практикум_Мат.анализ
.pdf
lim |
|
2n |
|
|
lim |
2 |
0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n n |
1 |
|
n 2n |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ряд сходится по признаку Лейбница. |
|
|
||||||||||||
|
Исследуем |
ряд на абсолютную сходимость, то есть исследуем на |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
знакоположительный ряд n ln 1 |
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Заметим, что этот ряд можно сравнить с гармоническим рядом |
. |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п 1 |
п |
|
предельный признак сравнения, получим
сходимость
Применяя
|
n ln 1 1 n2 |
|
ln 1 1 n2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 / n3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
1 1 n2 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
lim |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
1 0 . |
1 n |
1 n |
2 |
|
|
|
|
2 n |
3 |
|
|
1 n |
2 |
|||||||||
n |
n |
|
|
0 |
|
n |
|
|
|
n 1 |
|
|
|||||||||
Предел равен конечному числу, не равному нулю, следовательно, данный ряд так же как и гармонический ряд расходится.
Таким образом, знакочередующийся ряд сходится условно.
Упражнения
Исследовать сходимость рядов с положительными членами:
2п 1
1.
.
п 1 
п2п
|
|
|
|
2 п |
|
|||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
4 п |
2 |
5п |
||||||
|
п 1 |
|
|
|||||
|
|
ï |
2 |
3 |
|
|||
3. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
ï 1 |
5ï |
2 |
|
||||
Ответ: сходится по признаку Даламбера.
Ответ: расходится по признаку сравнения.
Ответ: расходится по необходимому признаку.
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:
|
|
|
п |
п |
2 |
2 |
|
|
1 |
|||||
|
|
|
п |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
п |
3 |
|
|
|
||||||
|
п 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 ï 1 |
n |
|
|
|
|
|
||||||
5. |
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ï 1 |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
5п 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
1 п |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
п 1 |
|
|
|
п 3 |
|
|
|
|
|||||
Ответ: сходится условно по признаку Лейбница
Ответ: сходится абсолютно.
Ответ: расходится.
71
Содержание
1.Предел и непрерывность………………………………………………………………… 3
2.Производная……………………………………………………………………………… 28
3.Приложения производной………………………………………………………………. 38
4. Неопределённый интеграл……………………………………………………………… 71
5.Определённый интеграл…………………………………………………………………. 79
6.Функции нескольких переменных……………………………………………………... 95
7.Дифференциальные уравнения…………………………………………………………. 119
8.Числовые ряды…………………………………………………………………………… 143
72