряда

−рассчитывают средний месячный уровень ряда

−сопоставляя абсолютные уровни ряда (находя разности или отношения) определяют показатели сезонности (абсолютные или относительные).

Расчет индексов сезонности.

Индекс сезонности показывает, во сколько раз фактический уровень

динамического ряда yt на определенный момент времени t больше среднего

уровня y либо выровненного, методом скользящей средней, либо методом аналитического выравнивания, уровня. При анализе сезонных колебаний динамического ряда рассматривают развития по месяцам (кварталам, неделям, и т.д.) одного или нескольких лет (кварталов, месяцев и т.д.). Метод определения индекса сезонности зависит от того, наблюдается наличие тренда в изучаемом ряду или тренд отсутствует.

1)Если тренд отсутствует, то

−для каждого конкретного месяца (квартала, недели и т.д.):

it ,сез = yyt ,

где yt – уровень динамического ряда за месяц (квартал, неделю и т.д.),

y– средний уровень за весь период (год, квартал и т.д.);

−для больших (средних) промежутков времени (за несколько месяцев, кварталов и т.д.)

где yt – средний уровень динамического ряда за одноименные месяцы (кварталы, недели и т.д.), T – число лет.

2) Если в динамическом ряду существует ярко выраженный тренд, расчет проводится следующим образом:

а) для каждого уровня определяют значения выровненного уровня

150

б) рассчитывают, как отношение фактического уровня динамического ряда к выровненному уровню по тренду либо как отношение средней из фактических уровней одноименных месяцев (кварталов, недель и т.д.) к средней из выровненных данных по тем же месяцам (кварталам, неделям и т.д.).

где T – число лет.

Приведение рядов динамики к одному основанию.

В случае несопоставимости уровней в двух рядах при анализе параллельного развития прибегают к методу приведения динамических рядов к одному основанию, приняв за постоянную базу сравнения уровни базисного периода.

Важное место в анализе динамических рядов занимает изучение взаимосвязанного варьирования их уровней - корреляция. Измеряют зависимость между колебаниями уровней различных рядов с помощью коэффициента корреляции. Но, поскольку коэффициент корреляции отражает и влияние автокорреляции, то непосредственно по уровням коррелировать можно только те динамические ряды, между уровнями которых отсутствует автокорреляция. В противном случае коррелируют не сами уровни, а их отклонения от тренда, от выравненных теоретических уровней, так называемые остаточные величины.

Примеры решения типовых заданий

Пример 1.

Условие: Объем ВВП в Российской Федерации и Белоруссии представлен следующими данными:.

Необходимо: сравнить темпы роста объемов ВВП в разных странах.

Решение:

151

В задании имеют место несопоставимые данные, не позволяющие сравнить темпы изменения объемов ВВП в странах. Прежде всего необходимо исчислить базисные темпы роста:

Коэффициент опережения ( замедления):

Т p 2 , Ко = Tp1

где Tp – средний темп роста.

TРоссия = 1,0048´1,2153´1,4831´1,8851 = 43,414 = 1,9806

Т Белоруссия = 1,4987´1,7585´ 2,1019´ 2,7779 = 415,389 =1,9806 .

Ко =1,9806/1,3593=1,4570

Вывод: За период с 2000 по 2004 годы объем ВВП в Белоруссии увеличился в 1,46 раза больше, чем в России.

Пример 2.

Условие: Имеются данные о выпуске продукции предприятиями легкой промышленности района:

Определите общую тенденцию динамического ряда производства продукции.

Решение:

Для выравнивания ряда динамики по прямой используют уравнение: yt = a0 + a1t

Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров a0 и a1 :

Где y – исходные уровни ряда; n- число членов ряда; t- время.

В рядах динамики техника расчета параметров уравнения упрощается. Для этой цели показателям времени (t) придают такие значения, чтобы их

сумма была равна нулю, т.е. åt = 0. Тогда уравнения принимают вид:

152

В результате получаем уравнение тенденции ряда: yt = 307 + 21.92t

Подставляя в полученное уравнение тенденции порядковый номер следующего периода, возможно спрогнозировать развитие явления на ближайшую перспективу при условии, что данная выявленная тенденция не изменится.

Пример 3.

Условие: Имеются следующие данные по предприятию за ряд лет:

Измерить корреляцию между уровнями динамических рядов x и y, т. е. Между объемом выпуска продукции и количеством переработанного сырья.

Решение:

Прежде, чем измерять корреляцию между x и y, необходимо каждый из этих рядов проверить на автокорреляцию.

153