Spektorsky_diskretka
.pdf
3.6. •®§¡¨ââï ¬-®¦¨-¨. ” ªâ®à-¬-®¦¨-
б«ч¢ г б«®¢-¨ªг: б¯®з вªг ¯®ач¢-оовмбп ¯¥аич «чв¥а¨, ч пªй® ¯¥аич «ч- в¥а¨ §¡ч£ овмбп, ¯®ач¢-оовмбп ¤аг£ч «чв¥а¨).
5. ‚ч¤-®и¥--п «¥ªб¨ª®£а дчз-®£® ¢¯®ап¤ªг¢ --п ¯а¨а®¤-® ¯®и¨аохвмбп - Rn ¤«ï ¤®¢÷«ì-®£® n 2 N:
(x1; : : : ; xn) ¹ (y1; : : : ; yn) ,
, (9k : (xk < yk) ^ (8j < k : xj = yj)) _ (8j · n: xj = yj):
Žâ¦¥, «£®«®¢-®î» ®£®«®игхвмбп ¯¥аи ª®®а¤¨- в : пªй® x1 < y1, â®, § ¢¨§- ç¥--ï¬, x ¹ y (¡÷«ìè¥ â®£®, x Á y); ïªé® ¯¥àè÷ ª®®à¤¨- â¨
¢¥ªв®ач¢ ®¤- ª®¢ч, ¯®ач¢-оовмбп ¤аг£ч ª®®а¤¨- в¨; пªй® ч ¤аг£ч ª®®а¤¨- - в¨ ®¤- ª®¢ч, ¯®ач¢-оовмбп ва¥вч ª®®а¤¨- в¨ ч в. ¤. ‹¥£ª® §а®§г¬чв¨, й® ¡г¤м-пªч ¤¢ ¢¥ªв®а¨ § Rn ¬®¦- ¯®à÷¢-ïâ¨.
‚¨§- ç¥-¥ ¢ æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¢÷¤-®è¥--ï ¯®à浪ã ç áâ® - §¨¢ îâì |
||
¢÷¤-®è¥--ï¬ -¥áâண®£® ¯®à浪ã (§¢ ¦ îç¨ - à¥ä«¥ªá¨¢-÷áâì). ‚®¤-®- |
||
з б, з б⮠஧£«п¤ овм ¢ч¤-®и¥--п бва®£®£® ¯®ап¤ªг, й® ¢¨§- з хвмбп |
||
ç¥à¥§ ¢¨¬®£¨ -â¨à¥ä«¥ªá¨¢-®áâ÷, -â¨á¨¬¥âà¨ç-®áâ÷ â âà -§¨â¨¢-®áâ÷. |
||
’ ª, ¢÷¤-®è¥--ï «<» â «>» - |
R { ¢÷¤-®è¥--ï áâண®£® ¯®à浪ã. |
|
‚¯à ¢ |
3.13. „®¢¥áâ¨, é® |
-â¨á¨¬¥âà¨ç-÷áâì ¡÷- à-®£® ¢÷¤-®è¥--ï |
¢¨¯«¨¢ õ § |
-â¨à¥ä«¥ªá¨¢-®áâ÷ â âà -§¨â¨¢-®áâ÷. |
|
3.6. •®§¡¨ââï ¬-®¦¨-¨. ” ªâ®à-¬-®¦¨-
3.6.1. •®§¡¨ââï ¬-®¦¨-¨
Ž§- ç¥--ï 3.8. •¥å © U 6= ?. ‘ãªã¯-÷áâì ¬-®¦¨- fAa |
: a 2 Ig, ¤¥ |
||
I{¤®¢÷«ì- |
¬-®¦¨- ÷-¤¥ªá÷¢, - §¨¢ îâì ஧¡¨ââï¬ ¬-®¦¨-¨ U, ïªé®: |
||
² Aa 6= ? (a 2 I); |
|
||
S |
Aa; |
|
|
² U = a |
2I |
|
|
² Aa1 \ Aa2 = ? (a1 =6 a2).
•à¨ª« ¤ 3.24. 1. •¥å © U { |
¤®¢÷«ì- -¥¯®à®¦-ï ¬-®¦¨- , |
A ½ U |
, |
|
c |
g { ஧¡¨ââï ¬-®¦¨-¨ U. |
|
||
A 6= U. ‹¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® fA; A |
|
|
||
2. f1; 2; 3; 4; 5g = f1; 2g [ f3; 5g [ f4g. Žâ¦¥, ff1; 2g; f3; 5g; f4gg { ஧-
¡¨ââï ¬-®¦¨-¨ f1; 2; 3; 4; 5g.
