- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •1.2 События и действия (операции) над ними.
- •1.3 Классическое определение вероятности
- •1.4. Свойства вероятностей
- •1.5. Формула сложения вероятностей
- •Эта формула называется формулой сложения вероятностей для несовместных событий и читается так: вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.
- •1.6. Статистическое и геометрическое определения вероятности
- •Геометрическое определение вероятности.Вероятностью событияА называется.
- •1.7. Понятие об аксиоматическом определении вероятности.
- •2.1 Условная вероятность
- •2.2 Формула умножения вероятностей.
- •2.3 Формула полной вероятности
- •2.4 Формула Байеса
- •2.5 Схема и формула Бернулли
- •2.5 Приближенные формулы в схеме Бернулли
- •Лекция 3
- •3.1 Случайная величина
- •3.2 Дискретные случайные величины
- •3.4 Непрерывные случайные величины
- •Свойства плотности вероятности.
- •Смысл дисперсии в том, что она является мерой рассеяния значений случайной величины от математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс значений от математического ожидания.
- •4.4 Свойства дисперсии
- •4.5 Другие числовые характеристики
- •4.6 Нормальное распределение (распределение Гаусса)
- •Лекция 5
- •5.1 Числовые характеристики некоторых распределений
- •Равномерное распределение.
- •Непрерывно распределенные двумерные случайные величины
- •6.3 Корреляционный момент, коэффициент корреляции
- •6.4 Представление о законе больших чисел
- •6.5 Представление о центральной предельной теореме
- •Лекция 7
- •Рассмотрим три закона распределения, которые часто используются в теории вероятностей.
- •1. Распределение (читается “хи в квадрате”). ПустьÎn(0, 1) – независимые нормально распределенные с.В. С.В. Называетсяраспределенной по закону со степенью свободыk.
- •2. Распределение Стьюдента т(k). С.В. , гдеU în(0, 1), называется распределенной по закону Стьюдента со степенью свободы k.
- •3. С.В. , гдеk1, k2 – натуральные числа, называется распределенной по закону Фишера со степенями свободы k1, k2.
- •7.4.1 Доверительный интервал для м.О. Нормально распределенной с.В.
- •7.4.2 Доверительный интервал для дисперсии нормально распределенной г.С.
- •8.1 Предварительная обработка реализации выборки
- •F*(X) – статистическая функция распределенияр(X) – плотность распределения
- •8.2 Основные понятия проверки статистических гипотез
- •Лекция 9. Элементы регрессионного анализа
- •9.1 Парный линейный регрессионный анализ.
- •9.2 Парный обобщенный линейный регрессионный анализ
Геометрическое определение вероятности.Вероятностью событияА называется.
Рисунок
1.1
Пример. – квадрат, ограниченный прямыми х = –1, х = 1, у = –1, у = 1, событие А – “выбор любой точки, лежащей в первой четверти координатной плоскости” (рис. 1.1). Тогда .
1.7. Понятие об аксиоматическом определении вероятности.
Пусть – произвольное непустое множество, элементы которого назовем элементарными событиями, – пространством элементарных событий, U – некоторое множество подмножеств пространства , удовлетворяющих следующим условиям.
U1. U.
U2. Если A U, то U.
U3. Если A1, A2, … – элементы множества U , то A1+ A2+… U.
Множество U подмножеств пространства , удовлетворяющих условиям U1, U2, U3 называется (сигма-алгеброй) событий. Событиями называются элементы U.
Из известных свойств операций над множествами можно вывести, что U, если A1, A2, … – элементы множества U , то A1A2 … U. В условии U3 рассматривается бесконечное (счетное) число событий. Отсюда легко вывести, что это условие верно и для конечного числа событий. Действительно, можно представить
A1+ A2 = A1+ A2+ +…+ + … .
Аксиоматическое определение вероятности.
Пусть – пространство элементарных событий, U – событий. Вероятностью называется числовая функция , удовлетворяющая следующим трем аксиомам.
А1. для любого событияA U.
А2. .
А3. Если события A1, A2, … из U попарно не пересекаются, то
P(A1 + A2 + …) = P(A1) + P(A2 ) + ….
Эта аксиома называется аксиомой - адитивности.
Т.о., свойства классической вероятности 1)–3) из п.1.4. при аксиоматическом введении вероятности просто постулируются в качестве аксиом А1–А3. Аксиома А3 верна и для конечного числа событий (см. формулу (1.2)), которая называется аксиомой адитивности. Нетрудно доказать свойства 3)–8) из п. 1.4, исходя из этих аксиом. Заметим, что теорема сложения вероятностей для несовместных событий при аксиоматическом подходе постулируется как аксиома - адитивности.
Определение. Вероятностным пространством называется тройка (,U, P).
В дальнейшем подразумевается, что все события и вероятности рассматриваются в рамках некоторого вероятностного пространства (,U, P).
При аксиоматическом подходе к понятию события и вероятности преодолеваются все недостатки классического, геометрического и статистического определений вероятности и аксиоматическое определение вероятности обобщает эти вероятности. Этот подход был введен выдающимся русским математиком А.Н. Колмогоровым в первой половине 20 века и является базовым понятием современной теории вероятностей.
Задача. В качестве рассмотрим произвольное конечное множество из n элементов 1, 2, …, n. U – множество всех подмножеств . Проверьте условия U1– U3 для множества U.
Вероятность определим по следующей схеме. Определим ,так, чтобы. Тогда для любого событияА определяем вероятность . Проверьте выполнение аксиом А1– А3 для множества Р.
Лекция 2