F*(X) – статистическая функция распределенияр(X) – плотность распределения

F(x) – функция распределения

Рисунок 8.7 Рисунок 8.2

Вычислим высоты прямоугольников гистограммы: 0.1/2=0.05, 0.32/2=0.16, 0.1,0.12, 0.07. На рисунке 8.2 приведены гистограмма относительной частоты и приближенный график плотности.

8.2 Основные понятия проверки статистических гипотез

Во многих практических задачах реализации выборки применяются для проверки гипотез (предположений) о свойствах закона распределения генеральной совокупности.

Определение. Статистической гипотезой называется предположение о параметрах, свойствах закона распределения генеральной совокупности.

Пример 8.2 “Математическое ожидание г.с., распределенной по показательному закону, равно 10”, ”Г.с. имеет нормальный закон распределения” – статистические гипотезы. “Завтра будет снег”, “Существуют внеземные цивилизации” – не являются статистическими гипотезами.

В дальнейшем под гипотезой будем понимать исключительно статистические гипотезы. Гипотеза называется простой, если она однозначно определяет закон распределения г.с. В противном случае гипотеза называется сложной. В приведенных выше гипотезах первая – простая, потому, что гипотеза определяет точно один показательный закон распределения с параметром l = 1/10. Вторая гипотеза является сложной, потому что она определяет бесконечно много нормальных законов распределения с разными математическими ожиданиями и дисперсиями.

Параметрическими гипотезами называются гипотезы о параметрах распределения г.с. Например, первая из вышеприведенных гипотез является параметрической.

Нулевой (или основной) гипотезой H₀ называется проверяемая гипотеза. Альтернативной (или конкурирующей) гипотезой называется, гипотеза, которая принимается в случае, когда основная гипотеза отвергается. Альтернативных гипотез у одной и той же основной гипотезы может быть несколько. Например, если принять за основную гипотезу “Математическое ожидание г.с. равно 10”, то в качестве альтернативной могут быть: “Математическое ожидание г.с. меньше 10”, ”Математическое ожидание г.с. равно 9”.

При проверке гипотез применяется некоторое правило. Критерием K проверки гипотез называется правило, по которому принимается или отвергается гипотеза H₀. Обычно в критерии участвует некоторая статистика Z=Z(X₁, …, X_n), по значению которой решается вопрос, принять или отвергнуть основную гипотезу. Z называется статистикой критерия.

Общая схема критерия K выглядит следующим образом. Задается некоторая малая вероятность a (обычно a = 0.1, 0.05, 0.01), называемая уровнем значимости критерия. В основе критерия лежит принцип теории вероятностей: маловероятные события (события с вероятностью a ) считать практически невозможными. Из области значений V статистики Z критерия выделяется подмножество V_k, такое, что условная вероятность события ZÎ V_k при условии, что гипотеза H₀ верна, мала (равна a ): P (ZÎ V _k / H₀ ) = a. Множество V_k называется критической областью. Пусть теперь по реализации выборки вычислено значение z_в статистики критерия Z. Если z_вÎ V_k , то это означает, что произошло маловероятное событие. Тогда по приведенному выше принципу скорей всего неверна гипотеза H₀ и она должна быть отвергнута. Если z_вÎ V \ V_k , то гипотеза H₀ может быть принята. Множество V \ V_k называется область принятия основной гипотезы.

Рассмотрим критерий проверки параметрической гипотезы H₀ :q =q ₀ при альтернативной гипотезеH₁:q <q₀. Пустьp (z/ H₀ ) – плотность условного закона распределения статистикиZ. За область принятия основной гипотезы принимается такой промежуток [z₁, +¥), чтоP (Z ³z₁/H₀ ) = 1–a,P (Z < z₁/H₀ ) =a (рис. 8.3).

Из второго равенства видно, что z₁= z_a– квантиль распределения статистикиZпорядкаa.

Рисунок 8.3

Таким образом, критической областью является промежуток (–¥, z_a), а областью принятия основной гипотезы – промежуток

[z_a , +¥).

Критерий состоит в следующем. По реализации выборки из г.с. вычисляем значение z_в статистики критерия Z. Вычисляются (по таблице) квантиль z_a. Если z_в ³z_a, то основная гипотеза q =q ₀ принимается. Если z_в< z_a , то основная гипотеза q =q₀ отвергается (принимается альтернативная гипотеза q <q₀).