3. •¥å © U = R2, Ay = f(x; y) : x 2 Rg (y 2 R). ‹¥£ª® §à®§ã¬÷â¨, é® fAy : y 2 Rg õ ஧¡¨ââï¬ ¬-®¦¨-¨ R2.
49
•®§¤÷« 3. ’¥®à÷ï ¢÷¤-®è¥-ì
|
Y |
||
1 |
|
A1 |
|
0,5 |
|
|
A 0,5 |
|
|
|
|
A 0
–1 |
0 |
1 |
X |
|
|
|
|
|
–1 |
|
A –1 |
•¨á. 3.8
Ÿª ¢¨¤-® § à¨á. 3.8, ª®¦- ¬-®¦¨- Ay - ª®®à¤¨- â-
-÷© ¯«®é¨-÷ õ ¯àאַî, é® ¯ - à «¥«ì- ®á÷ OX. Žâ¦¥, ¢áï
ª®®à¤¨- â- ¯«®é¨- R2 õ
®¡'õ¤- --ï¬ -¥¯®à®¦-÷å ¬-®- ¦¨- Ay (y 2 R), é® ¯®¯ à-®
-¥ ¯¥а¥ач§ овмбп.
4. •¥å © U = R2, Ar = f(x; y): x2 + y2 = r2g (r ¸ 0). ‹¥£ª® §à®§ã¬÷â¨, é® fAr : r ¸ 0g õ ஧¡¨ââï¬ ¬-®¦¨-¨ R2.
Y
A2
1
A1
|
2 |
1 |
X |
A0={(0, 0)}
•¨á. 3.9
Ÿª ¢¨¤-® § à¨á. 3.9, ª®¦- - ¬-®¦¨- Ar - ª®®à¤¨-
-â-÷© ¯«®é¨-÷ õ ª®«®¬ § æ¥-â஬ ¢ ¯®ç âªã ª®®à¤¨-
-â ÷ à ¤÷ãᮬ r ¯à¨ r > 0
â ®¤-®â®çª®¢®î ¬-®¦¨-®î f(0; 0)g ¯à¨ r = 0. Žâ¦¥, ¢áï
ª®®à¤¨- â- ¯«®é¨- R2 {
®¡'õ¤- --ï -¥¯®à®¦-÷å ¬-®- ¦¨- Ar (r ¸ 0), é® ¯®¯ à-®
-¥ ¯¥а¥ач§ овмбп.
3.6.2. ” ªâ®à-¬-®¦¨-
•¥å © A { ¤¥ïª -¥¯®à®¦-ï ¬-®¦¨- , - ïª÷© § ¤ -¥ ¢÷¤-®è¥--ï ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ «»».
Ž§- ç¥--ï 3.9. •¥å © a 2 A. ¥«¥¬¥-⮬ a, - §¨¢ îâì ¬-®¦¨-ã ¢ «¥-â-¨å ¥«¥¬¥-âã a:
Š« ᮬ ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷, ¯®à®¤¦¥-¨¬ [a], й® бª« ¤ хвмбп § ¥«¥¬¥-вч¢, ¥ª¢ч-
[a] = fx 2 A: x » ag:
50
3.6. •®§¡¨ââï ¬-®¦¨-¨. ” ªâ®à-¬-®¦¨-
’¥®а¥¬ 3.3. Š« б¨ ¥ª¢ч¢ «¥-в-®бвч ¡® -¥ ¯¥а¥ач§ овмбп, ¡® §¡ч- |
|||
£ овмбп: |
8a1 |
; a2 |
2 A: ([a1] \ [a2] = ?) _ ([a1] = [a2]): |
|
|||
„®¢¥¤¥--ï. •¥å © b 2 [a1] \ [a2], ⮡⮠[a1] \ [a2] =6 ?. „«ï ¤®¢¥¤¥--ï ⥮६¨ ¤®áâ â-ì® ¤®¢¥á⨠à÷¢-÷áâì [a1] = [a2].
