Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

практикум_Мат.анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.05.2015

Размер:

2.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Показатель степени				9		2x при x имеет предел:

				6x 4

lim	-18x	= «	» =	lim		-18x	=	18	= -3.
lim	6x 4	= «	» =	lim	6x 4		=	6	= -3.
x	6x 4			x	6x 4			6
x				x

По теореме о пределе сложной функции получим:

= e 3 .

					2
					1
					1	x
Пример 13.	Вычислить предел			lim			.
Пример 13.	Вычислить предел			lim			.
				x 0	4x 1
Решение.
	2
1
1		x
lim			=
lim			=
x 0 4x 1

Рассмотрим структуру выражения: при x 0 предел основания степени равен 1, а показатель является бесконечно большой функцией. Таким образом, имеем

неопределенность вида «1 ».

= «1 » =

Для раскрытия этой неопределенности следует применить формулу 2-го

замечательного предела: lim 1 e .

а) Выделим в основании степени слагаемое, равное 1:

= lim

x 0

= lim

x 0

1 1

1- 4x -1

- 4x

4x 1

Отметим, что при x 0

дробь

является бесконечно малой функцией.

4x 1

- 4x

4x 1

б) Для применения к полученному выражению формулы 2-го замечательного предела необходимо, чтобы показателем степени была бесконечно большая

4x 1

функция

. С этой целью выполним преобразования:

4 x

4 x 1

- 4x

4 x

4x 1

4 x 1

- 4x

4 x

e .

в) Согласно формуле 2-го замечательного предела lim

x 0

4x 1

Показатель степени

при x 0

имеет предел:

4x 1

lim

= 8.

x 0 4x 1 x

x 0

4x 1 1

По теореме о пределе сложной функции получим:

= e8 .

lnx 1

2 x

Пример 14.

Вычислить предел

lim

ln x 3

Решение.

lnx 1

2 x

lim

ln x 3

Рассмотрим структуру выражения:

lim

lnx 1

= « » =

lim

lnx 1

= lim

= 1.

lnx - 3

Таким образом, при x предел основания степени равен 1, а показатель

= «1 » =

= lim 1

является бесконечно большой функцией, имеем неопределенность вида «1 ».

Для раскрытия этой неопределенности применим формулу 2-го замечательного предела.

а) Выделим в основании степени слагаемое, равное 1:

	ln x 1	1	lnx 1	1 1		lnx 1- lnx 3			1	4	.
	ln x 3	1	ln x 3	1 1					1		.
	ln x 3		ln x 3			lnx - 3				lnx - 3
Отметим, что при x					дробь		4	является бесконечно малой функцией.

							ln x 3
							ln x 3

42 x

ln x 3

б) Поставим в показатель бесконечно большую функцию ln x 3 . 4

2 x

ln x 3

= lim

ln x 3

в) Согласно формуле 2-го замечательного предела

lim 1

ln x 3

Показатель степени

при x 0 имеет предел:

ln x 3

e .

lim

= «

» = lim

= lim

= «

» = .

ln x 3

По теореме о пределе сложной функции получим: = « e » = .

Пример 15. Найти точки разрыва функции y x 31x и установить характер разрыва. Решение.

Установим область определения функции: x ; 0 0; .

Точка x 0 , исключенная из области определения, является точкой разрыва. Исследуем тип разрыва с помощью односторонних пределов.

Левосторонний предел:

lim x 31x

= « 0 0 » = 0.

x 0-0

Правосторонний предел:

1 x

3 x

3 ln 3

lim

x 31x

« 0 » = lim

= «

» =

lim

= lim

x 0 0

1 2

lim

31x ln 3

. Один из односторонних пределов бесконечен, следовательно, точка x 0

x 0 0

является точкой бесконечного разрыва (разрыва 2-го рода).

Упражнения

Вычислить пределы.
1)	lim									8x3 2x														.
1)	lim	x									2			x								2		.
	x	x			2			1						x					2	1
	x				2														2

2)	lim	6x3												x5 1						.

					4x					6				3 x
	x				4x									3 x
	x
																									.
3)	lim			x									x 2										x 7		.
	x
4)	lim	2x						7x						.
4)	lim	2x						7x						.
	x	2x						7x

5)	lim		1 2x 3															.
5)	lim																	.
	x 4								x 2

6)	lim					1 x										3	.
6)	lim																.
	x 8					2 3								x

7)	lim		1 x												1 x						.
7)	lim																				.
	x 0										7 x

8)	lim	3						x2			7x 10											.
8)	lim	3									8 x2											.
	x 2										8 x2

9)	lim	3		7 x 2													.

							ln2					x
	x 1						ln2					x

10)	lim	3				x ln x .
	x 0

Ответ: .

Ответ: 3.

Ответ: 92 .

Ответ: -7.

Ответ: 43 .

Ответ: -2.

Ответ: 0.

Ответ: 3 34 .

