Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

практикум_Мат.анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.05.2015

Размер:

2.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Следовательно, при всех x 2	функция убывает, а на интервалах ( 2,0) и (0, )
функция возрастает. Согласно достаточному условию x 2 – точка минимума данной
функции.

4˚. Находим f

( 2) ( 2)2

16 28 .

min

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию

y (1 x)e3x 2

и найти

интервалы

монотонности.

Решение.

1˚. Производная функции y e3x 2

3(1 x)e3x 2

e3x 2 ( 3x 2) .

2˚. Приравнивая производную к нулю,

находим критическую точку функции

Точек, в которой производная

не

существует, у данной

функции

нет

( y (x)

определена на всей числовой оси).

3˚. Нанесем критическую точку на числовую прямую (рисунок 2).

Для определения знака производной слева и справа от критической точки выберем,

например,

x 0, x

1. Найдем

0 ,

e 0 ; следовательно, при

y (0) 2e

y (1)

всех x

функция возрастает; при x

функция убывает. Согласно достаточному

условию x

– точка максимума данной функции.

4˚. Находим

ymач

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию y x ln x и найти интервалы монотонности. Решение.

1˚. Область определения функции x 0 .	Производная функции y ln x 1.
2˚. Приравнивая производную к нулю,	находим критическую точку функции	x e 1 .
Точек, в которой производная не	существует, у данной функции нет
Точек, в которой производная не	существует, у данной функции нет	( y (x)

определена во всех точках интервала (0, ) ).

3˚. Нанесем область определения и критическую точку на числовую прямую (рисунок 3). Для определения знака производной слева и справа от критической точки выберем,


например,	x e	2	, x 1. Найдем		2	)	1 0 ,			1 0 ; следовательно, в
				y (e					y (1)
интервале	(0, e 1 )		функция убывает, при всех					x e 1 функция возрастает. Точка

x e 1 является точкой минимума функции.

4˚. Находим y

(e 1 ) e 1

min

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y

на отрезке

x2 4

4;2 .

Решение.

x , . На

1˚.

Область

определения

функции

заданном отрезке функция

непрерывна.

4 4 x2

2x 4x

16 4x2

4 x2 2

4 x2 2 .

2˚.

откуда критические

точки x1

2, x2 2 . Обе

точки

принадлежат

y (x) 0 ,

заданному отрезку.

3˚.Определим значения функции на

концах

отрезка

(правый

конец

совпадает с

критической точкой x 2 ) и в точке

x 2 .

y( 2) 1, y(2) 1, y( 4) 54 .

Из всех найденных значений выберем наименьшее и наибольшее:

yнаиб у(2) 1,

унаим

у( 2) 1.

Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y

e x 2

на отрезке 1,3 .

x 2

Решение.

1˚. Область определения функции x 0 . На заданном отрезке функция непрерывна.

e x 2 x2 2xe x 2

e x 2 (x 2)

x 2

. Найденная точка принадлежит отрезку

2˚. y (x) 0 , откуда критическая точка

1,3 . Значение функции в критической точке y(2) 0,25.

3˚. Значения функции на концах отрезка y(1) e 1

0,4,

y(3)

0,3 .

Выберем из полученных значений наибольшее и наименьшее

yнаиб y(1) 0,4, yнаим

y(2)

0,25 .

x 1 2

Пример 6. Найти асимптоты графика функции y .

x 1

Решение.

1˚. Область определения x 1. Найдем пределы функции при x 1.

x 1

x 1 является вертикальной

lim

, отсюда

следует,

что прямая

x 1 x 1

асимптотой.

2˚. Исследуем поведение функции на бесконечности:

x 1

2 x 1

x 1

lim

1 .

lim

x 1 2

2 x 1

x 1

Следовательно, прямая y 1 является горизонтальной асимптотой.

3˚. Найдем наклонную асимптоту: y kx b

f (x)

(x 1)2

(x 1)

2 x 1

k lim

lim

(x 1)

(x 1)2 x

2x x

1 x 1

lim

x 2 x 1

2x 2 x 1

Таким образом, наклонных асимптот не существует.


Пример 7. Найти асимптоты графика функции		y 3	3ln	x
					.
				x 4
Решение.	, 4 0, . Граничными точками области
1˚. Область определения функции

определения являются точки -4 и 0. Вычислим пределы функции слева и справа к этим точкам соответственно, чтобы определить характер разрыва и наличие вертикальных асимптот.

