Spektorsky_diskretka
.pdf
4.1. Žá-®¢-÷ ¯à¨-樯¨ ª®¬¡÷- â®à¨ª¨. ‡ £ «ì-¥ ¢¨§- ç¥--ï ¢¨¡÷ન
4.1.2.‡ £ «ì-¥ ¢¨§- ç¥--ï ¢¨¡÷ન.
‚¨¡÷ન ¢¯®à浪®¢ -÷ â -¥¢¯®à浪®¢ -÷, § ¯®¢â®à¥--ﬨ â ¡¥§ ¯®¢â®à¥-ì
Ž§- ç¥--ï 4.1. ‚¨¡÷àª®î § ¬-®¦¨-¨ A = fa1; a2; : : : ; ang ¤®¢¦¨-®î
(®¡'õ¬®¬) k - §¨¢ îâì ¤®¢÷«ì-¨© - ¡÷à ¥«¥¬¥-â÷¢ aj1 ; aj2 ; : : : ; ajk , ¯à¨ç®¬ã ¥«¥¬¥-⨠¢¨¡÷ન ¢ § £ «ì-®¬ã ¢¨¯ ¤ªã ¬®¦ãâì ¯®¢â®àî¢ â¨áì.
Ÿªé® ¢á÷ ¥«¥¬¥-⨠¢¨¡÷ન ¯®¯ à-® à÷§-÷ (ajp =6 ajq ¯à¨ p =6 q), ¢¨¡чаªг - §¨¢ овм ¢¨¡чаª®о ¡¥§ ¯®¢в®а¥-м. Ÿªй® ¯®¢в®а¥--п ¤®§¢®«повмбп ( «¥ -¥ ¢¨¬ £ овмбп), ¢¨¡чаªг - §¨¢ овм ¢¨¡чаª®о § ¯®¢в®а¥--п¬¨.
Ÿªй® - ¢¨¡чажч § ¤ -® ¢ч¤-®и¥--п «ч-ч©-®£® ¯®ап¤ªг, ¢¨¡чаªг - - §¨¢ овм г¯®ап¤ª®¢ -®о ¢¨¡чаª®о, ¡® ஧¬чй¥--п¬. Ÿªй® ¢ч¤-®и¥--п ¯®ап¤ªг -¥ § ¤ -¥ (¯®а冷ª ¥«¥¬¥-вч¢ ¢¨¡чаª¨ -¥ ¢а е®¢гхвмбп), ¢¨¡чаªг - §¨¢ овм -¥¢¯®ап¤ª®¢ -®о ¢¨¡чаª®о, ¡® ª®¬¡ч- жчхо.
•®§¬÷é¥--ï ¡¥§ ¯®¢â®à¥-ì ¯à¨ n = k - §¨¢ îâì ¯¥à¥áâ ¢«¥--ï¬ ¬-®- ¦¨-¨ A.
Žáª÷«ìª¨ ¤«ï - «÷§ã ¢« á⨢®á⥩ ¢¨¡÷ப ¯à¨à®¤ ¥«¥¬¥-â÷¢ aj -¥ ¬ õ §- ç¥--ï, ¢¨¡÷àªã ¤®¢¦¨-®î k § ¬-®¦¨-¨ A ¯®âã¦-÷áâî n - §¨¢ -
îâì ¢¨¡÷àª®î § n § k.
•а¨ª« ¤ 4.4. •¥е © ¢ га-ч ¬чбвпвмбп 3 -㬥஢ -÷ ªã«÷ (ª1, ª2, ª3). •®âà÷¡-® ¯÷¤à å㢠â¨, áª÷«ìª®¬ ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦- ¢¨âï£â¨ 2 ªã«÷ § â -
ª¨å 㬮¢:
1. ‚¨вп£-гв ªг«п -¥ ¯®¢¥ав хвмбп ¤® га-¨; ¯®а冷ª ¢¨вп£г¢ --п -¥
¢а е®¢гхвмбп, в®¡в® ¢¨¡чаª¨ в¨¯г ªi, ªj â ªj, ªi ¢¢ ¦ îâì ®¤-÷õî ¢¨¡÷à- ª®î. Žç¥¢¨¤-®, ¬®¦«¨¢÷ â ª÷ ¢ à÷ -â¨:
ª1; ª2; ª1; ª3; ª2; ª3:
2. ‚¨вп£-гв ªг«п -¥ ¯®¢¥ав хвмбп ¤® га-¨; ¯®а冷ª ¢¨вп£г¢ --п ¢а -
е®¢гхвмбп, в®¡в® ¢¨¡чаª¨ в¨¯г ªi, ªj â |
ªj, ªi ¢¢ ¦ îâì à÷§-¨¬¨ ¢¨¡÷ઠ- |
|
¬¨. Žç¥¢¨¤-®, ¬®¦«¨¢÷ â ª÷ ¢ à÷ -â¨: |
|
|
ª1; ª2; |
ª1; ª3; |
ª2; ª3; |
ª2; ª1; |
ª3; ª1; |
ª3; ª2: |
3. ‚¨вп£-гв ªг«п ¯®¢¥ав хвмбп ¤® га-¨ ч ¬®¦¥ ¡гв¨ ¢¨вп£-гв §-®¢г; ¯®а冷ª ¢¨вп£г¢ --п -¥ ¢а е®¢гхвмбп. Žз¥¢¨¤-®, ¬®¦«¨¢ч в ªч ¢ ач -в¨:
ª1; ª2; ª1; ª3; ª2; ª3; ª1; ª1; ª2; ª2; ª3; ª3:
59
|
|
|
•®§¤÷« 4. …«¥¬¥-⨠ª®¬¡÷- â®à¨ª¨ |
|
|
4. ‚¨âï£-ãâ |
ªг«п ¯®¢¥ав хвмбп ¤® га-¨ ч ¬®¦¥ ¡гв¨ ¢¨вп£-гв §-®¢г; |
|
|
¯®а冷ª ¢¨вп£г¢ --п ¢а е®¢гхвмбп. Žз¥¢¨¤-®, ¬®¦«¨¢ч в ªч ¢ ач -в¨: |
||||
|
ª1; ª2; ª1; ª3; ª2; ª3; |
ª2; ª1; ª3; ª1; ª3; ª2: |
|
|
|