Ответ: .

Ответ: 0.

11) lim

x 0

12) lim

13) lim

14) lim

15) lim

x 0

16) lim

x 3

		1								ln 1 x
													.
													.
										x	2
x 1 x										x
	x3									x2


	4x	2	1					2x 1				.
	4x		1					2x 1
	10x 3 5 x 2
									.
									.
	10x 1
x 3 x 2
				.
				.
x			1
					1 x 2
1 8x2
1 8x2							x 2 .
							1
	9 - 2x
	9 - 2x					x 3
									.
									.
	3

Ответ: 12 .

Ответ: .

Ответ: e2 .

Ответ: 0.

Ответ: e 8 .

Ответ: e 2 3 .

Найти точки разрыва функции и установить характер разрыва.

1.y 2x 1 . Ответ: бесконечный разрыв в точке x 3.

2.	y	3		.	Ответ: конечный разрыв (скачок) в точке x 0 .

		1 2	1
			x

Производная

Производной функции

y f x называется предел отношения приращения функции

y к приращению аргумента

x при стремлении последнего к нулю (если этот предел

существует):

f x x f x

y lim

lim

x 0

Обозначают:

y ,

f x ,

yx .

Правила дифференцирования

u v uv

;

3) u v

;

при v 0 .

;

4) uv u v uv

Производная сложной функции

ux .

Таблица производных основных функций

1)	(u n )				n u n 1 u ,							6)	(sin u)		cos u u ,
								1	u
2)										,		7)	(cos x)							,

	(log a u)													sin u u
							u ln a
	(ln u )					1		u ,					(tgu )		1			u ,
3)												8)
3)						u						8)			cos 2		u
						u									cos 2		u
		u		a			u								1
		u					u
4)	(a		)								,	9)	(ctgu )
4)	(a		)					ln a u			,	9)	(ctgu )				2		u .
																sin	2	u
5)	(e u ) e u u ,

Пример 1. Найти производную функции y x1 x 2 ln x 1 x 2 . Решение.

Преобразуем функцию y x1 x2 ln x 1 x2 x2 x4 ln x 1 x2 .

u v .

Последнее действие сумма, поэтому применим формулу u v

и ln u

, тогда

ln x

1 x

. Теперь применим формулы

2 u

x x

1 x

x x

2x 4x3

2 1 x 2

2 x 2 x 4

x 1 x 2

x x

= { преобразуем полученное выражение}

x x x

1 2x2

2 2x2

2 1 x2

2 1 x2 .

1 x2

Пример 2.

Найти производную функции

y ln 5

e3x

Решение.

nun 1u . Получим

Первой применим формулу un

преобразуем функцию, воспользовавшись

ln u ln v

свойством

e x

ln e

{по формулам u v

u v и ln u

e x

ln e x ln e x

e x

{ применим формулы eu eu u и c } ln

={преобразуем выражение} ln

Пример 3.

Найти производную функции y cos3

Решение.

y cos

{Применим формулу un

nun

1u } cos

cos

={по формуле cos u

sin u u } cos

sin

u v uv

={ по формуле

} =

x 1

x 1 x

2 1

x 1

3cos

sin

={по формулам u v

v и

{преобразуем выражение}=

cos

sin

cos

sin

cos

1 x

sin

1 x

x 1

1 x

Найти производную функции y ln x 2

x 2

5x e

Пример 4.

2x 1

2 x 1 .

Решение.

u v

Применим формулу u v

ln u

u v

u v uv }=

ln x

2x 1

5x e

{по формулам

2 x 1

2x 1

x 2

5x e

2 x 1 x 2 5x e 2 x 1

{ u v

u v и e

u }=

x 2

x e

x x

n 1

={по формулам

u ,

сx

c x c }=


	x
x

		x

			x e x

x x
		x


x x e		x
	x	x

			x
			x

u v

c x c и вынесем общий сомножитель e

={Применим формулы

x }

u v

, сx

x x

{преобразуем выражение}=

x x

2x 5

x 2 5x

2x 1 1

e 2 x 1 2x 5

2x 1 x

5x 2x 1

2x 1

Найти производную функции y e x sin x

Пример 5.

Решение.

Применим формулы u v u

и u v

u v uv

y e x

sin2 2x 3 e x sin2 2x 3

au ln au }=

={Применим формулы un

nun 1u , eu

u eu и au

sin

2x 3 e

2sin 2x 3 sin 2x 3

ln 3

={применим формулы x

1, sinu cos u

и представим

2 }=

sin x

sin

cos x x

sin x

sin

cos x

c x c

={по формулам u v u v , сx

и с

e x sin x e x sin x cos x x x ln {преобразуем выражение}=

e x sin x e x sin x cos x

x ln

e x sin 2x 3 4 cos 2x 3 sin 2x 3

ln 3

1 x

Пример 6.