Заметим, что	lim	x	, lim	x	0	. Применяя теоремы о пределе сложной

		x 4		x 4
	x 4 0		x 4 0
функции и пределе разности функций, имеем

lim 3

3ln

lim

3 3ln

lim

x 4 0

x 4

4 0

x 4

lim 3 3ln

3 3

lim ln

3 3ln lim

x 4 0

x 4

x 4 0 x

Следовательно, прямые x 4,

x 0 являются вертикальными асимптотами.

2˚. Рассмотрим поведение функции в бесконечности.

Учитывая, что

lim

и применяя теоремы о пределах, имеем

3ln

3 3ln lim

3ln1 3.

lim 3

x x 4

Таким образом, у графика функции есть горизонтальная асимптота y 3 .

Пример 8. Найти асимптоты графика функции y x2 e 1x .

k lim

lim xe 1x

x2 e 1x

lim x2 e 1x

Решение.

1˚. Точка разрыва функции x 0 . Найдем предел при x 0 .

lim x2 e 1x

0 0 0 .

x 0

1 x

lim

lim x 2 e 1 x

0 lim

lim

x 2

e x

x 0

x 0 1

x 0

x 2

lim

x 0

Следовательно, имеется вертикальная асимптота x 0 .

2˚. Рассмотрим поведение функции в бесконечности:

, отсюда следует, что нет горизонтальной асимптоты.

3˚. Найдем наклонные асимптоты y kx b :

Итак, наклонных асимптот также нет.

Пример 9. Найти асимптоты графика функции y					1 2x3	.
Пример 9. Найти асимптоты графика функции y					x 2	.
					x 2
Решение.
1˚. Точка разрыва функции x 0 . Найдем предел при x 0 .
lim	1 2x3	, lim	1 2x3	. Отсюда следует, что есть вертикальная асимптота
lim	x2	, lim	x2	. Отсюда следует, что есть вертикальная асимптота
x 0	x2	x 0	x2

x 0 .

2˚. Исследуем поведение функции в бесконечности:

1 2x3

lim

lim 3x . Следовательно,

горизонтальных асимптот нет.

3˚. Найдем наклонные асимптоты y kx b :

1 2x3

6x2

k lim

lim

2; ,

1 2x

b lim f (x) kx

lim

0 .

Итак, есть наклонная асимптота y 2x .

Пример 10. Провести полное исследование функции	y	x 4	и построить ее график.
		x 2 4

Решение.

1˚. Область определения , 2 2,2 2, , т.е. x 2 .

2˚. Выполняется условие y( x) y(x) , следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ординат.


3˚.Нули функции (точки пересечения с осями координат):							y(0) 0 . То есть точка
пересечения одна 0,0 .
4˚. Вертикальные асимптоты cледует искать в точках разрыва функции x 2 .
Рассмотрим односторонние пределы функции
	x4			x4
lim		и lim			,	т.к. пределы бесконечны, то прямая x 2 есть

x 2 0	x2 4		x 2 0 x2 4
вертикальная			асимптота.	В силу		симметрии графика	прямая x 2 также

вертикальная асимптота.

5˚. Рассмотрим поведение функции при x .

Вычислим

следует, что y kx b :

lim

4x3

lim 2x2

отсюда

x2 4

горизонтальных

асимптот нет,

нужно

искать наклонные

асимптоты

k lim	y(x)	lim	x4	lim	x3

x	x	x x(x2 4)		x x2 4

Наклонной асимптоты также нет.

6˚. Экстремумы и интервалы монотонности.

			3x2
lim	x3	lim		lim 3x

			2x
x		x		x
	x2 4

4x3

(x2 4) 2x5

2x5 16x3

2x3 (x2 8)

Найдем y

(x2 4)2

;

y 0 при

x1 0,

x3 8

критические точки

x 2 - точки

разрыва функции.

Из

рисунка

видно,

что

точки

x2,3

8 являются

точками

минимума и

0 – точка максимума и

y(0) 0 .

min

16 , а точка x

max

8 4

На

интервалах

, 0,2 , 2,

функция

убывает,

на

интервалах

8, 2 , 2,0 ,

8, – возрастает.

7˚. По результатам исследования построим график. График изображен на рисунке 5.

Пример 11. Исследовать функцию y x ln x x и построить ее график. Решение.