Пример 8.3 Расход бензина автомобиля составляет m=10 л. на 100 км. После модернизации двигателя проведено испытания с 25 автомобилями и получено выборочное среднее расхода бензина л. на 100 км. Считая расход бензинаX нормально распределенной случайной величиной c дисперсией , проверить основную гипотезуH₀ : m=10 на уровне значимости a = 0.05 при альтернативной гипотезе H₁ : m <10.

Из условий задачи следует, что если гипотеза m=10 верна, то г.с. X распределена нормально с математическим ожиданием m=10 и дисперсией . Тогда известно [ ], что случайная величина имеет стандартное нормальное распределение. В качестве статистики критерия возьмем эту случайную величину. Квантиль распределения случайной величины U порядка a = 0.05 найдем по таблице N [ ] u_0.05 = – u_0.95 = –1.645.

Вычислим выборочное значение критерия U: .

Так как u_в= –1.75< u_a= –1.645, то u_в попало в критическую область, поэтому основная гипотеза m=10 отвергается и принимается альтернативная гипотеза m <10. Таким образом, можно сделать практический вывод: с вероятностью 0.95 можно утверждать, что модернизация двигателя действительно привела к уменьшению расхода бензина.

Как видно, основная или альтернативная гипотезы принимаются или отвергаются с некоторой вероятностью. Это означает, что возможны ошибки при принятии того или иного решения. В теории проверки статистических гипотез различают ошибки первого и второго рода.

Ошибкой первого рода называется вероятность отвергнуть правильную основную гипотезу, т.е. P (ZÎV_k / H₀ ) = a. Таким образом, уровень значимости совпадает с ошибкой первого рода.

Ошибкой второго рода называется вероятность принять ошибочную основную гипотезу, т.е. P (ZÎV\V_k / H₁ ) =b.

8.3 Критерий согласия Х ²

Критерием согласия называют критерии проверки статистических гипотез о виде закона распределения г.с. Примером статистической гипотезы о виде закона распределения г.с. X является : “Г.с. X имеет нормальный (равномерный и т.д.) закон распределения”. Такая гипотеза принимается за основную гипотезу H₀.

Рассмотрим подробно эффективный критерий согласия Пирсона Х² (критерий хи-в-квадрате).

Пусть проверяется гипотеза “Г.с. X имеет гипотетическую функцию распределения ”, где– неизвестные параметры распределения, вид функцииF известен, l ³1. Рассмотрим случай непрерывного распределения.

На первом этапе по реализации выборки объема n строится интервальный статистический ряд с k = [1+3.32lg n] +1 частичными промежутками (см. п. 8.1). Пусть получены равные промежутки с границами в точках

. Рассмотрим промежутки

. (8.2)

Пусть по выборке найдены точечные оценки неизвестных параметров (методом максимального правдоподобия). Тогда при помощи гипотетической функции распределения можно найти вероятности

(8.3)

.

Известно, что при достаточно больших значениях объема выборки n случайная величина

(8.4)

имеет распределение близкое к распределению – хи-в-квадрате со степенью свободы s = k– l –1, где k – число интервалов, l – число неизвестных параметров, замененных их точечными оценками, m_i – частота i-го интервала. Если основная гипотеза верна, то величина np_i будет близка к частоте n_i, то есть сумма будет мала. В качестве статистики критерия выбирается случайная величина. Тогда при заданном уровне значимостиa основная гипотеза отвергается, когда . Это равенство эквивалентно. А это означает, что– квантиль распределенияхи-в-квадрате порядка 1–a со степенью свободы s = k– l – 1.

Таким образом, если выборочное значение статистикиокажется меньше квантили, то основная гипотеза принимается.

Сформулируем кратко критерий проверки гипотезы о виде закона распределения г.с.

1) По данной реализации выборки построить интервальный статистический ряд, найти промежутки (8.2).

2) Вычислить по реализации выборки точечные оценки неизвестных параметров .

3) Вычислить величины np_i (i = 1, …, k) по формулам (8.3). Проверить выполнение условий np_i ³ 5. Если для некоторых интервалов это условие нарушается, то этот интервал объединяется с соседним (при этом складываются вероятности p_i и частоты этих интервалов). Эта процедура продолжается до тех пор пока для всех интервалов не будет выполняться условие np_i ³ 5.

4) По формуле (8.4) вычислить выборочное значениестатистики.

5) По таблице найти квантиль распределенияхи-в-квадрате порядка 1–a со степенью свободы s = k– l – 1, где k – число интервалов после пересчета в пункте 3, l – число неизвестных параметров, замененных их точечными оценками в пункте 2.

6) Если <, то основная гипотеза принимается на уровне значимостиa ; если ³, то основная гипотеза отвергается.