Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

практикум_Мат.анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.05.2015

Размер:

2.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Решим полученную систему уравнений. Для этого выразим из второго уравнения

y	2		x 0 и подставим в первое		2		2	2		2	4	5	0
		,		x				5 0 , упростим	x
		,		x				5 0 , упростим	x		x 2
	x					x					x 2

x 4 4 5 x 2 0 x 4 5 x 2 4 0 .

Обозначим

x 2 t

решим

полученное

квадратное уравнение

t 2 5t 4 0 .

Дискриминант D 25 16 9 32 0

5 3

4 .

Из условия

x 2

1 найдем

Из условия

x 2

4 найдем

2 ,

2 .

В соответствии с формулой y

определим y 2

2 ,

Таким образом, критическими точками заданной функции будут

M1 1,2 , M 2 1, 2 ,

M 3 2,1 и M 4 2, 1 .

Для проверки достаточного условия экстремума найдем частные производные второго

порядка:

y const 3x

15 x

2x 0 0 6x ;

z xx

6x 1 0 6x ;

z yy

x const 6xy 12 y

x const 3x

15 y

0 3 2y 0 6y .

z xy

M A ,

В каждой критической точке М вычислим значения этих производных z xx

M B ,

M C

AB C

z yy

z xy

и найдем определитель

M1 1,2 :

В точке

A 6, B 6, C 12, 36 144 108 0 ,

следовательно,

точка

M 1

не является точкой экстремума функции z x, y .

В точке

M 2 1, 2 :

A 6, B 6, C 12, 36 144 108 0 ,

следовательно,

точка M 2

не является точкой экстремума функции z x, y .

В точке

M 3 2,1 :

A 12, B 12, C 6, 144 36 108 0 ,

следовательно,

точка

M 3

является точкой экстремума функции

z x, y . При этом

A 12 0 ,

значит,

в точке M 3

функция имеет минимум,

zmin M 3 23 3 2 12

15 2 12 1 28 .

В точке

M 4 2, 1 :

A 12, B 12, C 6, 144 36 108 0 ,

следовательно,

точка M 4

является точкой экстремума функции

z x, y .

При этом

A 12 0 , значит, в

точке M 4

функция имеет максимум, значение которого составляет

zmax M 4 2 3 3 2 1 2 15 2 12 1 28 .

Пример 7. Имеются данные о затратах на обслуживание У(тыс. руб.) и сроке эксплуатации Х(лет) некоторого оборудования.

Х	1	5	10	15

У	1	3	7	10

Пользуясь методом наименьших квадратов аппроксимировать данные линейной зависимостью y ax b и определить с ее помощью приближенное значение затрат при

сроке эксплуатации x 8 лет. Вычислить сумму квадратов отклонений найденной прямой от исходных точек. (Расчет коэффициентов a и b выполнить с точностью 2 знака после запятой.)

Решение.

Для определения коэффициентов линейной зависимости составим систему нормальных уравнений:

		2	b xi		xi			yi
a xi									.
	a	i		b n			i

			x			y

Вычисление необходимых сумм проведем в таблице:

	x	i	y	i	x 2	x	i	y	i
					i
	1		1		1			1
	5		3		25		15
	10		7		100		70
	15		10		225	150
сумма	31		21		351	236

									a 351 b 31 236
				Запишем систему												и решим ее по формулам Крамера.
									a 31 b 4 21
		351			31	1404 961 443 0 ,				система имеет единственное решение.
		31			4
					31		944 651 293 a				1			293
			236		31						1			293				0,66 ;
	1																	0,66 ;
	1		21		4										443
			21		4										443
					236			7371 7316 55 b				2					55
				351	236							2					55			0,12 .
	2			31	21															0,12 .
	2															443
																443
				Таким образом, требуемая линейная зависимость построена:																	y 0,66x 0,12 .
				Определим с ее помощью приближенное значение затрат у при сроке эксплуатации
x 8 лет:					y 0,66 8 0,12 6,40 (тыс. руб.).
				Для вычисления суммы квадратов отклонений найденной прямой от исходных точек
дополним расчетную таблицу столбцами у													Тi		,	E		i	и	E 2 . Теоретические значения у		Тi	найдем с
													Тi					i		i		Тi
помощью					полученной				формулы	y 0,66x 0,12										для каждого	заданного значения xi .
Отклонения Ei рассчитаем по формуле Ei yTi																			yi . Затем определим квадраты отклонений
и их сумму.
																							52

