общая теория статистики

Коэффициент ввода ОПФ = стоимость введенных за год ОПФ / балансовая стоимость ОПФ на конец года.

Задание 11.

По данным выборочного обследования семей области получено следующее распределение семей по размеру совокупного дохода на члена семьи.

зернобобовых культур; 2) Модальное и медианное значение урожайности;

Тема 1.5. Показатели вариации признака в совокупности

При изучении массовых явлений нельзя ограничиваться только средними величинами их признаков, нужно подвергать всестороннему анализу отклонения от средних, поскольку без этого нельзя увидеть весь процесс в его развитии. Для этого в статистике используются показатели вариации, характеризующие колеблемость признака. К ним относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

134

Размах вариации есть разница между наибольшим и наименьшим значениями признака в ряду распределения.

R = х max – х min .

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю величину отклонений значений признака от их средней величины без учета знака, т.е. по модулю. Расчет производится по формуле:

Дисперсия, или средний квадрат отклонений вариантов признака от их средней величины. Существует несколько способов исчисления дисперсии в

3 метод вычисления (для альтернативного признака):

Пусть p – доля единиц в совокупности, обладающих признаком;

q – доля единиц, не обладающих признаком (1- p); дисперсия доли (или альтернативного признака) равна:

σ 2 = pq .

Среднее квадратическое отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии:

σ = σ 2

Коэффициент вариации представляет собой отношение среднего квадратического отклонения и средней величине признака. Он измеряется в виде коэффициентов или процентов.

V = σx ´100% .

135

характеризует влияние положенного в основании группировки признака на вариацию результативного признака.

Эмпирическое корреляционное отношение изменяется от 0 до 1. Если η = 0 , то группировочный признак вообще не оказывает влияние на вариацию

результативного, а если η = 1, то вариация результативного признака происходит только под влиянием группировочного.

Теорема сложения дисперсий для дисперсии альтернативного признака.

Примеры решения типовых заданий

Пример 1.

Покажем расчет дисперсии и коэффициента вариации в дискретных рядах распределения.

Условие: Имеются данные о выработке рабочих предприятия:

Решение:

Исчислим среднюю арифметическую взвешенную:

137

Значения отклонений от средней и их квадратов представлены в таблице. Определим дисперсию:

σ2 = å(C - C)2 × f = 74 = 1.48

åf 50

Среднее квадратическое отклонение будет равно:

σ = σ 2 = 1.48 = 1.216

Коэффициент вариации рассчитывается следующим образом:

V = σC ×100 = 1.21610 ×100 = 12.6%

Таким образом, дисперсия составила 1,48 штук, коэффициент вариации 12,6%, что свидетельствует об однородности совокупности, так как V ≤ 33% /

Пример 2.

Условие: Имеются данные об урожайности овса на опытных участках:

Исчислим:

−групповые дисперсии;

−среднюю из групповых дисперсий;

−межгрупповую дисперсию;

−общую дисперсию.

Решение:

Для расчета групповых дисперсий исчислим среднюю по каждой группе:

Рассчитаем среднюю из внутригрупповых (частных) дисперсий:

138

Исчислим межгрупповую дисперсию. Для этого предварительно определим общую среднюю:

=90 +126 =

x12 18 .

Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Таким образом, можно сделать вывод, что связь между урожайностью зерновых и предпосевной обработкой семенного материала достаточно высокая, вариация урожайности на 74% обусловлена влиянием этого фактора.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1.

Имеются следующие данные о производительности труда рабочих:

Исчислите: 1) частные дисперсии; 2) межгрупповую дисперсию; 3) общую дисперсию (по правилу сложения дисперсий и обычным способом).

Сделайте вывод, как влияет вид рабочей смены на производительность рабочих (коэффициент детерминации и корреляционное отношение).

139

Задание 2.

Имеются следующие данные о распределении рабочих по проценту допускаемого брака в процессе производства:

Исчислите общую дисперсию допускаемого рабочими брака продукции, применяя правило сложения дисперсий.

Задание 3.

Определите по нижеприведенным данным общую дисперсию цены на яблоки, а также степень однородности групп:

Задание 4.

С целью установления зависимости между урожайностью и сортом винограда в одном из хозяйств на основе выборки определили урожай на 10 кустах винограда:

Исчислите общую, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых дисперсий. Определите связь между сортом и его урожайностью.

Задание 5.

Распределение стоимости продукции, предназначенной для экспортных поставок, представлено следующими данными:

140

Определите: а) общую дисперсию доли экспортной продукции через правило сложения дисперсий; б) эмпирический коэффициент детерминации.

Тема 1.6. Методы анализа динамики социально-экономических явлений

В статистики под понятием ДИНАМИКА подразумевают, изменение показателей общественно-экономических явлений во времени. Для изучения данных изменений строятся хронологические (временные) ряды, которые называются – рядами динамики.

Ряд динамики – последовательно расположенные в хронологическом порядке показатели, характеризующие развитие явления во времени.

Ряд динамики характеризуется двумя параметрами:

1)моментами времени (конкретными датами) или периодами (годы, кварталы, недели и т.д.), к которым относятся статистические данные.

2)непосредственно статистическими данными – уровнями

динамического ряда (yi ).

Ряды динамики можно подразделить в зависимости:

1)от вида приводимых в них статистических показателей-

−ряды динамики абсолютных величин;

−ряды динамики средних величин;

−ряды динамики относительных величин.

Ряды абсолютных величин являются исходными, начальными, а ряды средних и относительных величин – производными.

2)от времени, отображаемому в динамическом ряде:

−моментные динамические ряды – уровни ряда выражают величину явления на определенный, конкретный момент времени (дату). Особенностью моментных рядов, является то, что суммировать их уровни не имеет смысла, так как суммирование будет включать одну и ту же величину несколько раз. В отличие от суммирования моментных уровней их разность имеет некоторый смысл;

−интервальные динамические ряды – уровни ряда отражают размеры изучаемого явления, за какой то промежуток времени (интервал). В отличии от моментных уровней, имеет смысл рассматривать суммы уровней следующих друг за другом, так как это будет являться итогом за более продолжительный период времени.

3)по полноте времени отображаемого в рядах динамики:

−полные ряды – их даты или периоды следуют друг за другом с равным интервалом;

141

−неполные ряды – их даты или периоды не следуют друг за другом с равным интервалом.

Статистические характеристики (показатели) ряда динамики

При изучении явления во времени в статистики рассчитывают ряд показателей динамики, которые и будут характеризировать данное изменение. При этом анализу подвергаются уровни динамического ряда. Различают:

−начальный уровень (( y1 ) или ( y0 ) ), который показывает величину первого члена динамического ряда;

−конечный уровень ( yn ) , который показывает величину конечного члена динамического ряда;

−средний уровень ряда ( y) .

Статистический анализ динамических рядов основан на сравнении уровней динамического ряда. При этом сравниваемый уровень ряда динамики называется текущим уровнем, а уровень по отношению к которому проводится сравнение – базисным уровнем. В свою очередь базисным уровнем может быть:

−начальный уровень динамического ряда (либо любой другой, постоянно взятый за основу сравнения уровень). При сравнении с данным базисным уровнем текущего уровня получают базисные показатели динамики.

−уровень предыдущий текущему уровню. При сравнении с данным базисным уровнем текущего уровня получают цепные показатели динамики

−иногда за базу сравнения принимают средний уровень.

Показатели динамики

Абсолютный прирост(Ai ) или ( i ) рассчитывается как разность двух уровней динамического ряда, один из которых принят за базу сравнения.

Цепной абсолютный прирост рассчитывается по формуле:

Ai = yi - yi 1 .

Цепной абсолютный прирост называют скоростью роста Базисный абсолютный прирост

Ai = yi - yбаз .

Коэффициент роста (K p ) – отношение текущего уровня ряда динамики к уровню принятому за базу сравнения. Коэффициент роста, умноженный на

100, называется темпом роста в % (Т р ) . Коэффициент роста показывает во сколько раз уровень текущего периода выше или ниже уровня базисного периода, темп роста – сколько процентов он составил по отношению к базисному уровню.

− цепной коэффициент роста рассчитывается как:

142

Ki = yyi i1 ;

− базисный коэффициент роста рассчитывается как:

Ki = yi . y1

Коэффициент (темп) прироста Кпр (Т пр ) показывает, на сколько частей (процентов) увеличился или уменьшился текущий уровень по сравнению с базисным, принятым за 1 (100%), то есть, сколько частей (процентов) составляет относительный прирост данного уровня по отношению к базисному уровню. Рассчитывается двумя способами:

Первый способ – как отношение абсолютного прироста к базисному уровню.

− цепной коэффициент прироста рассчитывается как:

Kпрi = yi y-i y1i 1 ;

− базисный коэффициент прироста рассчитывается как:

Kпрi = yi y-1y1 .

Второй способ – коэффициент (темп) роста минус 1 (100).

Kпр = K р −1 или Т пр = Т р −100 .

Абсолютное значение одного процента прироста показывает часть абсолютного прироста, которая обеспечила 1% относительного прироста. Рассчитывается двумя способами.

Первый способ – как отношение абсолютного прироста к темпу прироста за тот же период:

Второй способ – как 0,01 часть от предыдущего (базисного) уровня.

αi = 0,01yi 1 .

Средние показатели динамики.

Для обобщения характеристики динамики, рассчитанной по уровням динамического ряда, определяют средние показатели динамического ряда. Средние показатели динамического ряда подразделяются на:

1. Средние уровни ряда.

Для интервального ряда динамики с равными интервалами средний

уровень ряда y рассчитывается как средняя арифметическая простая исходных уровней:

143