Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

практикум_Мат.анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.05.2015

Размер:

2.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

		15																1		Используем формулу																							1
	13				dz					1				t 4															13				15					t 4
						72						ln										dx								ln		z		9 ln
						72						ln										dx								ln		z		9 ln
	2				z					2 4				t 4											ln	х	С.		2				7					t			4
	2	7			z					2 4				t 4											ln	х	С.		2				7					t			4
		7																3				x																					3
																1 4								3 4				Используем формулу
	13	ln																																	13						15
	13																																		13						15
				15			ln		7			9 ln								ln											a								ln
				15			ln		7			9 ln								ln																			ln
																1 4								3 4
	2																											ln a ln b ln				.				2					7
																															b


			5					7		13			15						5		13																31					5		5
	9 ln				ln						ln				9 ln									(ln 5 ln 3				ln 7) 9(ln 5 ln 7 ln 3)												ln					ln 3.
	9 ln				ln						ln				9 ln									(ln 5 ln 3				ln 7) 9(ln 5 ln 7 ln 3)												ln					ln 3.
			3					1		2				7			21 2																				2 7 2
2-й способ. Подынтегральная дробь																									13х 33			является правильной. Разложим знаменатель

																							х2 6х 7
																							х2 6х 7

на линейные множители, а затем дробь представим в виде суммы простейших дробей:

13х 33	13х 33	А	В
				.
х2 6х 7	(х 7)(х 1)	х 7	х 1

Чтобы найти неизвестные коэффициенты А и В приведем правую часть равенства к общему

знаменателю

13х 33

А(х 1) В(х 7)

, откуда

х2 6х

(х 7)(х 1)

13х 33 А(х 1) В(х 7) .

Если х = -1, то 20 = -8В, т.е. В = -5/2.

Если х = 7, то 124 = 8A, т.е. A = 31/2.

Таким образом,

13х 33

31/ 2

5 / 2

. Тогда

х2 6х 7

х 7

х 1

13х 33

31/ 2

5 / 2

x 1

ln 3 .

х2 6х

х 1

2 7 2

3x2 5x

Итак,

dx = 6+

ln 3.

x2 6x 7

2 7 2


Несобственным	интегралом		с бесконечным верхним пределом f x dx от
				a
				t
непрерывной функции	f x	на полуинтервале a, называется предел интеграла f x dx
				a
при t стремящемся к :
				t
		f x dx lim		f (x)dx .
		a	t	a
		a		a

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Несобственный интеграл от непрерывной функции с бесконечным нижним пределом интегрирования

f x dx lim f x dx .

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования

x dx lim

x dx lim f x dx ,

где a c b .

Пример 4. Вычислить несобственный интеграл

xe x2 / 2 dx .

Решение.

/ 2

Вычислим неопределенный интеграл

dx.

x 2

xe x

/ 2 dx

xe x

/ 2 dx

lim

Проведем замену переменной : t

, dt xdx.

a a

/ 2 dx et dt et C e x

/ 2 C.

xe x

1/ 2

a2 / 2

1/ 2

/ 2

lim

Пример 5. Вычислить несобственный интеграл

x ( ln x 1)2

Решение.

Вычислим неопределенный интеграл

x ( ln x 1)2

Проведем замену переменных : t ln x 1, dt

dx.

lim

x ( ln x 1)2

2 x ( ln x 1)2

t 2

x ( ln x 1)2

ln x

lim

1 1 .

ln x 1

ln b 1

ln e

Геометрический смысл определенного интеграла.

Если

на

отрезке

a,b

задана неотрицательная функция

y f x ,

тогда

площадь

криволинейной трапеции,

ограниченной кривой

y f x ,

прямыми x a ,

x b и осью

абсцисс y 0 (рис.1) численно равна определенному интегралу от функции y f x на

a,b :

S f x dx .

Если функция y f x	неположительна на отрезке
a,b (рис. 2), то площадь S	над кривой y f x на a,b

отличается знаком от определенного интеграла:

S f x dx .

Если	на отрезке a,b заданы непрерывные функции
y f2 x	и y f1 x такие, что	f2 x f1 x (рис. 3),
тогда площадь S фигуры, заключенной между кривыми
y f2 x	и y f1 x на отрезке	a,b , вычисляется по

формуле:

b
S f 2	x f1 x dx .
а

Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y x3 , y 8, x 0.

Решение. Для построения фигуры найдем точку пересечения линий y x3 , y 8 :

	3	,
y x		,	x3	8. Решая уравнение, получим х	2, у 8.
			x3	8. Решая уравнение, получим х	2, у 8.

y 8,
Данная фигура ограничена двумя линиями					y 8 (сверху),
y x3 (снизу) и двумя вертикальными прямыми					х 0 и х 2 .

Следовательно, согласно формуле S f2 (x) f1 (x) dx , имеем

2				x4	2			24
2
	3
S (8 x	3	)dx	8x			8	2		0	16 4	12 кв.ед.
S (8 x		)dx	8x	4		8	2	4	0	16 4	12 кв.ед.
0				4	0			4
					0

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y e2x , y 2x , y 4 .

