практикум_Мат.анализ

его, поделив обе части равенства на сомножители x 0

и

u 0 : (u 2)du u dx

x

(u 2)

du

dx

2

dx

.

Теперь

упростим

полученное

выражение:

1

du

.

u

x

u

x

2

dx

Проинтегрировав

его, найдем общее

решение уравнения

(4): 1

du

u

x

функцию u

y

и подставим в полученное равенство:

y

2ln

y

ln x c .

x

x

x

Преобразуем полученный результат, воспользовавшись свойством ln

a

ln a ln b :

b

y

2ln y 2ln x ln x ln c

y

2ln y ln x ln c

ln

cx

y

.

x

x

y2

x

Последнее выражение является общим решением исходного уравнения.

Пример 6.

Найти частное решение дифференциального уравнения

2x2 y x2

y2

при

заданных начальных условиях y(1) 0 .

Решение:

Выясним тип уравнения. Запишем его в дифференциалах, чтобы попытаться

разделить переменные:

2x2dy (x2 y2 )dx . Очевидно, что при

dx

разделить переменные

невозможно.

Проверим, является ли оно однородным:

-

заменим

в уравнении x

на

tx ,

а

y на

ty

( y

остается

без

изменений):

2(tx)2 y (tx)2 (ty)2 ;

- преобразуем полученное выражение: 2t 2 x2 y t 2 (x2 y2 ) .

Все выражение можно сократить на

t 2

и

получится

исходное

уравнение,

следовательно, оно является однородным.

Сделаем

замену

y(x) xu(x) ,

y

.

Тогда

2x

2

2

(xu)

2

u xu

(u xu ) x

2x

2

(u

2

(1 u

2

) .

Полагая,

что

x 0 ,

сократим

обе

части

уравнения

на

x

2

:

xu ) x

2

du

2(u xu ) 1 u

.

Запишем

полученное

уравнение

через

дифференциалы

( u

):

dx

2u 2x

du

1 u 2

2xdu (1 u2

2u)dx .

dx

Разделим переменные:

du

dx

du

dx

.

Проинтегрируем обе части

1 u 2 2u

2x

(u 1)2

2x

du

dx

1

1

c

равенства

ln

x

1 (1 u)(c ln

x

) . В

последнее

2

(u 1)

2x

u

1

2

выражение подставим u

y

. Получим:

1 (1

y

c) . Разрешив его относительно y ,

)(ln

x

x

x

найдем общее

решение

(общий

интеграл)

исходного дифференциального

уравнения:

y x

x

.

с

ln

x

Используя начальное условие y(1) 0 ,

определим значение c . Для этого подставим в

общее решение значения

y 0

и

x 1:

0 1

1

c 1. Найденное значение c

ln

1

с

виде: y x

x

.

ln

1

x

1

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y

ytgx cos x .

1

dy (

ytgx)dx . Очевидно, что при dx разделить переменные невозможно.

cos x

Проверим, является ли уравнение однородным:

заменим x на tx , а y на

ty

( y

1

остается без изменений): y

ty tgtx

cos tx . В полученном уравнении сократить на

t

не

получится, следовательно, оно не является однородным.

Проверим, является ли оно линейным. Уравнение вида P(x) y Q(x) y f (x) , линейное

относительно неизвестной функции

y и ее производной

y , называется линейным. Важно,

чтобы в левой части уравнения при

y и y и в правой части уравнения стояли функции

методом

Бернулли

с

помощью

подстановки

y(x) u(x) v(x)

и

y

.

Получим

u v uv

1

1

uv tg x cos x

v tg x)

cos x . По

u v uv

. Перегруппируем полученное уравнение:

u v u(v

методу

Бернулли

решение этого

уравнения

равносильно

решению

системы двух

v

v tg x 0

дифференциальных

уравнений:

1

.

При этом каждое

уравнение

решается

u v

cos x

отдельно.

Решим

сначала

первое

уравнение

v v tg x 0 , причем будем искать его частное

решение. Это

уравнение

является

уравнением

с

разделяющимися переменными:

v v tg x 0

dv

v tg x

dv

tg xdx

dv

tg x d x ln

v

ln

cos x

ln c .

dx

v

v

1

уравнения

u v cos x . Подставим в него найденную функцию v cos x . В этом уравнении

1

du

1

dx

также можно разделить переменные:

cos x cos x

dx cos x cos x

du cos2 x

u

du

dx

u tgx c .

cos

2

x

Общее решение исходного уравнения y(x) u(x) v(x) (tgx c)cos x .

Найти общее решение дифференциального уравнения

x

2

2 y

x .

Пример 8.

y

dy (

2 y

x2 )dx . Очевидно, что при dx разделить переменные невозможно.

x

Проверим, является ли уравнение однородным: заменим x на tx , а y

на

ty

( y

2

2

2ty

остается

без изменений): y

t

x

tx . В полученном уравнении сократить

на

t

не

y(x) u(x) v(x)

2uv

x

2

подстановку

Бернулли

и

y

u v uv

:

u v uv

x

. После

2v

x

2

перегруппировки

получим:

.

Решение

полученного

уравнения

u v u v

x

2v

v

0

x

равносильно решению системы двух дифференциальных уравнений:

.

2

u v x

2v

x

0 .

Решим сначала первое уравнение v

Оно

является

уравнением

с

разделяющимися переменными:

v

2v

0

dv

2v

dv

2dx

dv

2

dx

x

dx

x

v

x

v

x

ln

v

2ln

x

c . Выберем частное решение, полагая

c 0 :

ln

v

2ln

x

v x2 . Далее ищем

общее решение

второго

уравнения

системы

2

.

Подставим

в

него

найденную

u v x

функцию

v x

2

.

В этом уравнении также можно разделить переменные:

2

x

2

u x

u 1

du

1 du dx . Проинтегрируем полученное равенство: du dx

dx

u x с .

Общее решение исходного уравнения y(x) u(x) v(x) x2 (c x) .

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения

ex ( y y) 1.

и

y

и в правой части уравнения стояли функции только аргумента x : ex y ex y 1. Значит

уравнение является линейным.

И его можно решить с помощью подстановки Бернулли

y(x) u(x) v(x) и

y

:

e

x

x

uv 1. После перегруппировки получим:

u v uv

(u v uv ) e

e

x

x

v) 1

. Решение полученного уравнения равносильно решению системы двух

u v e

u(v

дифференциальных уравнений: v

v 0 .

e

x

u v 1

Решим сначала первое уравнение: v v 0 .

Оно является уравнением с разделяющимися переменными: v v 0