	x	i	y	i	у	Тi	E	i	E 2
									i

	1		1		0,78		-0,22		0,0484
	5		3		3,42		0,42		0,1764
	10		7		6,72		-0,28		0,0784
	15		10		10,02		0,02		0,0004
сумма
									0,3036

Ei2	Сумма	квадратов отклонений найденной прямой	от	исходных точек	найдена:
Ei2	0,3036 .
Пример 8.		По данным о величине пробега автомобиля	Х	(100 тыс.км.) и	стоимости

обслуживания У (усл. ден. ед.) построены зависимости yˆ 0,3x 0,76 и				.
	yˆ	2	x	.
1		2

Определить средние квадратические погрешности обеих зависимостей и выяснить какая из них лучше выравнивает исходные данные. Сделать чертеж.

				Х		1			2				3		4		5

				У		1,0			1,4				1,7		2,0		2,2

Решение.
		Для каждой зависимости					рассчитаем						по соответствующей						формуле значения
yˆ	i	f x , затем определим остатки E							yˆ	i	y		, квадраты остатков Ei2						и их сумму Ei2 .
	i	i						i		i		i
Результаты расчетов приведем в таблице.

				Исх. данные			yˆ1 0,3x 0,76											yˆ2		x

				xi	yi		yˆ				Ei			Ei2	yˆ	2i			Ei		Ei2
							1i									2i

			1		1		1,06				0,06			0,0036	1				0		0
			2		1,4		1,36			-0,04				0,0016	1,41			0,01			0,0001
			3		1,7		1,66			-0,04				0,0016	1,73			0,03			0,0009
			4		2		1,96			-0,04				0,0016	2				0		0
			5		2,2		2,26				0,06			0,0036	2,24			0,04			0,0016
		сумма
		сумма												0,0120							0,0026

Теперь можно найти средние квадратические погрешности заданных зависимостей:

	E	1	Ei2 .
	E	n	Ei2 .
		n

Для линейной зависимости yˆ	0,3x 0,76 получим E1			1	0,0120 0,049 .
Для линейной зависимости yˆ	0,3x 0,76 получим E1				0,0120 0,049 .
1				5
				5

Для альтернативной зависимости yˆ							получим E2	1	0,0026 0,023.
					2	x		1
						x		5


Сравнение	средних	квадратических погрешностей							E1 0,049 E2	0,023
показывает, что зависимость		yˆ2		лучше (в смысле метода наименьших квадратов)
показывает, что зависимость		yˆ2	x	лучше (в смысле метода наименьших квадратов)
выравнивает исходные данные.

Построим чертеж, на котором покажем:

–исходные точки M i xi , yi ;

–график зависимости yˆ1 0,3x 0,76 - прямую, соединяющую точки xi , yˆ1i ;

–график зависимости yˆ2 x - параболу, соединяющую точки xi , yˆ2i .

обслуживания	3
	2,5
	2

Y, стоимость	1,5
	1
	0,5
	0	1	2	3	4	5	6	7
				Х, пробег автомобиля

исходные данные	зависимость У1(х)	зависимость У2(х)
исходные данные	зависимость У1(х)	зависимость У2(х)

Упражнения

Для указанных функций найти частные производные первого порядка:

	z 5xy		4	2x		2		7							4	4xy	7			20xy		3	14x		2		6
1.	z 5xy			2x			y		.	Ответ:	zx	5y				4xy		,	z y	20xy			14x			y		.

													e 2 x 3 y								3e 2 x 3 y
	z e	2 x 3 y											e 2 x 3 y								3e 2 x 3 y
2.					.					Ответ:							,							.
2.					.					Ответ:	z x			2x 3y			,		z y					.
														2x 3y							2 2x 3y

Ответ:

x 2 y 2 3

x2 y 2

x 2 y 2 3

Ответ:

x y 2

u y

x y 2

x y

u z e

yz e

xz e

Ответ:

u y

uz e

Вычислить значения частных производных функции u

в точке

M 1,1, 2 .

