- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •1.2 События и действия (операции) над ними.
- •1.3 Классическое определение вероятности
- •1.4. Свойства вероятностей
- •1.5. Формула сложения вероятностей
- •Эта формула называется формулой сложения вероятностей для несовместных событий и читается так: вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.
- •1.6. Статистическое и геометрическое определения вероятности
- •Геометрическое определение вероятности.Вероятностью событияА называется.
- •1.7. Понятие об аксиоматическом определении вероятности.
- •2.1 Условная вероятность
- •2.2 Формула умножения вероятностей.
- •2.3 Формула полной вероятности
- •2.4 Формула Байеса
- •2.5 Схема и формула Бернулли
- •2.5 Приближенные формулы в схеме Бернулли
- •Лекция 3
- •3.1 Случайная величина
- •3.2 Дискретные случайные величины
- •3.4 Непрерывные случайные величины
- •Свойства плотности вероятности.
- •Смысл дисперсии в том, что она является мерой рассеяния значений случайной величины от математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс значений от математического ожидания.
- •4.4 Свойства дисперсии
- •4.5 Другие числовые характеристики
- •4.6 Нормальное распределение (распределение Гаусса)
- •Лекция 5
- •5.1 Числовые характеристики некоторых распределений
- •Равномерное распределение.
- •Непрерывно распределенные двумерные случайные величины
- •6.3 Корреляционный момент, коэффициент корреляции
- •6.4 Представление о законе больших чисел
- •6.5 Представление о центральной предельной теореме
- •Лекция 7
- •Рассмотрим три закона распределения, которые часто используются в теории вероятностей.
- •1. Распределение (читается “хи в квадрате”). ПустьÎn(0, 1) – независимые нормально распределенные с.В. С.В. Называетсяраспределенной по закону со степенью свободыk.
- •2. Распределение Стьюдента т(k). С.В. , гдеU în(0, 1), называется распределенной по закону Стьюдента со степенью свободы k.
- •3. С.В. , гдеk1, k2 – натуральные числа, называется распределенной по закону Фишера со степенями свободы k1, k2.
- •7.4.1 Доверительный интервал для м.О. Нормально распределенной с.В.
- •7.4.2 Доверительный интервал для дисперсии нормально распределенной г.С.
- •8.1 Предварительная обработка реализации выборки
- •F*(X) – статистическая функция распределенияр(X) – плотность распределения
- •8.2 Основные понятия проверки статистических гипотез
- •Лекция 9. Элементы регрессионного анализа
- •9.1 Парный линейный регрессионный анализ.
- •9.2 Парный обобщенный линейный регрессионный анализ
Институт Открытого Образования |
Теория вероятностей и математическая статистика
Конспект лекций
Составитель: Михайлов А.Б.
Шахты 2008
Лекция 1
1.1. Пространство элементарных событий
При построении вероятностной модели в теории вероятностей всегда подразумевается, что рассматривается некоторый опыт. Опыт понимается в широком смысле: опыт, который поставил сам человек, опыт в смысле наблюдения над каким-то природным или социальным явлением и т.п. От опыта требуется следующее условие: он в принципе может быть повторен многократно примерно при одинаковых условиях (при выполнении некоторого комплекса условий проведения опыта).
Пример 1.1. Опыт К1 – игральный кубик бросается один раз. Этот опыт можно повторить многократно, при этом кубик можно бросать на одну и ту же поверхность, примерно на одинаковую высоту и т.д.
Пример 1.2. Опыт ЧК – подсчет числа обращений клиентов в сервисный центр по ремонту бытовой техники фирмы SONY. Комплекс условий предполагает, что подсчет производится за определенный промежуток времени (например за один месяц), рассматривается конкретный сервисный центр (например, головной сервисный центр в г. Ростове-на-Дону) и социально-экономическая ситуация стабильна.
Пример 1.3. Опыт ВБР – наблюдение над временем безотказной работы телевизора (время безотказной работы – это время первого отказа при беспрерывной работе аппаратуры). Комплекс условий проведения опыта и многократность здесь состоит в том, что опыт производится с несколькими однотипными телевизорами одновременно.
