Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

числа наблюдений (n): чем больше n, тем выше точность.

Важно отметить, что функция φ(х) табулирована, и с учетом того, что φ(х) = φ(-х) значения таблицы составлены только для значений от нуля и выше.

Решим поставленную задачу:

φ(43,301) =0,5

То есть вероятность того, что 15000 амнистированных заключенных вернется обратно в колонии составляет 0,072. Отсюда найдем ожидаемое число заключенных из числа 15000 амнистированных, которые вероятно вернутся в колонии: θ=0,072∙15000=1080.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа Теорема. Если вероятность наступления события А в каждом

из n независимых испытаний постоянна и равна p (0<p<1), то

вероятность того, что при n повторениях испытания событие А проявится не менее чем k1 раз и не более k2 раз.

На практике применяют следующие расчетные формулы:

P(k1 , k2 ) ≈Ф(х2 ) −Ф(х1 ) , где Ф(х) – функция Лапласа (она также как и функция φ(х) табулирована и составлена для положительных чисел, поскольку Ф(х)=-Ф(-х)).

93

Задача. Пусть из мест лишения свободы освободилось 200 воров карманников, которые с вероятностью 85% продолжат преступную деятельность на свободе. Требуется рассчитать вероятность того, что число вновь осужденных воров карманников из данной группы составит не менее 120 и не более 150.

Отсюда n=200, k1=120, k2=150, p=0,85, q=0,15. Находим:

Знак минус игнорируем, и находим по таблице: Ф(9,901)=0,5.

Ф(3,961)=0,4999.

P(k1, k2 ) »Ф(-3,961) -Ф(-9,901) = 0,4999 +0,5 = 0,999 ..

РЕЗЮМЕ (основные определения и формулы)

наблюдений (испытаний, исходов); k – число «благоприятных» исходов, р – вероятность появления благоприятного исхода; q – вероятность не появления благоприятного исхода; Pk,n – вероятность того, что при n испытаниях благоприятное событие наступило ровно k раз.

Бимодальное распределение (bimodal distribution) – распределение, содержащее две моды (два блока (кластера) данных). На графике отчетливо видны две вершины.

Биноминальное распределение (binomial distribution) – это распределение вероятностей появления k-го числа событий в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна или равна числу p. Вероятность

94

содержащими k элементов, выбранных из n элементов заданного множества, называются различные множества, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначают:

Сnk или (kn ) . Число сочетаний из n элементов по k элементов

n!

определяется по формуле: Сnk = k!(n −k)! .

Блочная диаграмма (box-and-whisker diagram) – используется для наглядного представления пяти базовых показателей (fivenumber summary) в одномерном наборе данных: 1) минимальное значение переменной по ранжированному ряду; 2) максимальное значение переменной по ранжированному ряду; 3) значение первого квартиля – значение 25%-го числа от начала ранжированного ряда; 4) значение третьего квартиля – значение 75%-го числа от начала ранжированного ряда; 5) значение медианы, позволяющих диагностировать вид распределения.

Бьенамэ-Чебышева правило (Bienayme-Chebyshev rule) гласит, что для любого набора эмпирических данных вне зависимости от закона их распределения доля (или процент) наблюдений, лежащих на расстоянии, не превышающем k среднеквадратических

Распределение Вейбулла (Weibull distribution) – это распределение вероятностей случайной величины Х, плотность вероятности которой вычисляется по формуле:

βα

β>0, 0≤x≤∞.

95

Выброс (outliner) – значения в наборе данных резко отличающиеся от остальных, например, трехзначное число среди двузначных и т.п. Выделяют ошибочные и корректные выбросы. Ошибочные – исправляют, а корректные оставляют или удаляют, объясняя при этом причину удаления.

Гипергеометрическое распределение (hipergeometric distribution) имеет место в том случае, если вероятность появления

случайной величины X вычисляется по формуле: Р(X = k) = CMk ×CNn−−kM ,

СNn

где P(X=k) – вероятность наступления события k, k – число интересующих событий в выборке размером n; M – число интересующих событий в ГС объемом N.

Гистограмма (histogram) – столбиковая диаграмма, составленная на основе частот, а не просто данных. Отражает, насколько часто конкретные значения встречаются в наборе данных. По горизонтали в порядке возрастания располагаются данные исследуемого ряда, а по вертикали – частоты их встречаемости.

Дискретное распределение (discrete distribution) – распределение дискретных переменных (discrete variables), где каждому дискретному значению из множества X поставлено в соответствие значение вероятности наступления – P(X).

Дисперсия дискретной случайной величины X (variance) – это среднее взвешенное по вероятности квадратов разностей между всеми элементами множества X и математическим ожиданием,

N

вычисляемое по формуле: σ X 2 = å(xi - μX )2 × pi .

i=1

Ковариация (covariance) между двумя дискретными случайными величинами X и Y показывает ненормированную силу связи и её направление между ними (если ковариацию поделить на произведение стандартных отклонений по переменным X и Y, то ковариация будет нормированной и называется коэффициентом

96

корреляции – более удобная мера силы связи между переменными1718). Ковариация для дискретных переменных вычисляется по формуле:

наблюдаемая эмпирическая частота; fТi – теоретическая частота рассчитанная по нормальному распределению.

Если эмпирический ряд задан частостями, а не частотами, то

(относительные частоты).