Ответ:

M 1,25 .

ux M 1,5; uy

M 1; uz

Вычислить значения частных производных функции u

в точке M 0, 1,1 .

x2 y 2

Ответ:

M 1,

ux M 0, uy

uz M 1.

Для указанных функций найти частные производные второго порядка, убедиться в том, что

zxy

z yx :

z ln 3xy 4 .

Ответ:

9 y 2

9x2

zxx

3xy

4 2

z yy

3xy

4 2

, zxy

z yx

3xy 4 2

z e

2 x2 y2

1 4x

Ответ: zxx

2 x2

zxy

z yx

8xy e

Найти критические точки функций:

10.

z x2 y 4 x y ,

x 0, y 0 .

11.

z x

y x2

y 6x 3 .

Исследовать на экстремум функции:

2 , z

y2 .

2e2 x2 y2 1 2y 2 ,

Ответ: M 2,1 .

Ответ: M 4, 4 .

12.	z x 5 2 2y 2		1.	Ответ:	zmin 5, 0 1.
13.	z xy 3x2	2y 2 .		Ответ:	z	max	0, 0 0 .
						max
14.	z 3xy x2	y 2	10x 5y .	Ответ: критическая точка M 1, 4

не является точкой экстремума.

15. Имеются данные о среднедневной температуре t (0С) и объеме продаж мороженого У

(тыс. шт.).

t	10	15	20	25

У	3	5	15	22

Пользуясь методом наименьших квадратов аппроксимировать данные линейной зависимостью y at b и определить с ее помощью приближенно объем продаж при

температуре t 220 C . (Расчет коэффициентов a и b выполнить с точностью 2 знака

после запятой.)

Ответ: y 1,34x 12,20 ,

y 22 17,28 тыс. шт.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входит неизвестная функция, независимая переменная и производная функции

F x, y, y 0 .

Решением дифференциального уравнения называется такая функция y y x , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения 1–го порядка называется такое его решение y x, C , которое является функцией переменной x и произвольной постоянной C .

Основные типы дифференциальных уравнений 1-го порядка

Неполные дифференциальные уравнения 1-порядка:

y f x (не содержит y )

y f y (не содержит x )

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными: dydx f x g y ,

или M x N y dx P x Q y dy 0 .

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка:

y g y x ,

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка:

y f x y g x ,

Если g x 0 уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

(3 y)xdx (x 1) ydy 0 .

Решение.

В исходном уравнении при каждом дифференциале стоит произведение функций только одного аргумента. Следовательно, оно является уравнением с разделяющимися переменными. Метод решения таких уравнений называется «делим на лишнюю». При этом

под «лишней» при dx является функция аргумента y , а при dy - функция аргумента x .

Цель: сформировать при дифференциале каждой переменной функцию только этой переменной, чтобы можно было вычислить интеграл.

Сначала перенесем одну часть уравнения в правую сторону: (3 y)xdx (x 1) ydy .

При dx «лишним» является сомножитель (3 y) . Полагая (3 y) 0 поделим на него

все уравнение,

получим xdx

(x 1) ydy

. Теперь при

dy «лишним» является сомножитель

(3 y)

(x 1) . Поделим

на

него

все уравнение, полагая

(x 1) 0 .

В результате

получим

выражение

xdx

ydy

, которое можно проинтегрировать:

xdx

ydy

. После

(x 1)

(3 y)

(x 1)

(3 y)

вычисления интегралов будет найдено общее решение (общий интеграл) исходного уравнения: x ln x 1 y 3ln 3 y c .

Найти общее решение дифференциального уравнения y

Пример 2.

x (2y 3)2

0 .

Решение.

Проверим,

можно

ли

уравнении

разделить

переменные.

Воспользовавшись

равенством y

, запишем уравнение в дифференциалах:

x (2 y

3) .

Умножим обе части на dx :

xdy (2y 3)2 dx . В этом уравнении можно разделить

переменные с помощью алгебраических преобразований. В левой части

уравнения при dy

«лишним» является сомножитель

x .

Поделив на него все уравнение (

x 0 ),

получим:

(2 y 3)2 dx

Теперь

при

правой части

уравнения

«лишним»

является

сомножитель (2 y 3)2 , причем

(2 y 3)2

0 . Поделим на него все уравнение. В результате

получим

выражение

Проинтегрируем обе

части

равенства:

(2 y

3)2

Вычислив интегралы, найдем общее решение (общий интеграл)

(2 y

c .

исходного уравнения:

4 y 6

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения

2(1 ex ) yy ex при

заданных начальных условиях y(0) 1

Решение.

Частное решение находится из общего,

поэтому сначала найдем

общее решение

дифференциального уравнения.

Проверим,

можно ли в уравнении

разделить

переменные.

Запишем

уравнение в

дифференциалах, воспользовавшись равенством

dx . Получим:

2(1 ex ) y

ex .

Умножим обе части равенства на

dx :

2(1 ex ) ydy ex dx .

Теперь видно, что оно

является уравнением с разделяющимися переменными: в левой части

уравнения при dy

«лишним» является сомножитель

(1 ex ) , а при

dx в правой части уравнения «лишних»

сомножителей

нет.

Поделив

все уравнение

на

выражение

(1 ex ) 0

получим:

2 ydy

ex dx

Теперь

можно интегрировать:

2 ydy

ex dx

Вычислив

интегралы,

(1 e

)

(1 e

)

найдем общее решение исходного уравнения:

y2 ln

1 ex

c .

Произвольную постоянную

удобнее записать в виде ln c .

Тогда общее решение будет иметь вид:

y2 ln

1 ex

ln c .

Преобразуем его по свойству логарифма ln a ln b ln ab : y2

ln c

1 ex

Теперь найдем частное решение. Начальные условия заданны в виде

y(0) 1, т.е.

y0 1.

Подставим заданные значения

y0 в общее решение и найдем значение

произвольной

постоянной с :

12 ln c

1 e0

ln 2c 1

2c e

c e 2 . Чтобы

записать

частное

решение

подставим

найденное

значение

общее

решение:

1 e

Пример 4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

xdy ydx ydy .

Решение.

В первую очередь проверим, можно ли в уравнении разделить переменные. Для этого

сгруппируем выражения при дифференциалах переменных:

(x y)dy ydx . В полученном

уравнении

при

дифференциале

dy нельзя с

помощью алгебраических

преобразований

разделить переменные. Следовательно, оно не является уравнением с разделяющимися переменными.

Проверим, является ли оно однородным. Для этого удобнее записать его через

производную функции ( y dydx ), а не дифференциалы переменных, поделив все уравнение

		(x y)	dy	y	(x y) y y		y	y
на	dx :					(1). Однородное уравнение имеет вид		f	.

			dx					x

Иногда для студентов представляется трудным преобразовать исходное уравнение к такому виду, поэтому проверить его на однородность можно следующим образом: подставим в

уравнение вместо x tx , а вместо	y ty ( y остается без изменений) и преобразуем
полученное выражение: (tx ty) y ty		t(x y) y ty . Все выражение можно сократить

на t и получится исходное уравнение, значит оно является однородным.