|
ª1; ª1; ª2; ª2; ª3; ª3: |
|
|
|
Žç¥¢¨¤-®, é® ç®â¨à¨ ஧£«ï-ãâ÷ á¨âã æ÷ù ¢÷¤¯®¢÷¤ îâì ¢¨¡÷ઠ¬ § 3 |
|||
§ |
2 § ¯®¢в®а¥--п¬¨ (ªг«ч ¯®¢¥ав овмбп ч ¬®¦гвм ¡гв¨ ¢¨вп£-гвч §-®¢г) |
|
||
â |
¡¥§ ¯®¢в®а¥-м (ªг«ч -¥ ¯®¢¥ав овмбп), ¢¯®ап¤ª®¢ -¨¬ (§ га ег¢ --п¬ |
|
||
¯®à浪ã) â -¥¢¯®à浪®¢ -¨¬ (¡¥§ ãà å㢠--ï ¯®à浪ã). |
|
|||
|
•®§¢'ï§ --ï ç®â¨àì®å ¯à®¡«¥¬ ¯à¨ª«. 4.4 ¢ § £ «ì-®¬ã ¢¨¯ ¤ªã (¢ |
|||
ãà-÷ n -г¬¥а®¢ -¨е ªг«м, ¢¨вп£гхвмбп k ªã«ì) §¢®¤¨âìáï ¤® ¯÷¤à åã-- |
||||
ªã § £ «ì-®ù ª÷«ìª®áâ÷ ஧¬÷é¥-ì â |
ª®¬¡÷- æ÷© § ¯®¢â®à¥--ﬨ â ¡¥§ |
|
||
¯®¢â®à¥-ì § n § |
k. |
|
|
|
4.2.•®§¬÷é¥--ï § ¯®¢â®à¥--ﬨ â ¡¥§ ¯®¢â®à¥-ì
“æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¯÷¤à åãõ¬® ª÷«ìª÷áâì ஧¬÷é¥-ì § ¯®¢â®à¥--ﬨ
â¡¥§ ¯®¢â®à¥-ì § n § k.
4.2.1. •®§¬÷é¥--ï ¡¥§ ¯®¢â®à¥-ì
Š÷«ìª÷áâì ஧¬÷é¥-ì ¡¥§ ¯®¢â®à¥-ì § n § |
k ¯®§- ç îâì ç¥à¥§ Pnk |
¡® |
||
Ank . Š÷«ìª÷áâì ¯¥à¥áâ ¢«¥-ì (¢¨¯ ¤®ª n = k) ¯®§- ç ⨬¥¬® ç¥à¥§ Pn. |
|
|||
k |
|
n! |
|
|
’¥®à¥¬ 4.1. Pn = n(n ¡ 1) ¢ ¢ ¢ (n ¡ k + 1) = |
|
. |
|
|
(n¡k)! |
|
|||
„®¢¥¤¥--ï. •¥å © A = fa1; a2; : : : ; ang. ”®à¬ã¢ --ï ஧¬÷é¥--ï ¡¥§ ¯®¢â®à¥--ï § n § k, ⮡⮠¢¯®à浪®¢ -®ù ¢¨¡÷ન ¯®¯ à-® à÷§-¨å ¥«¥-
¬¥-â÷¢ aj1 ; aj2 ; : : : ; ajk , ¬®¦- ஧¡¨â¨ - k ¯®á«÷¤®¢-¨å ¯÷¤¤÷© { ¢¨¡÷à ¥«¥¬¥-â aj1 , ¢¨¡÷à ¥«¥¬¥-â aj2 , . . . , ¢¨¡÷à ¥«¥¬¥-â ajk . •¥à訩 ¥«¥- ¬¥-â (aj1 ) ¬®¦¥¬® ¢¨¡à ⨠n ᯮᮡ ¬¨, ¤à㣨© (aj2 ) { n ¡ 1 ᯮᮡ ¬¨, ®áª÷«ìª¨¤®¡ãâªã. aj2 =6 aj1 ÷ â. ¤. ’¥¯¥à ⢥द¥--ï ⥮६¨ ¢¨¯«¨¢ õ § ¯à¨-樯ã
• á«÷¤®ª 4.1.1. Pn = n!.
60
4.3. Š®¬¡÷- æ÷ù § ¯®¢â®à¥--ﬨ â ¡¥§ ¯®¢â®à¥-ì
4.2.2. •®§¬÷é¥-- |
ï § ¯®¢â®à¥--ﬨ |
|
|||
Š÷«ìª÷áâì ஧¬÷é¥-ì § ¯®¢â®à¥--ﬨ § n § k |
¯®§- ç ⨬¥¬® ç¥à¥§ Pnk. |
||||
’¥®à¥¬ 4.2. Pnk = nk. |
|
|
|
e |
|
„®¢¥¤¥--ï. •¥åe |
© A = a1; a2; : : : ; an |
g |
. ”®à¬ã¢ --ï ஧¬÷é¥--ï § |
||
|
f |
|
|
|
|
¯®¢â®à¥--ﬨ § n § |
k, ⮡⮠¢¯®à浪®¢ -®ù ¢¨¡÷ન -¥ ®¡®¢'離®¢® à÷§- |
||||
-¨å ¥«¥¬¥-â÷¢ aj1 ; aj2 ; : : : ; ajk , ¬®¦- |
஧¡¨â¨ - |
k ¯®á«÷¤®¢-¨å ¯÷¤¤÷© { |
|||
¢¨¡÷à ¥«¥¬¥-â aj1 , ¢¨¡÷à ¥«¥¬¥-â |
aj2 , . . . , ¢¨¡÷à ¥«¥¬¥-â ajk . •¥à訩 |
||||
¥«¥¬¥-â (aj1 ) ¬®¦¥¬® ¢¨¡à ⨠n ᯮᮡ ¬¨, ¤à㣨© (aj2 ) { â ª®¦ n ᯮá®-
¡ ¬¨, ¢à 客ãîç¨ ¬®¦«¨¢¨© ¢¨¯ ¤®ª aj2 = aj1 ÷ â. ¤. ’¥¯¥à ⢥द¥--ï ⥮६¨ ¢¨¯«¨¢ õ § ¯à¨-樯㠤®¡ãâªã. 
