практикум_Мат.анализ

Число A называется пределом функции

y f x

при x , если для любого,

сколь

угодно

малого

положительного

числа

0 ,

найдется

такое положительное число

S 0

(зависящее от ), что для всех x

x

S , верно неравенство

таких что

f x A

.

Обозначают: lim f x A или f x A при x .

x

Число A называется пределом функции

y f x

в точке x0 , если для любого,

сколь

угодно

малого

положительного

числа

0 ,

найдется

такое положительное число

0

(зависящее от ), что для всех

x ,

не равных

x0 и удовлетворяющих условию

x x0

,

выполняется неравенство

f x A

.

Обозначают: lim f x A или f x A при x x0 .

x

x0

Функция x называется бесконечно малой величиной при x x0 или при x , если

ее предел равен нулю:

x

lim

0 .

x x0

Функция y f x

называется бесконечно большой при x x0 x , если ее предел

равен бесконечности:

f x .

lim

x x0

Теорема о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.

Если функция

x есть бесконечно малая

величина при x x0 ( x ), то функция

f x

1

является бесконечно большой при x x0 ( x ). И, наоборот.

x

Вторым замечательным пределом называется предел числовой последовательности

1

1

an 1

:

lim 1

e ,

где n 1,2,3,

n

n

n

y

1 x

, то при x функция имеет также предел,

Если рассмотреть функцию

1

x

1 x

e .

равный числу e :

lim 1

x

x

Если существуют

lim

f x A

и

lim

x B , то имеют место теоремы о пределах:

x x0

x x0

lim

2x 1 2 x 1 2

=

x

x2 x 1

lim

3x2

2x

x

x x2

1

Установим

тип неопределенности:

при x оба многочлена являются

бесконечно

большими функциями.

Следовательно, имеем неопределенность

«

».

2

2

x

3

lim

x

1

1

x

2

x

1

x2

x

Сократим множители

x2 . Слагаемые

2

,

1

,

1

при x являются

x

x

x2

3 0

3.

1 0 0

Пример 2.

Вычислить предел

lim

2x2 9x4 x 1

.

5x2 3x 1

x

Решение.

lim

2x2 9x4 x 1

=

5x2 3x 1

x

Установим тип неопределенности: при

x числитель и знаменатель дроби

являются бесконечно

большими

функциями. Следовательно, имеем

неопределенность «

».

= «

» =

1

1

1

1

1

1

2

4

2

2

2

2x

x

9

3

4

2x

x

9

x

2 9

x

3

x

4

lim

x

x

= lim

x3

x4

= lim

=

x

5x2 3x 1

x

5x2 3x 1

x

2

3

1

x

5

x2

x

Сократим множители x2 .

Слагаемые

1

,

1

,

3

,

1

при x являются

x4

x2

x3

x

бесконечно малыми функциями. Таким образом, получим:

2 9 0 0

1.

5 0 0

Пример 3. Вычислить предел lim x

.

x4 3 x4

2

x

Для

раскрытия

неопределенности « »

и приведения всего выражения к

стандартному виду (виду дроби) выполним преобразования (при работе с

иррациональными функциями эффективен прием домножения на сопряженное

x

выражение).

x x4 3 x4 2

= lim

x4 3

x4 2

x4 3

x4 2

= lim

=

x

x

4

3 x

4

2

x

x

4

3

x

4

2

= = lim

5x

=

x

x4 3 x4 2

Полученная дробь представляет собой стандартную неопределенность «

», для

раскрытия которой выделим старшие степени переменной х за скобки.

= «

» = lim

5x

= lim

5x

=

x

2

3

2

2

x

3

2

2

x

1

x

1

x

1

1

4

4

x

x

x 4

x 4

После сокращения получим

= lim

5

= «

5

» = 0.

x

3

2

x

1

1

x 4

x 4