Решение. Найдем точки пересечения кривых y e2x ,

y 2x

с прямой y 4 :

e2x

Логарифмируя полученное уравнение, получим 2x ln e ln 4

или x ln 2

2 x

или x 2 .

y 4

Площадь искомой фигуры S состоит из двух частей S1 и S2.

S1 – это площадь, ограниченная кривыми y e2x , y 2x и

прямой y 4 .

S2 - площадь, ограниченная кривой

y 2x

и прямыми

y 4 ,

х 2 .

Следовательно,

ln2

2 x

ln 2

2 x

S S1 S2

)dx

ln 2

ln2

ln 2

2ln2

4 ln 2

ln 2

ln 2 2 ln 2

ln 2

4 ln 2

2ln2

4 ln 2 2,4 кв.ед.

ln 2

Упражнения

Вычислить определенные и несобственные интегралы:

1. 2 e x x 2 dx .

2. ln(3x 1) dx .

0
	хdx
3.	хdx	.


	x 2 1
1	x 2 1

Ответ. 12 e4 32 e2 73 .

Ответ. 73 ln 7 2.

Ответ. .

4	dx			1
4.		.	Ответ.		ln 3.

x2	4x 3			2

Вычислить площади фигур, ограниченных следующими линиями:

5.	xy 1,	y x2 ,	x 2 .	Ответ. 7/3-ln2 кв.ед.
6.	y e x ,	y e x ,	x 1.	Ответ. e+1/e-2 кв.ед.
7.	y 3x x2 , x2 2y .			Ответ. 2 кв.ед.

Функции нескольких переменных

Если каждому набору n значений переменных величин x1, x2 , , xn из некоторого

множества D соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z из
множества E , то говорят,	что задана функция нескольких переменных Z f x1, x2 , , xn							.
Функция двух переменных		z f x, y .
Частные производные функции двух переменных z f x, y :
		z	lim	x z	lim	f x x, y f x, y	,

zx		x		x		x
			x 0		x 0
		z	lim	y z	lim	f x, y y f x, y	.

zy		y		y		y
			y 0		y 0

Замечание. Вычисляют частные производные по формулам и правилам дифференцирования функции одной переменной.

Производная	z			вычисляется при фиксированном значении			y , а производная		z


	x		zx						y	zy

вычисляется при фиксированном значении x .
Функция		z f x, y имеет 2 частные производные				и		первого порядка и 4
					zx		zy

частные производные второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

2 z

x x

2 z

x y

y x

2 z

называются смешанными производными функции z f x, y .

x y

y x

Точка M x0 , y0 называется точкой максимума (минимума) функции z f x, y , если

существует

окрестность

точки

такая, что для

всех

точек

x, y этой окрестности

выполняется неравенство

f x0 , y0

f x, y ,

f x0 , y0

f x, y .

Необходимое условие экстремума. Если

точка

x0 y0 -

есть точка

экстремума

дифференцируемой функции

z f x, y ,

то частные производные

fx x0 , y0 и

f y x0 , y0 в

этой точке равны нулю.

f x, y z :

Достаточное условие экстремума. Если функция

а) определена в некоторой окрестности критической точки x0 , y0 , в которой

fx x0 , y0 0 и f y x0 , y0 0 ,

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка

x0 , y0

A ,

fxx

, y0

x0 , y0 B ,

fxy x0

f yx

x0 , y0

C .

f yy

Тогда, если AC B2

, то в точке

x ,

y функция

z f x, y имеет экстремум,

причем если A 0

(или C 0 ) – максимум, если

A 0

(или C 0 ) - минимум.

В противном случае функция экстремума не имеет;

если AC B2

0 , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Метод наименьших квадратов (МНК) предусматривает нахождение неизвестных

параметров функциональных зависимостей

из условия: сумма квадратов отклонений

(невязок)

i «теоретических» значений

f xi ,

найденных

по

эмпирической формуле

y f x , от соответствующих эмпирических значений yi

xi yi

s i2

должна быть минимальной.

i 1

Система

нормальных уравнений для определения неизвестных параметров a, b линейной

зависимости y ax b :

a xi b xi yi ,

i 1

a nb

i 1

Пример 1. Найти частные производные первого порядка функции z ln 3y 2 e x .

Решение.

Частная производная функции двух переменных z x, y по переменной х обозначается

и вычисляется по правилам и формулам дифференцирования функции

z x или

одной переменной при условии, что х – изменяется, а у – постоянная (const).

z x

y const ln 3y

ln u

x /

3y 2 e x

Слагаемое 3y 2 не зависит от переменной х, следовательно, по правилу C 0 производная

3y 2

/ 0 .

Функция

e x

зависит от переменной х,

применим для ее дифференцирования

eu u .

формулу eu

0 e x x x

x x

Частная

производная

функции

z x, y

по

переменной

обозначается

z y

или

вычисляется при условии, что у – изменяется, а х – const.

z y x const ln 3y

3y y

6 y

e x

3y 2 e x

6 y 0

6 y

3y 2 e x

Пример 2.