4.3. Š®¬¡÷- æ÷ù § ¯®¢â®à¥--ﬨ â ¡¥§ ¯®¢â®à¥-ì
“ æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¯÷¤à åãõ¬® ª÷«ìª÷áâì ª®¬¡÷- æ÷© § ¯®¢â®à¥--ﬨ â ¡¥§ ¯®¢â®à¥-ì § n § k.
4.3.1. Š®¬¡÷- æ÷ù ¡¥§ ¯®¢â®à¥-ì
|
Š÷«ìª÷áâì ª®¬¡÷- æ÷© ¡¥§ ¯®¢â®à¥-ì § n § k ¯®§- ç îâì ç¥à¥§ Ck |
|
|
¡ ¢ |
n |
¡® |
n |
. “ æ쮬㠯®á÷¡-¨ªã ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨬¥¬® ¯¥àè¥ ¯®§- ç¥--ï, 瘟 |
k |
||
¯à¨©-ïâ® ã ¢÷â稧-ï-÷© «÷â¥à âãà÷. |
||
’¥®à¥¬ 4.3. Ck = n(n¡1):::(n¡k+1) |
= |
|
n! |
|
|
|
|
. |
|||
n |
k! |
|
(n¡k)!k! |
||
|
|
|
|||
„®¢¥¤¥--ï. •¥å © A = fa1; a2; : : : ; ang. • ¬-®¦¨-÷ ¢á÷å ஧¬÷é¥-ì ¡¥§ ¯®¢â®à¥-ì § n § k ¢¢¥¤¥¬® ¢÷¤-®è¥--ï ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷:
((ai1 ; : : : ; aik ) » (aj1 ; : : : ; ajk )) , (fai1 ; : : : ; aik g = faj1 ; : : : ; ajk g);
в®¡в® ¥ª¢ч¢ «¥-в-¨¬¨ ¢¢ ¦ х¬® вч ч вч«мª¨ вч ஧¬чй¥--п, пªч ¢ч¤ач§- -повмбп «¨и¥ ¯®ап¤ª®¬ ¥«¥¬¥-вч¢ (ч §¡ч£ овмбп пª ¬-®¦¨-¨). Š®¦¥- ª« б ¥ª¢ч¢ «¥-в-®бвч [(ai1 ; : : : ; aik )] § ¢¨§- ç¥--ï¬ ¬÷áâ¨âì ஧¬÷é¥--ï,
й® бª« ¤ овмбп § ®¤-¨е ч в¨е б ¬¨е ¥«¥¬¥-вч¢ ai1 ; : : : ; aik ÷ ¢÷¤à÷§-ïîâì- áï «¨è¥ ¯®à浪®¬. Žâ¦¥, ª®¦-®¬ã ª« áã ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ [(ai1 ; : : : ; aik )]
61
•®§¤÷« 4. …«¥¬¥-⨠ª®¬¡÷- â®à¨ª¨
®¤-®§- ç-® ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ª®¬¡÷- æ÷ï ¡¥§ ¯®¢â®à¥-ì fai1 ; : : : ; aik g. ’ ª¥ §÷- áâ ¢«¥--ï õ ¢§ õ¬-® ®¤-®§- ç-¨¬, ®áª÷«ìª¨ ª®¦¥- ª« á ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ ¢¨§- ç õ à÷¢-® ®¤-ã ª®¬¡÷- æ÷î (-¥¢¯®à浪®¢ -ã ¯÷¤¬-®¦¨-ã), ÷ ª®¦- ª®¬¡÷- æ÷ï ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ®¤-®¬ã ª« áã ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷.
’ ª¨¬ ç¨-®¬, ª÷«ìª÷áâì ª« á÷¢ ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ (¢÷¤-®á-® ¢¢¥¤¥-®£® ¢÷¤-®è¥--ï ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ - ¬-®¦¨-÷ ஧¬÷é¥-ì ¡¥§ ¯®¢â®à¥-ì § n
§ k) ¤®à÷¢-îõ Cnk |
. • à¥èâ÷, ®áª÷«ìª¨ ª®¦¥- ª« á ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ ¬÷á- |
|||||
â¨âì k! ஧¬÷é¥-ì (§ |
ª÷«ìª÷áâî ¯¥à¥áâ ¢«¥-ì - ¬-®¦¨-÷ fai1 ; : : : ; aik g), |
|||||
¬ õ¬®: |
|
|
|
|
P k |
= k!Ck; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
n |
§¢÷¤ª¨ -¥£ ©-® ¢¨¯«¨¢ õ ⢥द¥--ï ⥮६¨. |
||||||
—¨á« |
C |
k |
= |
n! |
0 · k · n |
) - §¨¢ овм ¡ч-®¬ч «м-¨¬¨ ª®¥дчжчх-- |
n(n¡k)!k! (
⬨.
‡ã¢ ¦¥--п 4.1. •ч-®¬ч «м-¨¬ ª®¥дчжчх-в ¬ Cnk ç áâ® - ¤ îâì á¥-á ÷ ¯à¨ k > n, ¢áâ -®¢«îîç¨ ¤«ï æ쮣® ¢¨¯ ¤ªã Cnk = 0. ’ ª¥ 㧠£ «ì-¥--ï
æ÷«ª®¬ ¯à¨à®¤-¥, ®áª÷«ìª¨ ª÷«ìª÷áâì ¢¨¡÷ப ¡¥§ ¯®¢â®à¥-ì § n § k ¯à¨ k > n ¤®à÷¢-îõ -ã«î.