Под элементарным событием понимается в некотором смысле «элементарный» результат опыта. Элементарность результата понимается в том смысле, что его нельзя “составить” из других результатов опыта. Основное требование к элементарному событию состоит в том, чтобы в результате проведения опыта происходило одно и только одно элементарное событие.
В опыте К1 элементарным событием является, например, “выпало число 3”. Таким образом, в этом опыте имеются шесть элементарных событий: “выпало число k”, k =1, 2, …, 6. Для сокращения событие “выпало число k” обозначим числом k.
В опыте ЧК элементарным событием является “число обращений равно k”, где k = 0, 1, 2, … . Это элементарное событие обозначим неотрицательным целым числом k.
В опыте ВБР элементарным событием можно считать t, где t – любое неотрицательное действительное число.
В дальнейшем считается, что опыт зафиксирован и все рассмотрения производятся в рамках этого опыта.
Множество всех элементарных событий (опыта) называется пространством элементарных событий и оно обозначается буквой (омега).
В примере 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, в опыте ЧК = {0, 1, 2, 3, … }, в опыте ВБР = [0, +).
Если пространство элементарных событий является конечным или счетным, то пространство называется дискретным.
Пространства элементарных событий из примеров 1 и 2 являются дискретными, пространство из примера 3 не является дискретным.
1.2 События и действия (операции) над ними.
Событиемявляется подмножество пространства элементарных событий. При этом, еслидискретное, то любое его подмножество является событием. Еслине является дискретным, то не всякое подмножество является событием. В этом случае вводится понятие алгебры событий, которые подчиняются некоторым определенным свойствам. События обозначаются большими латинскими буквами с индексами или без них. Например, в опыте К1 событиеА“выпало четное число” равно {2, 4, 6}.
Определение. Говорят, что произошло событие А, если результате опыта произошло элементарное событие, входящее в А.
Так как само множество и пустое множество , то они являются событиями. Событие называется достоверным, если оно происходит обязательно. Событие называется невозможным, оно не произойдет никогда, так как не содержит ни одного элементарного события. Если событие А отлично от и , то невозможно до опыта наверняка предугадать, произойдет оно или нет. Поэтому события в теории вероятностей называются случайными.
Суммой двух событий А и В называется событие, которое происходит в том и только в том случае, когда происходит хотя бы одно из событий А, В. Сумма обозначается А + В. Таким образом, А + В = А В (объединение множеств А и В)
Произведением двух событийАиВназывается событие, которое происходит в том и только в том случае, когда происходит и событиеАи событиеВ. Произведение обозначаетсяАВ. Таким образом,АВ=АВ (пересечение множествАиВ).
Разностью между событиями А и В называется событие, которое происходит в том и только в том случае, когда происходит событие А, но не происходит событие В. Разность обозначается А–В. Таким образом, А–В = А \ В (разность между множествами А и В).
Событие – А называется противоположным событием событию А и обозначается .
Очевидно, А происходит в том и только в том случае, когда противоположное ему событие не происходит.
События А и В называются несовместными, если они не могут произойти вместе. Это значит, что АВ = .
Говорят, что из события А следует событие В (или событие А влечет событие В), если из того, что событие А произошло следует что и событие В произошло. Этот факт обозначается А В или А В.
Рассмотрим опыт К1. Пусть А – “выпало четное число”, В – “выпало простое число”. А = {2, 4, 6}, В = {2, 3, 5}. А + В = {2, 3, 4, 5, 6}, АВ = {2}, А–В = {4, 6},
= {1, 3, 5}. События А и несовместны.
Замечание. Операции сложения, умножения событий, понятие несовместности можно определить для трех, четырех и т.д. событий.
Свойства операций над событиями.
1) А+В = В+А |
2) АВ=ВА |
3) А+А = А |
4) АА=А |
5) А+ = |
6) А = А |
7) А+ = А |
8) А = |
9) (А+В)С=АС+ВС |
10) АВ+С=(А+С)(В+С) |
11) |
12) |
13) A += |
14) A= |
Свойства 11 и 12 называются правилами де Моргана.