Решаются однородные уравнения с помощью подстановки y(x) xu(x) (2), где u(x) -

неизвестная функция, которую надо найти. Продифференцировав уравнение подстановки (2)


найдем выражение для производной y :	y u xu (3). Подставив оба выражения (2) и (3)
в преобразованное уравнение (1) получим:			(4). Новое уравнение
		(x xu)(u xu ) xu

решается относительно функции u(x) , причем оно всегда является уравнением с разделяющимися переменными. Преобразуем полученное уравнение так, чтобы разделить переменные:

- вынесем x за скобки:

x(1

(x xu)(u xu ) xu

u)(u xu ) xu

- поделим на x :

(1 u)(u xu ) u

- раскроем скобки: (1 u)u (1 u)xu u u u2

(1 u)xu u

- приведем подобные:

(1 u)xu u2

- запишем уравнение в дифференциалах (u

dx ) :

(1 u)x dx u

- умножим обе части равенства на dx : (1 u)xdu u2 dx

- разделим переменные, поделив обе части равенства на сомножители x 0 и u2

0 :

(1 u)du

u 2

(1 u)

u 2

Теперь упростим полученное

выражение:

u 2

Общее решение (общий интеграл) уравнения (4) найдем, вычислив интегралы:

	1		dx	1
u 2		du			ln u ln x c (5).
u 2		du			ln u ln x c (5).
	u		x	u

Чтобы найти общее решение исходного уравнения (1) надо из подстановки (2)

выразить функцию u xy и подставить в полученное общее решение (5) уравнения (4):

ln x c .

Преобразуем

полученный

результат,

воспользовавшись

свойством

y x

ln a ln b :

x ln y ln x ln x c

ln y c

ln y c 0 - общее решение

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения

xy y2

2x2 y xyy

Решение.

Исходное уравнение преобразуем к виду:

xy y2 (xy 2x2 ) y (1).

Попробуем

разделить

переменные. Для

этого

сгруппируем

выражения

при

(xy

y(x y)dx x( y 2x)dy .

производной:

xy y

(xy 2x

) y

) (xy 2x ) dx

Убедились, что разделить переменные невозможно.

Проверим, является ли оно однородным:

заменим в уравнении (1)

x на tx , а y

на ty

( y

остается

без

изменений)

преобразуем

полученное

выражение:

txty (ty)2

(txty 2(tx)2 ) y t 2 (xy y2 ) t 2 (xy 2x2 ) y .

Все выражение можно сократить

на t 2 и получится исходное уравнение, следовательно оно является однородным.

Применим подстановку

y(x) xu(x)

(2), где

u(x) -

неизвестная функция, которую

надо найти. Продифференцируем выражение (2):

y u xu (3). Подставив оба выражения

(2)

и (3) в уравнение (1) получим:

u 2x

(4). Решим

новое

u x

)(u xu )

уравнение относительно функции u(x) , выполнив последовательно действия:

вынесем

за скобки: x

(u u

) x

(u 2)(u xu )

-поделим на x2 : (u u2 ) (u 2)(u xu )

-раскроем скобки: u u2 u2 2u (u 2)xu

-приведем подобные: (u 2)xu u

			du		du

-	запишем уравнение в дифференциалах (u	dx ) :		(u 2)x dx u
-	запишем уравнение в дифференциалах (u	dx ) :		(u 2)x dx u
-	умножим все уравнение на dx : (u 2)xdu udx .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.08.2019521.22 Кб11Практикум №10. Прогнозирование.doc
#
26.08.2019316.42 Кб11Практикум №9. Решение задачи оптимизации.doc
#
13.03.20151.02 Mб266ПРАКТИКУМ.docx
#
13.03.2015301.45 Кб27практикум.pdf
#
29.08.2019586.75 Кб3Практикум_Интегралы.DOC
#
26.05.20152.03 Mб16практикум_Мат.анализ.pdf
#
14.08.20191.96 Mб4практич.doc
#
26.05.201565.02 Кб21Практическая работа БУУ2013г.doc
#
17.11.2019214.53 Кб60Практическое занятие 6 .doc
#
16.08.2019275.46 Кб4Практическое задание No.1 ИТОГ.doc
#
13.03.2015718.42 Кб20Практическое занятие 1 WORD.pdf