•à¨ª« ¤ 4.5. •®§£«ï-¥¬® â ª §¢ -ã «¯à®¡«¥¬ã ¤¥â «¥©». •¥å © ã
ª®à®¡æ÷ ¬÷áâ¨âìáï n ¤¥â «¥© m á®àâ÷¢: n1 ¤¥â «¥© ¯¥à讣® á®àâã, n2 ¤¥- â «¥© ¤à㣮£® á®àâã, . . . , nm ¤¥â «¥© m-£® á®àâã. ‡ ª®à®¡ª¨ - ¢¬ --ï, ¡¥§ ãà å㢠--ï ¯®à浪ã, ¢¨âï£ãîâì k ¤¥â «¥©. •÷¤à å㢠⨠ª÷«ìª÷áâì -¥-
¢¯®à浪®¢ -¨å ¢¨¡÷ப, ª®«¨ ¡ã¤¥ ¢¨âï£-ãâ® à÷¢-® k1 ¤¥â «¥© ¯¥à讣®
á®àâã, k2 ¤¥â «¥© ¤à㣮£® á®àâã, . . . , km ¤¥â «¥© m-£® á®àâã (0 · kj · mj).
Žáª÷«ìª¨ ¯®à冷ª ¢¨¡÷ન ã æ÷© § ¤ ç÷ -¥ ¬ õ §- ç¥--ï, ¢¢ ¦ ⨬¥¬®, é® á¯®ç âªã ¢¨âï£ãîâì ¤¥â «÷ ¯¥à讣® á®àâã, ¯®â÷¬ { ¤à㣮£®, ÷ â. ¤. ’®¤÷ ª÷«ìª÷áâì ¢¨¡÷ப, é® § ¤®¢®«ì-ïîâì § ¤ -ã 㬮¢ã, ¯÷¤à 客ãîâì § ¯à ¢¨«®¬ ¤®¡ãâªã: Cnk11 Cnk22 ¢ ¢ ¢ Cnkmm .
4.3.2. Š®¬¡÷- æ÷ù § ¯®¢â®à¥--ﬨ
Š÷«ìª÷áâì ª®¬¡÷- æ÷© § ¯®¢â®à¥--ﬨ § n § k ¡ã¤¥¬® ¯®§- ç ⨠ç¥à¥§ Cnk.
’¥®à¥¬ 4.4. |
e |
k |
k |
¡ |
|
e |
|
= Cn+k |
1. |
||
Cn |
|
||||
62
4.3. Š®¬¡÷- æ÷ù § ¯®¢â®à¥--ﬨ â ¡¥§ ¯®¢â®à¥-ì
„®¢¥¤¥--ï. •¥å © A = fa1; a2; : : : ; ang. Š®¦- ª®¬¡÷- æ÷ï § ¯®¢â®à¥-- -ﬨ ¤®¢¦¨-®î k - ¬-®¦¨-÷ A ®¤-®§- з-® ¢¨§- з хвмбп ªч«мªчбво kj ¢å®¤¦¥-ì ¤® ª®¬¡÷- æ÷ù ª®¦-®£® § ¥«¥¬¥-â÷¢ aj (1 · j · n). Žâ¦¥, ª®¦-
- ª®¬¡ч- жчп ¢§ х¬-® ®¤-®§- з-® ¢¨§- з хвмбп ¢¯®ап¤ª®¢ -¨¬ - ¡®а®¬ |
||
ç¨á¥« |
|
+ ¢ ¢ ¢ + kn = k; kj ¸ 0 (1 · j · n): |
(k1 |
; : : : ; kn) : k1 |
|
„«ï ¯÷¤à åã-ªã ª÷«ìª®áâ÷ - ¡®à÷¢ -¥¢÷¤'õ¬-¨å æ÷«¨å ç¨á¥« (k1; : : : ; kn), â ª¨å, é® k1 + ¢ ¢ ¢ + kn = k, ஧£«ï-¥¬® ¬®¤¥«ì ஧â è㢠--ï n ¡ 1 -¥- -㬥஢ -¨å ªã«ì ¯® n + k ¡ 1 -㬥஢ -¨å ª®¬÷ઠå (ã ª®¦-÷© ª®¬÷àæ÷
¢¬чйгхвмбп ®¤- ªг«п). •ч¤ªа¥б«¨¬®, й® ªг«ч -¥-г¬¥а®¢ -ч, в®¡в® ¯®- ¯ а-® -¥ ஧ач§-повмбп. Š®¦-®¬г ஧в иг¢ --о ªг«м §чбв ¢¨¬® - ¡ча -¥¢ч¤'х¬-¨е жч«¨е з¨б¥« (k1; : : : ; kn):
¤: : : ¤¥¤: : : ¤¥: : : : : : ¥¤: : : ¤¥¤: : : ¤ |
|||||||||||||||||||
| |
|
{z |
|
} |
| |
|
{z |
|
} |
| |
|
{z |
|
} |
| |
|
{z |
|
} |
|
|
k1 |
|
|
k2 |
|
kn¡1 |
|
|
kn |
|||||||||
k1 |
{ ª÷«ìª÷áâì ª®¬÷ப ¤® ¯¥àè®ù § ©-ïâ®ù (-¥ ¢à 客ãîç¨ |
|
k2 |
§ ©-ïâã); |
|
{ ª÷«ìª÷áâì ª®¬÷ப ¬÷¦ ¯¥àè®î â |
¤àã£®î § ©-ï⨬¨; |
|
k3 |
{ ª÷«ìª÷áâì ª®¬÷ப ¬÷¦ ¤à㣮î â |
âà¥âì®î § ©-ï⨬¨; |
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
||
kn¡1 { ª÷«ìª÷áâì ª®¬÷ப ¬÷¦ ¯¥à¥¤®áâ --ì®î â ®áâ --ì®î |
||
kn |
§ ©-ï⨬¨; |
|
{ ª÷«ìª÷áâì ª®¬÷ப ¯÷á«ï ®áâ --ì®ù § ©-ïâ®ù. |
||
Žâ¦¥, ª®¦-®¬ã ஧â è㢠--î ªã«ì ¢ ®¯¨á -÷© ¬®¤¥«÷ ¢§ õ¬-® ®¤-®- §- ç-® §÷áâ ¢«¥-® - ¡÷à -¥¢÷¤'õ¬-¨å æ÷«¨å ç¨á¥« (k1; : : : ; kn), â ª¨å, é®
k1 + ¢ ¢ ¢ + kn = k. „«ï § ¢¥àè¥--ï ¤®¢¥¤¥--ï ⥮६¨ § §- 稬®, é® ª÷«ìª÷áâì ¬®¦«¨¢¨å ஧â è㢠-ì n ¡ 1 -¥-㬥஢ -¨å ªã«ì ¯® n + k ¡ 1
-㬥஢ -¨å ª®¬÷àª å ¤®à÷¢-îõ Cn¡1 |
= Ck |
n+k¡1 |
n+k¡1 (ª÷«ìª÷áâì -¥¢¯®à浪®- |
¢ -¨å ¢¨¡®à÷¢ k ª®¬÷ப, é® § «¨è âìáï ¢÷«ì-¨¬¨, § n + k ¡ 1 § £ «ì-®ù ª÷«ìª®áâ÷ ª®¬÷ப). 
