12.3. Эффективная диверсификация портфеля 1ри наличии многих рискованных активов

Рабочая книга Несмотря на то что инвестирование исключительно в рискованный актив 2 само по себе неэффективно, может быть, имеет смысл объединить в одном портфеле два вида рискованных активов? Или добавить к двум видам рискованных активов безрисковые?

Мы исследуем способы эффективного объединения трех активов в два этапа. На 1ервом этапе мы рассмотрим соотношение риска и доходности, достигаемое объединением только рискованных активов 1 и 2; на втором этапе мы добавим к ним безрисковый актив.

12.3.1. Портфели из двух рискованных активов

Объединение в одном портфеле двух видов рискованных активов аналогично объединению рискованного актива с безрисковым; эта тема обсуждалась в разделе 12.2. Просмотрите еще раз табл. 12.1, рис. 12.1 и уравнения 12.1 и 12.2.) Если один из двух активов безрисковый, то стандартное отклонение его ожидаемой ставки доходности и корреляция с другим активом равны нулю. Если оба актива являются рискованны-, w, то так или иначе необходим анализ соотношения риск/доходность.

Формула для вычисления среднего значения ставки доходности любого портфеля, в котором w — это доля рискованного актива 1, а (1 - w) — это доля рискованного актива 2, имеет следующий вид:

Е(r) = wE(r₁)+(l-w)E(r₂) (12.4)

В свою очередь формула дисперсии такова:

² = ₁² + (1 - w)² ² + 2w (1 - w) p₁ ₂ (12.5)

Эти два уравнения можно сравнить с уравнениями соответственно 12.1 и 12.2. Сравнение 12.4 — это, по сути, уравнение 12.1, только вместо процентной ставки безрискового актива r_r в него вставлена ожидаемая доходность рискованного актива 2, Е (r₂) Уравнение 12.5 — это более общая форма уравнения 12.2. Если актив 2 безрисковой, то 2 = 0 и уравнение 12.5 упрощается до вида уравнения 12.2. В табл. 12.2 сведены наши оценки распределения вероятности ставок доходности скованных активов 1 и 2. Обратите внимание: мы исходим из предположения, что коэффициент корреляции равен нулю (р = 0).

В табл. 12.3 и в рис. 12.3 показаны комбинации средних значений и стандартных отклонений доходностей, которые можно получить при объединении в одном портфеле рискованного актива 1 и рискованного актива 2. Точка S на рис. 12.3 соответствует портфелю, который состоит исключительно из рискованного актива 1, а точка R — портфелю, состоящему исключительно из рискованного актива 2.

Давайте покажем, как ожидаемые ставки доходности и стандартные отклонения в In 12.3 рассчитываются по формулам 12.4 и 12.5. Рассмотрим портфель С, который эит на 25% из рискованного актива 1 и на 75% — из рискованного актива 2.

Щ	Рискованный актив 1	Й.йЙйЙй.Йй?; Рискованный актив 2
Среднее значение '/!- Э&гакдартное отклонение рйрреляция	0,14 0,20 0	0,08 0,15 0

Соотношение риск/доходность для портфелей с двумя рискованными

eSllleSltESgeKe&eiBe

пь	Доля средств, вложенная в рискованный актив 1 (%)	Доля средств, вложенная в рискованный актив 2 (%)	Ожидаемая ставка доходности	Стандартное отклонение
	0	100	0,0800	0,1500
	25	75	0,0950	0,1231
|ьная <я	36	64	0,1016	0,1200
	50	50	0,1100	0,1250
	100	0	0,1400	0,2000

1одставив необходимые значения в уравнение 12.4, мы найдем, что ожидаемая ва доходности в точке С составит 0,095 в год:

jE'(r)=0,25 E(r,) +0,75 E{r} =0,25х0,14 +0,75х0,08 =0,095 ставив в уравнение 12.5 значение w, мы выясним, что стандартное отклонение

(Т² = W²² + (1 - w) (7² + 2w (1 - w) pO'iO'2

=0,25²x0,2²+0,75²x0,15²+0 =0,01515625

о- =УО,01515625 =0,1231

Рис. 12.3. Кривая соотношения риск/доходность: только рискованные активы

Примечание. Предполагается, что £'("/•=0,14, о-/=0,20, E(r)=0,OS, crj=0,15, /т=0.

Давайте с помощью табл. 12.3 исследуем кривую, соединяющую на рис. 12.3 точки R и S. Начнем с точки R и переместим часть наших капиталов из рискованного актива 2 в рискованный актив 1. При этом наблюдается не только повышение средней ставки доходности, но и снижение стандартного отклонения. Оно снижается до тех пор, пока мы не получим портфель, который на 36% состоит из инвестиций в рискованный актив 1 и на 64% — в рискованный актив 2⁶.

Эта точка характеризует портфель с минимальной дисперсией (minimum-variance portfolio), состоящий из рискованного актива 1 и рискованного актива 2. Если в рискованный актив 1 инвестируется более 36% общего капитала, то стандартное отклонение портфеля увеличивается.

Контрольный вопрос

Каково среднее значение доходности и ее стандартное отклонение для портфеля, который на 60% состоит из рискованного актива 1 и на 40% — из рискованного актива 2, если их коэффициент корреляции равен 0,1? .

⁶ Формула, описывающая долю рискованного актива 1, которая минимизирует дисперсию портфеля, выглядит следующим образом: