3.4 Непрерывные случайные величины

Будем рассматривать пространство элементарных событий как совокупность всех точек числовой оси. Случайная величина X называется непрерывно распределенной (или непрерывной), если ее функция распределения является непрерывной. Для непрерывной случайной величины примем сокращение НСВ.

Примеры. X – время безотказной работы телевизора (см. пример 1.3). X – рост взрослого человека.

Пусть X – НСВ. Найдем вероятность того, что в результате испытаний случайная величина X примет значение a  R. Докажем, что P(X = a)=0.

Так как , то.

Следовательно

=.

Заметим, что в случае ДСВ вероятность P(X = a) не всегда равна нулю.

Плотность распределения вероятности НВС.

Ранее говорилось, что функция распределения задает закон распределения случайной величины. Для НСВ удобнее закон распределения задавать при помощи плотности распределения вероятности. Плотностью распределения вероятности НСВ Х называется предел (если он существует)

.

Таким образом, плотность распределения является первообразной для функции распределения.

Свойства плотности вероятности.

1. Плотность вероятности является неотрицательной функцией.

Действительно, производная неубывающей функции неотрицательна.

2. . Это следует из того, что плотность распределения является первообразной для функции распределения.

3. . Это следует из формулы Ньютона-Лейбница:

4. . Это свойство называется свойством нормировки.

Действительно,.

Пример 3.4 Случайная величина Х называется равномерно распределенной на отрезке [a, b], если ее плотность распределения имеет вид

В дальнейшем равномерное распределение будем обозначать R(a, b).

Рисунок 3.3

График плотности и функции распределения приведены на следующих рисунке 3.2.

Пример 3.5 Экспоненциальное (или показательное) распределение имеет плотность распределения вида

В дальнейшем показательное распределение будем обозначать E().

Из практики известно, что время безотказной работы телевизора распределено по показательному закону. Смысл параметра  в том, что число 1/ равно среднему времени безотказной работы телевизора.

.

Рисунок 3.4

3.3 Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики ДСВ. Пусть дана ДСВ X своим законом распределения x_i  p_i. Математическим ожиданием ДВС X называется число . М.о. – сокращение словосочетания “математическое ожидание”.

Смысл математического ожидания заключается в следующем: это вероятностное среднее значение случайной величины.

Дисперсией ДСВ X называется математическое ожидание квадрата отклонения ДСВ от ее математического ожидания:

Смысл дисперсии в том, что она является мерой рассеяния значений случайной величины от математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс значений от математического ожидания.

Сренеквадратическим отклонением случайной величины Х называется число . С.к.о. – сокращение словосочетания “Сренеквадратическое отклонение”.

Эта величина более точно характеризует степень рассеяния значений случайной величины от математического ожидания, чем дисперсия. Обоснуйте почему?

Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Пусть имеется НСВ X с плотностью распределения f(x).

Математическим ожиданием НСВ X называется число .

Дисперсией НСВ X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Сренеквадратическим отклонением случайной величины Х называется число .

Смыслы м.о., дисперсии, с.к.о. для НСВ те же, что и для ДСВ.

Лекция 4

4.1 Действия над случайными величинами

1. Сумма (разность) случайных величин. Пусть Х, Y – случайные величины с функциями распределения F_x(x) и F_y(y) соответственно. Суммой Z = X ± Y называется с.в. Z с функцией распределения F_z(z)=P(X±Y<z).

2. Произведением с.л. Х, Y называется с.в. Z= X Y с функцией распределения F_z(z)=P(XY<z).

3. Произведением числа С на с.в. Х называется с.в. Z = СХ с функцией распределения F_z(z) = P(СХ<z).

4.2 Независимые случайные величины. Пусть Х, Y – случайные величины с функциями распределения F_x(x) и F_y(y) соответственно. Функцией совместного распределения двух с.в. Х, Y называется функция от двух переменных

.

Здесь под {X<x, Y<y} понимается произведение событий {X<x} и {Y<y}.

Плотностью совместного распределения непрерывных с.в. Х, Y называется функция

.

С.в Х, Y называются независимыми, если

. (4.1)

Из этого равенства следует, что . По определению условной вероятности

.

Смысл этого равенства состоит в том, что независимость с.в. Х, Y означает, что закон распределения одной из них не изменяется от того, какое значение приняла другая в результате проведения опыта.

Если с.в. Х, Y – НСВ с плотностями соответственно, то их независимость означает

(4.2)

Для ДСВ Х, Y их независимость означает

(4.3)

4.3 Свойства математического ожидания

Доказательства свойств проведем для ДСВ.

1. M[C]=C, где С=const. Действительно, P(X=C)=1. M[C]=C P(X=C)=C.

2. M[CX]=C×M[X], С – константа.

Закон распределения с.в. СХ имеет вид: С x_i ® р_i . Тогда

.

3. M[X+Y]=M[X]+M[Y]. В частности, M[X+a]=M[X]+a, a=const.

Обозначим .Тогда

=

В предпоследнем равенстве воспользовались свойством .

4. M[X]×M[Y] = M[X]×M[Y], если с.в. X,Y независимы.

Поскольку X,Y независимы, то из (4.3) следует . Тогда

.

5. Пусть с.в. Y является функцией j(X) от с.в. X. Тогда для верны формулы

для ДСВ,

для НСВ.

Действительно, закон распределения с.в. Y имеет вид . Все равные значениязаменяются одним, а соответствующие вероятности складываются. Тогда по определению м.о..

Пример. для ДСВ идля НСВ.