Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

Из этого ряда уберем коэффициенты преступности для России в целом и общие коэффициенты по округам, оставив только коэффициенты для каждого конкретного субъекта РФ.

2) Ранжируем вариационный ряд от минимума к максимуму. Всего имеем N=83; минимум=361 (Чеченская Республика); максимум=6275 (Ямало-Ненецкий автономный округ).

Р.S. Исключим из анализа «выброс» - значение для ЯмалоНенецкого округа, оставив 82 значения.

Таблица. Ранжированный ряд коэффициентов преступности по субъектам РФ с частотами.

63

64

интервала, h – число групп, а число групп (h) по формуле Стерджесса: h=1+3,322×logN. Для нашего случая получим:

h=1+3,322×log(82)=7,36≈8; L = 27878−361 =303≈300. Примем число

интервалов равным 8, а длину интервала 300.

4) Построим вспомогательную рабочую таблицу:

65

i=1

σ= σ 2 =530,7.

Следует учитывать, что функция f(t) четная: f(-t)=f(t), поэтому знак минус при t игнорируем.

При производстве вычислений в программе Mathcad формулу для расчета первого значения следует записать так:

(2 ×π)

последующие значения.

Вычисления можно не производить, а взять соответствующие

табулирована. Так, для значения f(2,42) в таблице указано значение

66

нахождения теоретических частот нужно полученное число умножить на каждое конкретное значение эмпирической функции f(t).

5) Чтобы визуально оценить близость кривых, построим график.

5) Видно, что различия не велики, однако величину различия нужно измерить, чтобы сделать окончательный вывод. В этих целях применим критерий согласия Пирсона χ2 (кси квадрат):

67

наблюдаемая эмпирическая частота; fТi – теоретическая частота рассчитанная по нормальному распределению.

Если эмпирический ряд задан частостями, а не частотами, то

(относительные частоты).

Распределения Пирсона χ2 табулировано (имеется специальная таблица). Чтобы выполнить соответствующую проверку нужно выбрать уровень значимости α (вероятность ошибочного отклонения верной гипотезы). Например, если α=0,05, тогда вероятность принятия правильного решения составляет 0,95 (р=0,95). Обычно α берется равной 0,1 (вероятность правильного ответа 90%, а ошибки 10%); 0,05 (вероятность правильного ответа 95%, а шибки 5%); 0,01 (вероятность правильного ответа 99%, а ошибки 1%).

Теоретическое – полученное из распределения χ2 (chi-square distribution) зависит от числа степеней свободы. В литературе число степеней свободы предлагают вычислять по-разному. Например, в учебнике под редакцией профессора Р.А. Шмойловой отмечается:

68

существенности или несущественности расхождения между эмпирическим и теоретическим распределением. При P>0,5 считается, что эмпирическое и теоретическое распределение близки, при P [0,2; 0,5] совпадение между ними удовлетворительное, в остальных случаях недостаточное. Если число степеней свободы большое, то применяется соотношение 2χ2 −2γ −1 . Расхождение между эмпирическим и теоретическим значениями существенно при значениях этой разницы, заметно превосходящих 2».12

В учебнике под редакцией профессора Г.Л. Громыко отмечается: «Число степеней свободы v определяется, как число групп в ряду распределения k (в нашем примере мы их обозначили буквой h) минус число связей z: v=k-z. Под числом связей понимается число показателей эмпирического ряда, использованных при исчислении теоретических частот, то есть показателей, связывающих эмпирические и теоретические частоты

Поэтому при выравнивании по кривой нормального распределения число степеней свободы определяется как: v=k-3 (для нашего примера: v=h-3).

При выравнивании по кривой Пуассона v=k-2, так как при построении частот используются две ограничивающие связи:

сравнивается с табличным. При полном совпадении теоретического и эмпирического распределения χ2=0, в противном случае χ2>0. Если χрасч2 > χтабл2 , то при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы v гипотезу о несущественности различий

12 Теория статистики: учебник / Р.А. Шмойлова, В.Г. Минашкин, Н.А.Садовников, Е.Б.Шувалова; под ред. Р.А. Шмойловой. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2004. С. 273.

69

(случайности) расхождений отклоняем. В случае, если χрасч2 ≤ χтабл2 , то при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы v заключаем, что эмпирический ряд хорошо согласуется с гипотезой о предполагаемом распределении и с вероятностью (1- α) можно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно»13. Также указывается, что при использовании распределения χ2 нужно соблюдать определенные условия: 1) объем совокупности должен быть достаточно большим (не менее 50 наблюдений); 2) частота или численность каждой группы должна быть не менее 5 единиц; 3) эмпирическое распределение должно состоять из данных, полученных в результате случайного отбора, то есть они должны быть независимыми.

Вернемся к нашему примеру о проверке согласованности с нормальным распределением эмпирического распределения коэффициентов преступности по субъектам Российской Федерации. Отметим, что все необходимые условия для применения критерия χ2 здесь соблюдены: 1) число наблюдений 82 (больше 50); 2) численность групп больше 5 (L=300); 3) эмпирическое распределение состоит из данных, полученных в результате случайного отбора (регистрируемые преступления независимы друг от друга).

Найдем число степеней свободы: df=v=h-3=8-3=5. Примем уровень значимости равным 0,05 и обратимся к таблице значений χ2-критерия Пирсона при уровне значимости 0,10, 0,05, 0,01 и числе степеней свободы df.

Таблица значений χ2-критерия Пирсона при уровне

13 Теория статистики: учебник; под ред. проф. Г.Л. Громыко. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2006. С. 144-145.

70

На пересечении строки со значением 5 (число степеней свободы) и столбца 0,05 (уровень значимости) получим число 11,07. То есть получим χрасч2 ≤ χтабл2 (11,07<12,85). Следовательно, при заданном уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы v=5 заключаем, что эмпирический ряд хорошо согласуется с гипотезой о предполагаемом распределении, и с вероятностью (1-α=1- 0,05=0,95) можно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно. Вообще можно найти точный уровень доверительной вероятности с помощью встроенной в программу Excel функции ХИ2РАСП. Для этого в «Мастере функций» выбираем упомянутую функцию, в поле X вводим расчетное (эмпирическое) значение P(χэмпир2 ) =12 ,85 , а в поле «Степени свободы» – число 5. В итоге получаем точный уровень доверительной вероятности 0,0248. Выполняя обратную операцию, с помощью функции XИ2ОБР получаем по доверительной вероятности 0,0248 и числу степеней свободы 5 расчетное значение 12,85.

71

Наряду с критерием Пирсона имеются и другие подобные тесты (критерии):

1)критерий Колмогорова (разработан А.Н. Колмагоровым) (λ):

λ= DN = d × N , где D – максимальная разность между накопленными

частотами (F i−FTi ) эмпирического и теоретического распределений, d – максимальная разность между накопленными частостями (W i−WTi ) эмпирического и теоретического распределения; N – число наблюдений.

Применим данный критерий к нашему примеру:

означает, что с вероятностью 0,9228 эмпирическое распределение соответствует данному теоретическому распределению.

72