3.3.Прямая и обратная геодезические задачи

Всистемах плоских прямоугольных координат многие инженерногеодезические расчеты основаны на формулах решения прямой и обратной геодезических задач.

Впрямой геодезической задаче известны горизонтальное проложение d прямого отрезка 1-2 (рис. 3.6, а), его дирекционный угол α , координаты х1 и у1 начальной точки 1. Требуется вычислить координаты х2 и у2 точки 2.

Сначала вычисляют приращения координат, равные катетам прямоугольного треугольника 1-Е-2

Рис. 3.6. Прямая и обратная геодезические задачи:

а– прямая и обратная задачи; б – знаки приращений координат, дирекционные углы

ирумбы при различных направлениях 1‒2

Пример 1. Вычислить координаты х2, у2 точки 2, если длина линии 1-2 d1-2 = 100,00 м, ее дирекционный угол α1-2 = 125° 20'; координаты точки 1: х1 = 500,00

м; у1 = 1000,00 м.

В обратной геодезической задаче по известным прямоугольным координатам х1 и у1, х2 и у2 конечных точек отрезка прямой 1-2 (см. рис. 3.4, а) вычисляют гори-

рис. 3.4, б) и вычисляют дирекционный угол (см. табл. 1.3). Длину отрезка 1-2 находят по двум из следующих формул:

ЛЕКЦИЯ № 4

Топографические карты и планы. Понятие о карте, плане, профиле.

Масштабы, их точность. Номенклатура топографических карт

4.1. Понятие о картах, планах и профилях. Масштабы

Обширные территории изображают на картах в определенном масштабе. Под масштабом карты подразумевают отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. Масштаб карты выражается в виде обыкновенной дроби, числитель которой равен единице. Например, масштаб, равный 1 : 100 000, указывает на то, что отрезок на местности изображается на карте в среднем уменьшенным в 100 000 раз, или один сантиметр на карте соответствует одному километру на местности. Контуры и точки земной поверхности, отнесенные к поверхности земного эллипсоида или шара, проецируют на картинную плоскость по определенным математическим законам, используя методы генерализации и обобщения. Высоты точек и рельеф местности на картах отображаются в Балтийской системе высот.

Топографические карты создают в конформной проекции поверхности эллипсоида на плоскости в масштабах 1 : 1 000 000 (одна миллионная) и более крупных

(1 : 500 000; 1 : 300 000; 1 : 200 000; 1 : 100 000; 1 : 50 000; 1 : 25 000; 1 : 10 000 ).

Для ограниченного по размерам участка земной поверхности, когда кривизной поверхности земного эллипсоида можно пренебречь, его проецируют на горизонтальную плоскость, проходящей на средней высоте участка. Так составляют топо-

графический план. Топографический план представляет собой уменьшенное и по-

добное изображение контуров и рельефа участка местности в ортогональной

проекции на горизонтальную плоскость.

Картографирование населенных мест, промышленных предприятий, дорожных сетей, подземных коммуникаций, водных и других объектов необходимо для инженерного обеспечения их функционирования. При проектировании таких объектов используют топографические планы, а также специальные строительные чертежи,

которые составляют в масштабах 1 : 200; 1 : 500; 1 : 1000; 1 : 2000; 1 : 5000. На них показывают существующие объекты и проектируют новые поверхностные и подземные сооружения. На исполнительных чертежах (исполнительных планах) со-

оружений линейного вида отображают все построенные наземные и подземные объекты (дороги, трубопроводы, кабели, тоннели и др.).

К картографическим материалам относят также и профили – вертикальные раз-

резы местности, наземных и подземных сооружений, инженерно-геологические разрезы. Профилем называется уменьшенное изображение вертикального разреза земной поверхности вдоль выбранного направления.

При составлении профиля земной поверхности для большей выразительности чертежа вертикальный масштаб 1 : Мв берут в 10 раз крупнее масштаба горизонтального 1 : Мг. Специальные инженерные профили дополняют инженерногеологическими разрезами местности вдоль выбранного направления и используют для проектирования наземных и подземных сооружений линейного вида (дороги, трубопроводы, каналы, тоннели и т.д.), на них отображают вертикальные разрезы построенных сооружений.