1˚. Область определения функции 0, .

2˚. Функция общего вида – ни нечетная, ни четная.

3˚. Вертикальные асимптоты. Функция непрерывна на всей области определения, граничной точкой является точка x 0 .

lim x ln x x 0 lim

ln x 1

lim

lim x 0 , т.е. вертикальных

x 0

асимптот нет.

4˚. Исследуем поведение функции в бесконечности.

lim (x ln x x) lim x(ln x 1) .

k lim

x ln x x

lim ln x 1 .

Следовательно, нет ни горизонтальных, ни наклонных асимптот.

5˚. Экстремумы и интервалы монотонности.

y ln x 1 1 ln x,

y 0

при

x 1,

т.е.

критическая

точка x 1. Знаки

производной указаны на рисунке 6.

Таким

образом, x 1

– точка минимума

функции и

ymin y(1) 1. На интервале 0,1

функция убывает, на интервале 1, возрастает.

6˚. Точки пересечения с осями координат. Ось ординат график функции пересекать не может, т.к. область определения не содержит точку x 0 . Уравнение f (x) 0 имеет два корня x 0 , который не подходит, и x e . Следовательно, есть точка пересечения с осью абсцисс e,0 .

График функции изображен на рисунке 7.

Пример 12. Исследовать функцию y

и построить ее график.

xe x

Решение.

1˚. Область определения ,0 0, .

2˚. Функция общего вида – ни нечетная, ни четная.

3˚. Вертикальная асимптота

может пересекать ось абсцисс в точке x 0 . Так как

пределы функции при x 0 (справа) и при x 0 (слева) бесконечны, т.е.

lim

, lim

, то прямая x 0

есть вертикальная асимптота.

xe x

x 0

4˚. Поведение функции в бесконечности. Вычислим

e x

lim

x xe

При x существует горизонтальная асимптота

y 0 , наклонной асимптоты в

этом направлении нет.

Найдем наклонную асимптоту при x

k lim	1	lim


x x2 e x		x

Следовательно, при

e x

lim

e x

lim

x наклонной асимптоты тоже нет.

5˚. Экстремумы и интервалы монотонности.

		e x
e x		e x
	lim
2x	lim	2
2x	x	2
	x

e x xe x

1 x

x2 e2 x

x2 e x ,

0 при

x 1 и не существует при

x 0 . Так как

x 0

–точка разрыва, то экстремум в этой точке не существует. Т.е. критическая точка

x1. Знаки производной указаны на рисунке 8.

Таким образом, точка x 1 является точкой максимума функции и ymax y( 1) e .

На интервале , 1 функция возрастает, а на интервале 1, убывает.

6˚. Точки пересечения с осями координат. С осью ОХ график функции не пересекается,

т.к. уравнение xe1x 0 не имеет решение. Функция в точке x 0 не существует, то

точек пересечения с осью ОУ также нет.

7˚. По результатам исследования построим график ( рисунок 9).

у
-1	0	х
	-е
	Рисунок 9

Пример 13. Найти уравнение касательной к кривой y x3 в точке x 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A 1;2 параллельно к этой касательной.

Решение.

Уравнение касательной к графику функции y f x имеет вид y y0 k x x0 , гдеx0 , y0 - координаты точки касания, k y x0 - угловой коэффициент касательной.

Найдем координаты точки касания: по условию x0 1, тогда y0 13 1.

Найдем угловой коэффициент прямой: kкас y x0 , y x 3x2 ,	y x0 3 1 2	3 .
Запишем уравнение касательной y 1 3 x 1 или y 3x 2

Искомая прямая проходит параллельно найденной касательной, следовательно, их

угловые коэффициенты связаны соотношением	kl kкас 3 .	Воспользуемся		уравнением
прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку		A x0 ; y0 :	y y0	k x x0 .
Уравнение искомой прямой имеет вид y 2 3 x 1 или y 3x 5 .
Таким образом, уравнение касательной	y 3x 2 ;	уравнение	искомой прямой

y 3x 5 .

Пример 14. Составить уравнения касательных к кривой y 3x 2 , перпендикулярных x 1

прямой 5x y 1 0 .