Найти частные производные первого порядка функции

u e y e

y .

Решение.

y const

u x

e e

u v u

z const

Функция e y зависит от переменной х, применим для ее дифференцирования формулу

eu u .

Второе

слагаемое

не

зависит

от

х,

следовательно,

C 0

0 .

производная e

= e

e .

C u e

x const

x /

z /

u /

e y

z const

y y

= e y x

e y

e y x

y y

xe y ze y

по правилу

y 2

x const

z /

u /

e y

0 e

const

y z

z /

	z	1
		1
e	y		z /
e	y		z /
			z
		y

x2 y2

Пример 3.

Вычислить значения частных производных функции

u z e

в точке

M 0, 0,1 .

Решение.

Вычислим частную производную u x

y const

x2 y 2

z e

C u

u x

e e u

z const

x y

x x

z e

y 2

x2 y 2

z e

2x xz e

в точке M 0, 0,1 :

Найдем значение производной u x

y 2

M x 0, y 0, z 1 0 1 e

M xz e

0 .

u x

Вычислим частную производную u y :

x const

x 2 y 2

x2 y 2

x 2

y 2

z e

u y

z const

z e

2 y yz e

y 2

2 y

Найдем значение производной u y

в точке M 0, 0,1 :

y 2

M x 0, y 0, z 1 0 1 e

M yz e

0 .

u y

Вычислим частную производную u z

x 2 y 2

x const

z z

1 e

u z

z z

y const

в точке M 0, 0,1 :

Найдем значение производной u z

x2 y 2

M x 0, y 0, z 1

u z

M e

M 1.

Таким образом:

M 0, uy

M 0, uz

Пример 4.

Для функции

z x e xy

найти частные производные второго порядка,

убедиться в том, что zxy

z yx .

Решение.

Найдем производные первого порядка z x

и z y

xx 1

y const x e

x e

z x

uv u v

uv xx

eu eu

1 e xy x e xy xy /

Cx / C e xy x e xy y e xy 1 xy .

x const x e

y x e

xy y

x e

z y

Cu C u x e

x 2

e xy .

Найдем производные второго порядка z

z //

, z // и

z //

z /

y const e xy

1 xy

e xy /

1 xy e xy

1 xy

e xy y 1 xy e xy y ye xy xy 2 .

z /

x const x 2

e xy /

x 2 e xy

x x3 e xy .

z /

x const e xy

1 xy

e xy /

1 xy e xy

1 xy

e xy x 1 xy e xy x xe xy xy 2 .

z /

y const x 2

e xy /

x 2 / e xy

x 2 e xy /

2x e xy x 2 e xy y xe xy xy 2 .

Сравнение

смешанных

частных

производных

показывает,

что

z xy xe

xy 2 z yx .

Пример 5. Найти критические точки функции z xy					50	20	,	x 0,	y 0 .
Пример 5. Найти критические точки функции z xy					x	y	,	x 0,	y 0 .
					x	y
Решение.
Найдем частные производные		и		:
Найдем частные производные	z x	и	z y	:

z y

C u

y const

xy x

;

y xx

x const

x y

0 20

y y

Запишем необходимые условия экстремума функции z x, y :

z x

z y

Решим полученную систему уравнений. Для этого выразим из первого уравнения

подставим

во

второе

0 ,

упростим

20 x

x 2

50 2

2500

x 2

2500 x 20 x 4

x 250 2x3 0 . По условию задачи

x 0 250 2x3

0 , найдем

125 x 5 , затем определим y

2 .

x 2

Таким образом,

точка M 5, 2

является

критической

точкой

заданной функции.

Других критических точек в области

x 0,

y 0

функция не имеет.

Пример 6.

Исследовать на экстремум функцию z x3

3xy 2

15x 12y .

Решение.

Найдем частные производные

z x

z y :

y const x

15x 12y x

z x

3xy

xx 15 xx

0 3x

15 ;

x const x

15x 12y y

3x y

z y

3xy

0 12 y y 6xy 12 .

Запишем необходимые условия экстремума функции z x, y :

15 0

5 0

z x

y 0

6xy 12 0

xy 2 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.08.2019521.22 Кб11Практикум №10. Прогнозирование.doc
#
26.08.2019316.42 Кб11Практикум №9. Решение задачи оптимизации.doc
#
13.03.20151.02 Mб265ПРАКТИКУМ.docx
#
13.03.2015301.45 Кб27практикум.pdf
#
29.08.2019586.75 Кб3Практикум_Интегралы.DOC
#
26.05.20152.03 Mб16практикум_Мат.анализ.pdf
#
14.08.20191.96 Mб4практич.doc
#
26.05.201565.02 Кб21Практическая работа БУУ2013г.doc
#
17.11.2019214.53 Кб60Практическое занятие 6 .doc
#
16.08.2019275.46 Кб4Практическое задание No.1 ИТОГ.doc
#
13.03.2015718.42 Кб20Практическое занятие 1 WORD.pdf