Для удобства использования масштабы топографических чертежей и профилей представляют в численном виде и в графической форме.

Численный масштаб 1 : М выражает отношение длины отрезка dп на плане к длине горизонтального проложения d соответствующего отрезка на местности:

Знаменатель М численного масштаба характеризует величину уменьшения го-

Если d = 100 м, dп = 10 см, то М = 100 м : 10 см = 10 000 см : 10 см = 1000, т.

е. численный масштаб 1 : М = 1 : 1000 (одна тысячная).

Численный масштаб часто указывается в словесной форме, например “ в 1 см - 10 м” – для плана масштаба 1 : 1000.

Линейный масштаб представляет собой отрезок прямой, на котором несколько раз отложен отрезок а, называемый основанием масштаба. На рис. 4.1, а основание

2 см, соответствует расстояние на местности d = 100 м, поэтому деления а подписаны через 100 м. Каждое наименьшее деление левого крайнего отрезка а кратно 10 м, но десятые доли таких делений (сотые доли основания а) оцениваются визу-

ально и кратны 1 м. Расстояние s1, снятое с плана циркулем-измерителем равно 300 + 30 + 4 = 334 м.

На рис. 2.1, б основание а = 1 см. Для плана масштаба 1:1000 (в 1 см 10 м) отре-

зок d 2 = 700 + 60 + 6 = 766 м.

Поперечный масштаб (рис. 4.2) предназначен для более точных измерений по плану. Его гравируют на металлических масштабных линейках. Для графического построения поперечного масштаба на бумаге прочерчивают 11 параллельных прямых отрезков через 2,5 или 3 мм. Перпендикулярно им прочерчивают отрезки АС, ВD, …, KL через равные промежутки а = СD выбранного основания масштаба. Левые отрезки СD и АВ разделяют десятью метками через 0,1а долю основания. Метки В и Е соединяют наклонным прямым отрезком, параллельно ВЕ прочерчивают остальные наклонные отрезки. В треугольнике ВЕD длина ЕD = 0,1а. Горизонтальные отрезки 0,01а; 0,02а; … 0,09 а ; 0,10а, ограниченные его сторонами, представляют сотые доли основания.

При основании а = 2 см (см. рис. 2.2.) для плана масштаба 1:2000 (в 1 см 20 м) находим цену основания ац = 40 м и отрезок s3 в делениях поперечного масшта-

ба s'3 = 2ац + 4(0,1ац) + 3,5(0,01ац) = 2,435ац или d3 = = 2,435 · 40 = 97,4 м.

Или же непосредственно по масштабу отсчитываем d3 = 80 + 16 + 1,4 = 97,4 м. Точность масштаба. Понятие точности масштаба соответствует способно-

сти человека с расстояния 25–30 см различать невооруженным глазом на плане точку диаметром около 0,1 мм. Точностью масштаба t называют горизонтальный отрезок d на местности, соответствующий отрезку длиной 0,1 мм = 0,0001 м на

а

Рис. 4.1.Линейный масштаб:

а – с основанием а = 2 см; б – с основанием а = 1 см.

Рис. 4.2. Поперечный масштаб

Погрешности расстояний, измеренных по плану (карте). По ряду причин

(погрешности съемочных работ, составления планов, печатания копий топографического чертежа, деформаций бумажной основы) изображения объектов местности на карте или на рабочем плане находятся каждое не на своем месте, а со средним отклонением от него (δху)п ≈ 0,2–0,4 мм (в отдельных случаях отклонения достигают 0,7–1 мм). Расстояние dп, измеряемое между такими точками по плану масштаба 1:М, получается со средней вероятной погрешностью δdп = (δху)√2 ≈ 0,4–0,6 мм. Средняя погрешность расстояния, измеренного по карте, оценивается по формуле