Решение.
Уравнение касательной к графику функции y f x имеет вид y y0 k x x0 ,			где

x0 , y0 - координаты точки касания, k y x0 - угловой коэффициент касательной.
Так как по условию задачи		искомая касательная и заданная прямая	l
перпендикулярны,	их угловые коэффициенты связаны соотношением kкас kl 1. Приведем
уравнение прямой	к виду y kx b :	y 5x 1, следовательно, угловой коэффициент

прямой kl

5 . Тогда kкас 5 1

kкас

1 5 .

3x 2

3 x 1 3x 2

3x 2 x 1 3x 2 x 1

Найдем y

1 2

x 1 2

x 1

стороны kкас

с другой стороны kкас 1 5 .

одной

Из этого

y x0

1 2

условия сможем составить уравнение, из которого найдем координаты точки касания:

y x0 x0 1 2

5 . Значит в двух точках при x0 4

и x0 6 касательные

перпендикулярны заданной прямой. Рассмотрим каждую точку отдельно.

x0 4 .

Найдем соответствующие значения:

3 4 2

2 .Запишем уравнение касательной

4 1

y 2

x 4 и приведем его к виду y

x0 6 .

3 6 2

Найдем

соответствующие

значения:

4 .

Составим

уравнение

4 1

касательной y 4

x 6 и приведем его к виду

Пример 15. Составить уравнение касательной к графику функции y x 1 , проходящей через точку B 3;0 .

Решение.

Отметим, что касательная проходит через точку B 3;0 ,

но эта точка не является

точкой касания.

Уравнение касательной к графику функции y f x имеет вид y y0

k x x0 , где

- угловой коэффициент касательной.

x0 , y0 - координаты точки касания, k y x0

Найдем угловой коэффициент касательной

k y x0

2 x0

Найдем ординату точки касания y0

x0 1 .

Подставив полученные выражения в уравнение касательной, получим:

x x0 .

y x0 1

2 x0 1

Касательная

проходит

через

точку

B 3;0 ,

следовательно

ее

координаты

удовлетворяют уравнению прямой. Подставим

координаты точки

3 y0

уравнение касательной и решим его относительно x0 :

3 x0

x0 5 .

0 x0

x0 1

Теперь определим ординаты точки касания y0

x0 1

5 1 2 и угловой коэффициент

касательной k y x0

. По условию задачи

y 0 ,

значит y0

2 и

2 x0 1

2 5 1

являются

посторонними

корнями.

Итак,

координаты

точки

касания

5;2

угловой коэффициент касательной k

Теперь

составим уравнение касательной

y 2

x 5

приведем

его

к виду

Пример 16. Составить уравнения касательных к графику функции y x 4 в точках ее x 2

пересечения с осями координат.

Решение.

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью OY

0 4

2 и с осью OY :

y 0

x 4

0 x 4 . Точки

касания имеют координаты M1 0;2 и M 2 4;0

y f x

y y0 k x x0 , где

Уравнение касательной к графику функции

имеет вид

x0 , y0 - координаты точки касания,

k y x0 - угловой коэффициент касательной.

Уравнение касательной приведено в задаче 14.

Угловой коэффициент касательной k y x0 . Найдем

x 4

4 x

2 x 4 x 2

y x

x 2 2

2 2

x 2

в точке M1 0;2 равен k y x1

Угловой коэффициент касательной

2 2

0 2 2

Подставив эти значения в уравнение касательной, получим уравнение

y 2

x 0

или

x 2 y 4 0 .

Угловой

коэффициент

касательной

точке

M 2 4;0

равен

k y x2

Подставив эти значения в уравнение касательной,

2 2

4 2 2

получим уравнение

y 0

x 4

или

x 2 y 4 0. Следует заметить, что касательные

проходят параллельно друг другу.

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.08.2019521.22 Кб11Практикум №10. Прогнозирование.doc
#
26.08.2019316.42 Кб11Практикум №9. Решение задачи оптимизации.doc
#
13.03.20151.02 Mб266ПРАКТИКУМ.docx
#
13.03.2015301.45 Кб27практикум.pdf
#
29.08.2019586.75 Кб3Практикум_Интегралы.DOC
#
26.05.20152.03 Mб16практикум_Мат.анализ.pdf
#
14.08.20191.96 Mб4практич.doc
#
26.05.201565.02 Кб21Практическая работа БУУ2013г.doc
#
17.11.2019214.53 Кб60Практическое занятие 6 .doc
#
16.08.2019275.46 Кб4Практическое задание No.1 ИТОГ.doc
#
13.03.2015718.42 Кб20Практическое занятие 1 WORD.pdf