•à¨ª« ¤ 4.6. 1. •÷¤à åãõ¬®, áª÷«ìª®¬ ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦- ஧¡¨â¨ ç¨á«® k - áã¬ã n -¥¢÷¤'õ¬-¨å ¤®¤ -ª÷¢: k1 + ¢ ¢ ¢ + kn = k.
Ÿª ¢¨¯«¨¢ õ § ¤®¢¥¤¥--ï ⥮६¨ 4.4, ª÷«ìª÷áâì â ª¨å ஧¡¨ââ÷¢ ¤®- |
||
à÷¢-îõ Ck |
= |
Ck |
en |
n+k¡1. |
|
63
|
|
•®§¤÷« 4. |
…«¥¬¥-⨠ª®¬¡÷- â®à¨ª¨ |
||
‚¯à ¢ 4.1. “§ £ «ì-¨â¨ 楩 १ã«ìâ â - |
¢¨¯ ¤®ª, ª®«¨ k1 ¸ m1, |
||||
k2 ¸ m2, . . . , kn ¸ mn, ¤¥ mj (1 · j · n) { § ¤ |
-÷ æ÷«÷ ç¨á« . |
||||
2. •÷¤à åãõ¬® ª÷«ìª÷áâì ª÷á⮪ ¤®¬÷-®. |
|
||||
Ÿª ¢÷¤®¬®, ª®¦- ª÷á⪠|
¤®¬ч-® ¢§ х¬-® ®¤-®§- з-® ¢¨§- з хвмбп -¥- |
||||
¢¯®à浪®¢ -®î ¯ à®î ç¨á¥« fn; mg, â ª¨å, é® 0 · m · 6, 0 · n · 6, |
|||||
¢ª«îç îç¨ ¢¨¯ ¤®ª n = m. Žâ¦¥, ª÷«ìª÷áâì ª÷á⮪ ¤®¬÷-® |
|||||
C2 = C2 |
= C2 = |
8 ¢ 7 |
= 28: |
||
e7 |
7+2¡1 |
8 |
2 |
|
|
4.4. “¯®à浪®¢ -÷ ஧¡¨ââï
•®§£«ï-¥¬® ⠪㠯஡«¥¬ã: ¯®âà÷¡-® ஧â è㢠⨠¥«¥¬¥-⨠¬-®¦¨- -¨ A = fa1; a2; : : : ; ang ¯® k -㬥஢ -¨å ª®¬÷ઠå õ¬-÷áâî n1, n2, . . . , nk
¢÷¤¯®¢÷¤-®, ¯à¨ç®¬ã n1 +¢ ¢ ¢+nk = n. –î ¯à®¡«¥¬ã - §¨¢ îâì 㯮à浪®- ¢ -¨¬ ஧¡¨ââï¬ ¬-®¦¨-¨ A ¯® k 㯮à浪®¢ -¨å ª®¬÷ઠå. ‡ §- 稬®,
é® ¯®à冷ª ஧â è㢠--ï ¥«¥¬¥-â÷¢ ã ª®¦-÷© ª®¬÷àæ÷ -¥ ¬ õ §- ç¥--ï { - á æ÷ª ¢¨âì «¨è¥ â¥, ¢ ïªã ª®¬÷àªã ¯®âà ¯¨âì ª®¦¥- § ¥«¥¬¥-â÷¢ ¬-®- ¦¨-¨ A. Š÷«ìª÷áâì 㯮à浪®¢ -¨å ஧¡¨ââ÷¢ § áä®à¬ã«ì®¢ -¨¬¨ ¯ à -
¬¥âà ¬¨ ¯®§- ç ⨬¥¬® ç¥à¥§ Cnn1;n2;:::;nk .