Критерий Колмогорова (разработан А.Н. Колмагоровым) (λ):

λ = DN = d × N , где D – максимальная разность между накопленными

частотами (F i−FTi ) эмпирического и теоретического распределений, d – максимальная разность между накопленными частостями (W i−WTi ) эмпирического и теоретического распределения; N – число наблюдений.

Критерий Романовского (автор – В.И. Романовский) (Кр):

Кр = χ22−vv , где v – число степеней свободы.

Логарифмирование – замена исходных данных (только положительных чисел) их логарифмами, что позволяет: 1)

17

18 Ковариация является плохой мерой связи потому, что зависит от единиц, в которых измеряются переменные х и y, а коэффициент корреляции величина безразмерная.

97

увеличить (растянуть) малые значения; 2) уменьшить (сжать) большие значения; 3) преобразовать скошенные распределения в симметричные, поскольку горизонтальная ось (ось абсцисс) равномерно растягивается около нуля. Например, логарифм числа 0,0004=-3,3979; log(15000)=4,176. Отсюда и частоты, откладываемые по ординате, располагаются более кучно и равномерно. В случае, если вычисляется натуральный логарифм (основание число e=2,71…), то его перевод в десятичный осуществляется путем деления полученного числа на 2,302585, например, ln(15000)=9,6158. Разделив 9,6158 на 2,302585, получим 4,176. Соответственно и наоборот, если умножить 4,176 на 2,302585, то получим 9,615.

Логнормальное распределение (log-normal distribution) – логарифмически нормальное распределение (логнормальное распределение) – это распределение, в котором нормально распределено не само значение переменной (случайной величины) Х, а её логарифм: log X.

Математическим ожиданием (expected value) дискретной случайной величины Х является её среднее взвешенное по вероятности значение (weighted value), вычисляемое по формуле:

значения случайной величины X, xi – конкретные значения дискретной величины. Для непрерывной случайной величины X

это будет то же самое только в интегральной форме (дискретную вероятность мы заменим плотностью вероятности):

∞

μX = E(X ) = òхf (X )dX .

−∞

Непрерывное распределение (continuous distribution) – это распределение непрерывной случайной величины X, где каждому непрерывному значению из множества X поставлено в соответствие значение плотности вероятности наступления – f(X) – плотность непрерывного распределения вероятностей (continuous probability density function). По сути, в данном случае мы от дискретных сумм переходим к непрерывным интегралам, от столбчатых диаграмм к

98

справа (34,13%), далее в пределах вторых сигм по 13,59% (в сумме 27,18%) и в пределах третьих по 2,14% (4,28%).

Преобразование (transformation) – замена исходных данных для упрощения вычислений, например, сдвиг запятой или логарифмирование.

Распределение Паскаля (отрицательное биноминальное распределение) (Pascal distribution). Здесь определяется вероятность числа неудач в последовательности испытаний Бернулли. Случайная величина Х имеет отрицательное биноминальное распределение с параметрами распределения r и p, где r – число успехов, а p – вероятность успеха. Соответственно, вероятность неудач: q=1-p, а число неудач, имевших место до наступления успеха (r), составляет k. Формула для распределения Паскаля:

Р(х = k) = Crk+k −1 × pr ×(1- p)k .

Распределение Пуассона (Poisson distribution) иногда называемое также законом редких событий. По сути, являет собой распределение дискретной случайной величины, когда она принимает одно из возможных значений от нуля до n с

вероятностью: Р( X ) = λx ×e−λ , где х=0, 1, 2…n; λ=μ=D(x)=n∙ p. Лямбда

x!

(λ) – это параметр распределения Пуассона, характеризующий скорость появления событий в n испытаниях.

наблюдений нормально распределенного набора данных с математическим ожиданием μ.

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) дискретной случайной величины X вычисляется по формуле:

σ X = σ 2 .

100

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ:

Асимметричное распределение (asymmetric distribution), бимодальное распределение (bimodal distribution), биноминальное распределение (binomial distribution), блочная диаграмма (box-and- whisker diagram), распределение Бернулли (Bernoulli distribution), Бьенамэ-Чебышева правило (Bienayme-Chebyshev rule), гамма

гистограмма (histogram), гипергеометрическое (hipergeometric distribution), распределение Гомперца (Gompertz distribution), дискретное распределение (discrete distribution), квартили (quartiles), ковариация (covariance), логарифм (logarithm), логнормальное распределение (log-normal distribution), непрерывное распределение (continuous distribution), нормальное распределение (normal distribution), распределение χ2 (chi-square distribution), преобразование (transformation), распределение Паскаля (Pascal distribution), перцентили (persentile), распределение Пуассона (Poisson distribution), равномерное распределение (rectangular distribution), симметричное распределение (symmetrical distribution), распределение Стьюдента (Student׳s t-distribution), числовая ось (number line), экспоненциальное распределение (exponential distribution).

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ Задача №1.

Дано: распределение деяний на плоскости юридической ответственности с математическим ожиданием m=0 и стандартным отклонением σ=3.

Получить формулу нормального закона распределения для данного распределения деяний на плоскости юридической ответственности и построить по ней график распределения.

101

Ответ: 1. Получаем формулу для распределения деяний на плоскости, подставляя в известную формулу закона нормального распределения заданные параметры распределения:

2. Строим таблицу значений, задав область определения функции от -10 до 10.

3. По таблице строим график.

102