- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •1.2 События и действия (операции) над ними.
- •1.3 Классическое определение вероятности
- •1.4. Свойства вероятностей
- •1.5. Формула сложения вероятностей
- •Эта формула называется формулой сложения вероятностей для несовместных событий и читается так: вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.
- •1.6. Статистическое и геометрическое определения вероятности
- •Геометрическое определение вероятности.Вероятностью событияА называется.
- •1.7. Понятие об аксиоматическом определении вероятности.
- •2.1 Условная вероятность
- •2.2 Формула умножения вероятностей.
- •2.3 Формула полной вероятности
- •2.4 Формула Байеса
- •2.5 Схема и формула Бернулли
- •2.5 Приближенные формулы в схеме Бернулли
- •Лекция 3
- •3.1 Случайная величина
- •3.2 Дискретные случайные величины
- •3.4 Непрерывные случайные величины
- •Свойства плотности вероятности.
- •Смысл дисперсии в том, что она является мерой рассеяния значений случайной величины от математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс значений от математического ожидания.
- •4.4 Свойства дисперсии
- •4.5 Другие числовые характеристики
- •4.6 Нормальное распределение (распределение Гаусса)
- •Лекция 5
- •5.1 Числовые характеристики некоторых распределений
- •Равномерное распределение.
- •Непрерывно распределенные двумерные случайные величины
- •6.3 Корреляционный момент, коэффициент корреляции
- •6.4 Представление о законе больших чисел
- •6.5 Представление о центральной предельной теореме
- •Лекция 7
- •Рассмотрим три закона распределения, которые часто используются в теории вероятностей.
- •1. Распределение (читается “хи в квадрате”). ПустьÎn(0, 1) – независимые нормально распределенные с.В. С.В. Называетсяраспределенной по закону со степенью свободыk.
- •2. Распределение Стьюдента т(k). С.В. , гдеU în(0, 1), называется распределенной по закону Стьюдента со степенью свободы k.
- •3. С.В. , гдеk1, k2 – натуральные числа, называется распределенной по закону Фишера со степенями свободы k1, k2.
- •7.4.1 Доверительный интервал для м.О. Нормально распределенной с.В.
- •7.4.2 Доверительный интервал для дисперсии нормально распределенной г.С.
- •8.1 Предварительная обработка реализации выборки
- •F*(X) – статистическая функция распределенияр(X) – плотность распределения
- •8.2 Основные понятия проверки статистических гипотез
- •Лекция 9. Элементы регрессионного анализа
- •9.1 Парный линейный регрессионный анализ.
- •9.2 Парный обобщенный линейный регрессионный анализ
Лекция 3
3.1 Случайная величина
Пусть имеется вероятностное пространство .
Случайной величиной называется измеримая числовая функция . Измеримая числовая функция– это функция, удовлетворяющая следующему условию:множество, т.е. оно является событием.
В соответствии с определением случайной величины вводится числовая функция F(x), определенная для каждого действительного x и по определению равная вероятности наступления события: Эта функция называется функцией распределения случайной величины. В дальнейшем событиебудем обозначать сокращенно.
Из измеримости случайной величины следует, что большинство подмножеств элементарного пространства , задаваемые «простыми» равенствами и неравенствами, являются событиями. Так, множества вида ,,,являются событиями.
Говорят, что для случайной величины задан закон ее распределения, если известна такая функция, при помощи которой можно найти вероятность любого события, «порождаемого» этой случайной величиной. Функция распределения как раз задает закон распределения случайной величины.
Свойства функции распределения.
Пусть F(x) – функция распределения случайной величины
1) ;
2) ;
3) F(x) – неубывающая функция;
4) F(x) непрерывна слева;
5) .
Доказательство. Неравенства 1 следуют из того, что F(x) – вероятность. Событие , а, следовательно, свойства 2 следуют из равенствЕслиx < t, то . Следовательно, из свойства вероятности следует, что. Доказательство 4 опускаем. Докажем свойство 5.+=и событияинесовместны, значит=+. Откуда следует.
3.2 Дискретные случайные величины
Случайные величины в дальнейшем будем обозначать большими латинскими буквами: X, Y, Z, … .
Случайная величина называется дискретной, если в результате испытания она может принять значение из конечного либо счетного множества возможных числовых значений. Будем пользоваться сокращением ДСВ для обозначения дискретной случайной величины.
Закон распределения ДСВ Х можно задать в виде функции, ставящей в соответствие каждому значению xi ее вероятность pi = P(X = xi), причем .
Когда различных значений ДСВ конечно и равно n, то ее закон распределения задается в виде таблицы ():
-
x1
x2
…
xn
p1
p2
…
pn
Очевидно, должно выполняться равенство .
Построим функцию распределения для ДВС. По определению
.
График
функции распределения ДВС
Рисунок
3.2
Пример 3.1 Х – число очков, выпавшее при однократном вбрасывании игрального кубика. Закон распределения Х имеет вид
-
1
2
…
6
…
Это так называемое равномерное дискретное распределение.
Пример 3.2 Х – число успехов в схеме Бернулли. Пусть n – число испытаний, p – вероятность успеха, q=1–p. Тогда закон распределения случайной величины Х задается соответствием ,i=1, …, n. Студенту предлагается доказать, что . Этот закон называетсябиномиальным и будем в дальнейшем обозначать B(n,p).
Пример 3.3 Х – число обращений клиентов в сервисный центр по ремонту бытовой техники фирмы SONY (см. пример 1.2). Из практики следует, что закон распределения имеет вид ,i = 0, 1, … . Это распределение называется распределением Пуассона и будем в дальнейшем обозначать P(). Студенту предлагается доказать, что .