„«ï ¯÷¤à åã-ªã ª÷«ìª®áâ÷ ¢¯®à浪®¢ -¨å ஧¡¨ââ÷¢ ᪮à¨áâ õ¬®áì |
||||||
¯à¨-樯®¬ ¤®¡ãâªã: ᯮç âªã § ¯®¢-¨¬® ¯¥àèã ª®¬÷àªã, ¯®â÷¬ { ¤àã£ã |
||||||
÷ â. ¤. Žç¥¢¨¤-®, ¯¥àèã ª®¬÷àªã ¬®¦- |
§ ¯®¢-¨â¨ Cn1 |
ᯮᮡ ¬¨, ¤àã- |
||||
£ã { Cn2 |
|
Cn3 |
n |
|||
|
ᯮᮡ ¬¨ ÷ â. ¤. ‡ ¯à¨-樯®¬ |
|||||
n¡n1 ᯮᮡ ¬¨, âà¥âî { |
|
n¡n1¡n2 |
||||
¤®¡ãâªã ¬ õ¬®: |
|
|
|
|
|
|
Cnn1;n2;:::;nk |
= Cnn1 Cnn¡2 n1 Cnn¡3 n1¡n2 ¢ ¢ ¢ Cnn¡k n1¡¢¢¢¡nk¡1 : |
(4.1) |
||||
‡ 㢠¦¥--ï 4.2. Žáâ --÷© ¬-®¦-¨ª Cnk |
= Cnk |
= 1 (ïª |
||||
|
|
|
|
n¡n1¡¢¢¢¡nk¡1 |
nk |
|
÷ ®ç÷ªã¢ «¨, ®áª÷«ìª¨ |
®áâ --î |
ª®¬÷àªã ¬®¦¥¬® § ¯®¢-¨â¨ |
«¨è¥ ®¤- |
|||
-¨¬ ᯮᮡ®¬). |
|
|
|
|
|
|
•¥§¯®á¥à¥¤-÷© ¯÷¤à åã-®ª ¤®§¢®«ïõ §- ç-® á¯à®áâ¨â¨ ¢¨à § ã ¯à ¢÷© |
||||
ç áâ¨-÷ (4.1): |
|
n! |
|
|
Cnn1;n2;:::;nk = |
|
: |
||
|
|
|||
n1 |
!n2! ¢ ¢ ¢ nk! |
|||
|
|
|||
64
4.5. •÷-®¬÷ «ì- â ¯®«÷-®¬÷ «ì- ä®à¬ã«¨. ’ਪãâ-¨ª • ᪠«ï
‡ §- 稬®, é® ã ¢¨¯ ¤ªã k = 2 ¬ õ¬® ª« á¨ç-¨© ¢¨¯ ¤®ª ª®¬¡÷- æ÷© ¡¥§ ¯®¢â®à¥-ì (-¥¢¯®à浪®¢ -¨© ¢¨¡÷à ¥«¥¬¥-â÷¢ ¤«ï ®¤-÷õù § ¤¢®å ª®¬÷ப):
Cn1;n2 |
= |
|
n! |
|
= Cn1 |
= Cn2 |
: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
n |
|
n1!n2 |
! |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
‚¯à ¢ 4.2. “§ £ «ì-¨â¨ ä®à¬ã«ã ¤«ï Cn1;n2;:::;nk
n - ¢¨¯ ¤®ª, ª®«¨
n1 + ¢ ¢ ¢ + nk · n.
•à¨ª« ¤ 4.7. •÷¤à åãõ¬®, áª÷«ìª¨ á«÷¢ (¤®¢÷«ì-¨å ¯®á«÷¤®¢-®á⥩ «÷â¥à) ¬®¦- ᪫ á⨠§ è¥á⨠ª à⮪, - âàì®å § ïª¨å ¯®§- ç¥- «÷â¥à «€», - ¤¢®å { «÷â¥à «•», - ®¤-÷© { «‚»:
€ 
€ 
€ 
• 
• 
‚
„«ï ஧¢'ï§ --ï § ¤ ç÷ ஧£«ï-¥¬® ⠪㠬®¤¥«ì: õ âਠª®¬÷ન «€», «•» â «‚» õ¬-®áâﬨ 3, 2 â 1 ¢÷¤¯®¢÷¤-®, ã 直å âॡ ஧¬÷áâ¨â¨ ¥«¥¬¥-⨠¬-®¦¨-¨ X = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. ’®¤÷ ª®¦-®¬ã á«®¢ã ®¤-®§- ç- -® ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ஧¡¨ââï ¬-®¦¨-¨ X ¯® ª®¬÷àª å «€», «•» â «‚» { ª®- ¦¥- ¥«¥¬¥-â ¬-®¦¨-¨ X ¢÷¤¯®¢÷¤ õ -®¬¥àã «÷â¥à¨ ¢ á«®¢÷, é® áª« ¤ -
хвмбп. Žв¦¥, ªч«мªчбвм б«ч¢ ®¡з¨б«охвмбп пª ªч«мªчбвм г¯®ап¤ª®¢ -¨е |
||||
஧¡¨ââ÷¢: |
|
6! |
|
|
C3;2;1 |
= |
= 60: |
||
|
||||
|
||||
6 |
|
3!2!1! |
|
|
|
|
|
||
4.5. •÷-®¬÷ «ì- â ¯®«÷-®¬÷ «ì- ä®à¬ã«¨. ’ਪãâ-¨ª • ᪠«ï
4.5.1. ‚« бв¨¢®бвч ¡ч-®¬ч «м-¨е ª®¥дчжчх-вч¢
• £ ¤ õ¬® (¤¨¢. á. 62), é® ç¨á« Cnk (0 · k · n) - §¨¢ овм ¡ч-®¬ч- «м-¨¬¨ ª®¥дчжчх-в ¬¨. •®§£«п-¥¬® ªч«мª - ©¢ ¦«¨¢чи¨е ¢« бв¨¢®б- в¥© ¡ч-®¬ч «м-¨е ª®¥дчжчх-вч¢.
1.Ck = Cn¡k n n ;
2.Cn0 = Cnn = 1, Cn1 = Cnn¡1 = n;
3.Cnk + Cnk+1 = Cnk+1+1.
‚¯à ¢ 4.3. „®¢¥á⨠¢ª § -÷ â®â®¦-®áâ÷.
65
•®§¤÷« 4. …«¥¬¥-⨠ª®¬¡÷- â®à¨ª¨
4.5.2. •÷-®¬÷ «ì- â |
¯®«÷-®¬÷ «ì- |
ä®à¬ã«¨ |
‡ ªãàáã ¬ ⥬ â¨ç-®£® |
- «÷§ã ¢÷¤®¬ ä®à¬ã« ¤«ï «à®§ªà¨ââï ¤ã- |
|
¦®ª» ã ¢¨à §÷ (a + b)n: |
|
|
|
n |
|
|
Xk |
|
(a + b)n = Cnkakbn¡k: |
(4.2) |
|
|
=0 |
|
”®à¬ã«ã (4.2), пª ¢ч¤®¬®, - §¨¢ овм ¡ч-®¬®¬ •мов®- , ¡® ¡ч-®¬ч «м- -®о д®а¬г«®о, §¢ч¤ª¨ ¤чбв «¨ - §¢г ª®¥дчжчх-в¨ Cnk.
‡ 㢠¦¥--ï 4.3. • §¢ «¡÷-®¬ •ìîâ®- » ¤¢÷ç÷ -¥¯à ¢¨«ì- : ¯®-
¯¥àè¥, -÷ ¯à ¢ , -÷ «÷¢ ç áâ¨- ä®à¬ã«¨ (4.2) -¥ õ ¡÷-®¬®¬ (¤¢ãç«¥-®¬); ¯®-¤à㣥, ä®à¬ã« (4.2) ¡ã« ¢÷¤®¬ ÷ ¤® ஡÷â •ìîâ®- (öá ªã •ìîâ®- -ã - «¥¦¨âì ¢ ¦«¨¢¥ 㧠£ «ì-¥--ï ä®à¬ã«¨ (4.2) - ¢¨¯ ¤®ª ¤®¢÷«ì-®£® n 2 R).