Найти производную функции y

1 x 2

1 x

Решение:

Преобразуем функцию по свойствам степенной и логарифмической функций

1 3

y 1 x2

ln 1 x ln 1 x 1 2

1 x2

ln 1 x

ln 1 x .

с u :

Применим формулы u v

u v и сu

n 1

ln x

ln x {по формулам u

и ln u

x x

{ u v

сx c x

c и с }=

{преобразуем выражение}=

3 x

1 x2

2 1 x

Упражнения

Найти производные функций

y 1 ln x 2

1 e x 1 x

Ответ:

ex 1 x

1 ln x

1 x

ln 1

Ответ: y

1 x

4 1 x

e x

e3x

y ln e x

e2 x

Ответ: y

e2 x 1

e2 x 1 3

x 3x 1 ln 2

3x 1

2ln

x2 1

y 2ln

x2 1

Ответ:

3 2ln

x2 1

x 2 1

y 3

5ln 3 3

x 3 7x 2

x3 7x

5 3x 2

7 ln 2 3

Ответ: y

3x 2 7

x3 7x

3 3

x3 7x 2 2

x3 7x 2 3 x3 7x 2

e x

y ln x

x 2 4

Ответ:

1 e2 x

x 2 4

1 e2 x 3

1 5x ln x 1

xe 5 x

Ответ:

e5 x

ln x

x ln

Приложения производной

Функция y f x

называется возрастающей (убывающей) в промежутке

a,b , если

большему значению

этом

промежутке

соответствует

большее

(меньшее) значение

функции, т.е. для любого x a,b

если x1

x2 , то

f x1

f x2

- функция y f x возрастающая;

если x1

x2 , то

f x1

f x2

- функция y f x убывающая.

Теорема (достаточное условие возрастания (убывания) функции). Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X , то она возрастает (убывает) на этом промежутке.

Точка x0 называется точкой максимума функции f x , если в некоторой окрестности

точки x0 выполняется неравенство:

f x f x0 .

Точка x1 называется точкой минимума функции f x , если в некоторой окрестности

точки x1 выполняется неравенство:

f x f x1 .

Необходимое условие экстремума. Для того, чтобы функция y f x имела экстремум в точке x0 , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю ( f x 0 ) или не существовала

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Если при переходе через точку
x0 производная дифференцируемой функции y f x		меняет свой знак с плюса на минус, то
точка x0 есть точка максимума функции, а если с минуса на плюс, то точка минимума.
Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если первая производная
			f x
дважды дифференцируемой функции равна нулю		в некоторой точке x0 , а вторая
	положительна, то x0	есть точка минимума функции	f x ,
производная в этой точке f x
	x0 - точка максимума.
если же f x отрицательна, то
			19

Асимптоты:

Прямая

x x0

является

вертикальной

асимптотой, если

функция

y f x

терпит разрыв

точке x x0

односторонние

пределы

функции в точке x0 равны :

lim f x и (или)

lim

f x .

x x0

x x0 0

Прямая

y b

есть

горизонтальная

асимптота графика

функции

y f x , если функция y f x определена при достаточно больших x

и существует конечный предел функции

lim f x b .

Прямая

y kx b является наклонной асимптотой графика функции

y f x , если функция y f x определена при достаточно больших x

и существуют конечные пределы

lim f x kx b .

lim f

x x k

Уравнение касательной к кривой y f x в точке x0

имеет вид:

y f x0 f x0 x x0

Пример 1.

Исследовать на

экстремум

функцию

y x2

найти

интервалы

монотонности.

Решение.

2(x3 8)

1˚. Область определения функции x 0 . Производная функции y

x2 .

2˚. Приравнивая производную к нулю, находим критическую точку функции

x1 2 .

Точка

x2 0 , в которой производная

не

существует,

является точкой

разрыва

функции.

3˚. Покажем критическую точку и область определения функции на числовой прямой

(рисунок 1). Для определения знака производной в полученных интервалах выберем,

	x 3, x 1, x 1			38	0 ,

например,		и найдем	y ( 3)	9

y ( 1) 14 0, y (1) 18 0 .

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.08.2019521.22 Кб11Практикум №10. Прогнозирование.doc
#
26.08.2019316.42 Кб11Практикум №9. Решение задачи оптимизации.doc
#
13.03.20151.02 Mб265ПРАКТИКУМ.docx
#
13.03.2015301.45 Кб27практикум.pdf
#
29.08.2019586.75 Кб3Практикум_Интегралы.DOC
#
26.05.20152.03 Mб16практикум_Мат.анализ.pdf
#
14.08.20191.96 Mб4практич.doc
#
26.05.201565.02 Кб21Практическая работа БУУ2013г.doc
#
17.11.2019214.53 Кб60Практическое занятие 6 .doc
#
16.08.2019275.46 Кб4Практическое задание No.1 ИТОГ.doc
#
13.03.2015718.42 Кб20Практическое занятие 1 WORD.pdf