„®¢¥¤¥¬® ¡÷-®¬÷ «ì-ã ä®à¬ã«ã (4.2) ¬¥â®¤ ¬¨ ª®¬¡÷- â®à¨ª¨. •®§- ªà¨õ¬® ¤ã¦ª¨ ã ¢¨à §÷ (a + b)n, -¥ ª®а¨бвгоз¨бм ª®¬гв в¨¢-чбво ¬-®-
¦¥--ï ¤÷©á-¨å ç¨á¥«:
(a + b)n = (a + b) ¢ ¢ ¢ (a + b) = aa ¢ ¢ ¢ a + ba ¢ ¢ ¢ |
||||||||
|
|
n |
|
| {z |
|
} |
| {z |
|
| |
|
{z |
|
} |
n |
n |
||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||
a + ab ¢ ¢ ¢ a + ¢ ¢ ¢ + bb ¢ ¢ ¢ b : |
|||||
} | {z |
|
} |
| {z |
|
} |
n |
n |
||||
•÷á«ï §¢¥¤¥--ï ¯®¤÷¡-¨å ç«¥-÷¢ (¢¨ª®à¨á⮢ãîç¨ ª®¬ãâ ⨢-÷áâì ¬-®- |
|
¦¥--ï) ¤÷áâ -¥¬®: |
n |
|
|
|
Xk |
(a + b)n = |
ckakbn¡k; |
|
=0 |
¤¥ ck { ª÷«ìª÷áâì ¤®¤ -ª÷¢ ¢¨£«ï¤ã a1 ¢ ¢ ¢ an (aj 2 fa; bg), â ª¨å, é® ¬-®¦- -¨ª a ¬÷áâ¨âìáï ¢ ¤®¡ãâªã a1 ¢ ¢ ¢ an à÷¢-® k à §÷¢ (¬-®¦-¨ª b ¬÷áâ¨âìáï ¢÷¤¯®¢÷¤-® n ¡ k à §÷¢).
„«п ®¡з¨б«¥--п ª®¥дчжчх-вч¢ ck ஧£«ï-¥¬® ª®¬¡÷- â®à-ã ¬®¤¥«ì ஧- â è㢠--ï ¬-®¦-¨ª÷¢ aj (1 · j · n) ¯® ª®¬÷ઠå a â b õ¬-®áâﬨ k â n ¡ k ¢÷¤¯®¢÷¤-®. Žç¥¢¨¤-®, ª®¦-¥ â ª¥ ஧â è㢠--ï ®¤-®§- ç-® ¢÷¤-
a1 ¢ ¢ ¢ an, é® ¬÷áâ¨âì k ¬-®¦-¨ª÷¢ a â n ¡ k
ck = Cnk;n¡k = Cnk;
é® ÷ âॡ ¡ã«® ¤®¢¥áâ¨.
66
4.5. •÷-®¬÷ «ì- â ¯®«÷-®¬÷ «ì- ä®à¬ã«¨. ’ਪãâ-¨ª • ᪠«ï
Š®¬¡÷- â®à-¥ ¤®¢¥¤¥--ï ä®à¬ã«¨ (4.2) ¯а¨а®¤-® ¯®и¨аохвмбп ¤«п |
|||||||
¢¨à §ã (a1 |
+ a2 + ¢ ¢ ¢ + am)n: |
|
|
|
|
|
|
|
(a1 + a2 + ¢ ¢ ¢ + am) |
n |
= |
k1;:::;km |
k1 |
km |
(4.3) |
|
|
Cn |
a1 |
¢ ¢ ¢ am : |
|||
|
|
|
;:::;k |
0 |
|
|
|
|
|
|
k1;k2Xm¸ |
|
|
|
|
|
|
|
k1+¢¢¢+km=n |
|
|
|
|
‚¯à ¢ |
4.4. •à®¢¥á⨠¤®¢¥¤¥--ï ä®à¬ã«¨ (4.3). |
|
|
||||
”®à¬ã« (4.3), § - «®£÷õî § ¡÷-®¬÷ «ì-®î ä®à¬ã«®î, ¤÷áâ « |
- - |
||||||
§¢ã ¯®«÷-®¬÷ «ì- ä®à¬ã« . ‡ §- 稬®, é® ª÷«ìª÷áâì ¤®¤ -ª÷¢ ã ¯à ¢÷© |
|||||||
ç áâ¨-÷ ä®à¬ã«¨ (4.3) ®¡з¨б«охвмбп пª ªч«мªчбвм ஧¡¨ввч¢ з¨б« |
n - |
||||||
m -¥¢÷¤'õ¬-¨å æ÷«¨å ¤®¤ -ª÷¢, ⮡⮠ç¥à¥§ ª®¬¡÷- æ÷ù § ¯®¢â®à¥--ﬨ:
e |
Cn+1 |
= n + 1. |
|
Cn |
= Cn |
|
. ’ ª, ¯à¨ m = 2 (¢¨¯ ¤®ª ¡÷-®¬÷ «ì-®ù ä®à¬ã«¨) ¬ ⨬¥- |
m |
m+n¡1 |
|
|
¨: |
n |
|
|
•а¨ª« ¤ 4.8. 1. Š®а¨бвгоз¨бм ¯®«ч-®¬ч «м-®о д®а¬г«®о, ஧ªа¨- х¬® ¤г¦ª¨ г ¢¨а §ч (a + b + c)3:
(a + b + c)3 = C3;0;0 a3b0c0 + b3 + c3+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+ C3 | |
|
{z |
|
} |
+ 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + |
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2;1;0 a2b1c0 |
ab2 a2c ac2 b2c bc2 |
C1;1;1 a1b1c1 |
: |
||||||||||
| |
|
{z |
|
} |
|
| |
|
{z |
|
} |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
=3 |
|
|
|
|
|
|
=6 |
|
|
||||||
2. •¥ ஧ªà¨¢ îç¨ ¯®¢-÷áâî ¤ã¦ª¨ ã ¢¨à §÷ (a+b+c+d)132, ®¡ç¨á«¨¬® ª®¥дчжчх-в ¯а¨ ¤®¤ -ªг a131b:
C132131;1;0;0 = |
132! |
= 132: |
|
|
|||
131!1!0!0! |
|||
|
|
‡ §- 稬®, é® § £ «ì- ª÷«ìª÷áâì ¤®¤ -ª÷¢ ¯÷á«ï ஧ªà¨ââï ¤ã¦®ª â §¢¥¤¥--ï ¯®¤÷¡-¨å ç«¥-÷¢ áâ -®¢¨âì e132
C4 = 400995.
4.5.3. ’ਪãâ-¨ª • ᪠«ï
‡¤¥¡ч«ми®£® (§®ªа¥¬ , ¤«п ®¡з¨б«¥--п ª®¥дчжчх-вч¢ г ¡ч-®¬ч •мов®- - ) ¡ч-®¬ч «м-ч ª®¥дчжчх-в¨ §агз-® ஧в и®¢г¢ в¨ г д®а¬ч в ª §¢ -®£®
âਪãâ-¨ª • ᪠«ï:
67
•®§¤÷« 4. …«¥¬¥-⨠ª®¬¡÷- â®à¨ª¨
C0 |
|
|
|
|
|
C0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
C0 |
C1 |
|
|
|
|
C0 |
C1 |
|
1 |
1 |
|
|
¡® |
|
1 |
1 |
|
C20 C21 C22 |
|
C20 |
C21 |
C22 |
|
|||
C0 |
C1 |
C2 |
C3 |
|
C0 |
C1 |
C2 |
C3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
|
3 |
3 |
3 |
3 |
: : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
||||||
’ਪãâ-¨ª • ᪠«ï, ®ç¥¢¨¤-®, -¥áª÷-ç¥--¨©, ¯à®â¥ - |
¯à ªâ¨æ÷ ®¡ç¨á- |
|||||||
«îîâì ª÷«ìª ¯¥àè¨å à浪÷¢ (â ª, ¤«ï ஧ª« ¤ --ï (a + b)5 |
¯®âà÷¡-÷ |
|||||||
¯¥àè÷ 6 à浪÷¢). |
|
|
|
|
|
|
||
Ž¡ç¨á«îîç¨ ¯¥àè÷ à浪¨ âਪãâ-¨ª |
• ᪠«ï (ã «¯àאַªãâ-÷©» |
|||||||
ç¨ «à÷¢-®¡¥¤à¥-÷©» д®а¬ч), пª ¯а ¢¨«®, ¢¨¯¨бговм ®¤¨-¨з-ч ¥«¥¬¥--
⨠«¡÷ç-¨å áâ®à÷-» âਪãâ-¨ª , ¯÷á«ï 箣® ¢¨ª®à¨á⮢ãîâì â®â®¦-÷áâì
Cnk + Cnk+1 = Cnk+1+1.
•à¨ª« ¤ 4.9. Ž¡ç¨á«¨¬® ¯¥àè÷ ¯'ïâì à浪÷¢ âਪãâ-¨ª • ᪠«ï (ã «¯àאַªãâ-÷©» ä®à¬÷):
1
11
1 |
1 + 1 = 2 |
1 |
|
|
1 |
1 + 2 = 3 |
2 + 1 = 3 |
1 |
|
1 |
1 + 3 = 4 |
3 + 3 = 6 |
3 + 1 = 4 |
1 |
4.6.‡ áâ®á㢠--ï ª®à¥-¥¢¨å ¤¥à¥¢ ã ª®¬¡÷- â®à-¨å § ¤ ç å
• £ в® ª®¬¡ч- в®а-¨е ¯а®¡«¥¬ -¥ ¬®¦- ®¯¨б в¨ ¦®¤-®о § ª« б¨з- -¨е ª®¬¡ч- в®а-¨е ¬®¤¥«¥©. “ в ª¨е б¨вг жчпе, ª®«¨ ¬ ©¦¥ х¤¨-¨© ¬¥- ⮤ { ¡¥§¯®б¥а¥¤-ч© ¯¥а¥¡ча ¢бче ¢ ач -вч¢, §агз-® ª®а¨бвг¢ в¨бп £а - д ¬¨ б¯¥жч «м-®£® ¢¨¤г { в ª §¢ -¨¬¨ ª®а¥-¥¢¨¬¨ ¤¥а¥¢ ¬¨. Š®а¥-¥¢¥ ¤¥а¥¢® ¢¨§- з хвмбп пª ¤¥а¥¢® § ¢¨¤ч«¥-®о ¢¥аи¨-®о { ª®а¥-¥¬ (в®з-ч ¢¨§- з¥--п - ¢¥¤¥¬® ¤ «ч, ¯ч¤ з б ¢¨¢з¥--п £а дч¢ б¯¥жч «м-¨е в¨¯ч¢). •ч¤ з б ¯¥а¥¡®аг ¢ ач -вч¢ ª®¦-ч© ¢¥аи¨-ч ¤¥а¥¢ (¯®з¨- оз¨ § ª®а¥-п) ¢ч¤¯®¢ч¤ х ¯¥¢- £аг¯ ¢ ач -вч¢; пªй® £аг¯ ¢ ач -вч¢ ஧¡¨¢ хвмбп - n ¬-®¦¨-, § ¢÷¤¯®¢÷¤-®ù ¢¥àè¨-¨ ¤¥à¥¢ ¢¨å®¤¨âì n ॡ¥à. Š®¦-®¬ã «¨á-
âªã («§ ª«îç-¨¬» ¢¥àè¨- ¬ ¤¥à¥¢ ) ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ¤®áâ â-ì® ¯à®áâ ¬-®- ¦¨- ¢ à÷ -â÷¢ (- ©ç áâ÷è¥ ª®¦-®¬ã «¨áâªã ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ®¤¨- ¢ à÷ -â).
68