(b 2 [a1]) ) (b » a1); (b 2 [a2]) ) (b » a2); (a1 » b)^(b » a2) ) (a1 » a2):
Žâ¦¥, a1 » a2. ’¥¯¥à ¤«ï ¤®¢¥¤¥--ï à÷¢-®áâ÷ [a1] = [a2] ᪮à¨áâ õ¬®áì ¬®¤¥«ì-¨¬ ᯮᮡ®¬:
(x 2 [a1]) , (x » a1) , (x » a2) , (x 2 [a2]):
Žâ¦¥, [a1] = [a2], é® § ¢¥àèãõ ¤®¢¥¤¥--ï ⥮६¨. |
|||
Ž§- ç¥--ï 3.10. ” ªâ®à-¬-®¦¨-®î ¬-®¦¨-¨ A § ¢÷¤-®è¥--ï¬ |
|||
¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ |
«»» - §¨¢ îâì ¬-®¦¨-ã A±» ¢á÷å ª« á÷¢ ¥ª¢÷¢ «¥-â- |
||
-®áâ÷: |
|
||
|
|
|
A » = f[a]: a 2 Ag: |
Ž¯¥à æ÷î ®¡ç¨á«¥--ï ä |
ªâ®à-¬-®¦¨-¨ - §¨¢ îâì ä ªâ®à¨§ æ÷õî ¬-®- |
||
± |
|||
¦¨-¨ § |
¤ -®î ¥ª¢÷¢ «¥-â-÷áâî. |
||
‡ §- 稬®, é® ã ä ªâ®à-¬-®¦¨-÷ f[a] : a 2 Ag ¤¥ïª÷ § ª« á÷¢ ¥ª¢÷¢ -
«¥-â-®áâ÷, é® ¯®à®¤¦¥-÷ à÷§-¨¬¨ ¥«¥¬¥-â ¬¨, ¬®¦ãâì §¡÷£ â¨áï (¡÷«ìè¥ â®£®, ïªé® ¢÷¤-®è¥--ï «»» -¥ õ â®â®¦-¨¬, ÷á-ãîâì a1; a2 2 A, â ª÷ é®
[a1] = [a2]). Ž¤- ª ã § ¯¨áã f[a]: a 2 Ag ®¤- ª®¢ч ª« б¨ -¥ ஧ач§-повмбп:
ª« ᨠ[a1] = [a2] ¢¢ ¦ овмбп ®¤-¨¬ ¥«¥¬¥-⮬ д ªв®а-¬-®¦¨-¨.
„ «÷ § §- 稬®, é® ¦®¤¥- ÷§ ª« á÷¢ ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ -¥ õ ¯®à®¦-ì®î ¬-®¦¨-®î: ¯à¨- ©¬-÷ a 2 [a].
Žâ¦¥, ¢à 客ãîç¨ â¢¥à¤¦¥--ï ⥮६¨ 3.3 ¬®¦¥¬® §а®¡¨в¨ ¢¨б-®- ¢®ª, й® (¯®¯ а-® ач§-ч) ª« б¨ ¥ª¢ч¢ «¥-в-®бвч гв¢®аоовм ஧¡¨ввп ¬-®- ¦¨-¨ A. •à®â¥ ¬ õ ¬÷áæ¥ ÷ §¢®à®â-¥ ⢥द¥--ï: ª®¦-¥ ஧¡¨ââï ¬-®-
¦¨-¨ A ¯®à®¤¦¥-¥ ¤¥ïª¨¬ ¢÷¤-®è¥--ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷.
‚¯à ¢ 3.14. •¥å © fAa : a 2 Ig { ஧¡¨ââï ¬-®¦¨-¨ A. ‚¢¥¤¥¬® â ª¥ ¡÷- à-¥ ¢÷¤-®è¥--ï «»»:
(a1 » a2) , (9a 2 I : a1; a2 2 Aa);
⮡⮠a1 » a2 ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ a1 â a2 - «¥¦ âì ®¤-÷© ÷ â÷© á ¬÷© ¬-®¦¨-÷ Aa. „®¢¥áâ¨:
51
•®§¤÷« 3. ’¥®à÷ï ¢÷¤-®è¥-ì
² ¢¢¥¤¥-¥ ¢÷¤-®è¥--ï «»» õ ¢÷¤-®è¥--ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ - A;
² ä ªâ®à-¬-®¦¨- § ¢÷¤-®è¥--ï¬ «»» §¡ч£ хвмбп § ¢¨еч¤-¨¬ ஧-
¡¨ââï¬: |
|
A » = fAa |
: a 2 Ig: |
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
{ ¤®¢÷«ì- |
-¥¯®à®¦-ï ¬-®¦¨- . •à®ä ª- |
||||
•à¨ª« ¤ 3.25. 1. •¥å © A ± |
|
|
|
|
|
||
â®à¨§ãõ¬® A § |
â®â®¦-¨¬ ¢÷¤-®è¥--ï¬ IA («=»). Žç¥¢¨¤-®, ¢á÷ ª« ᨠ|
||||||
¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ { ®¤-®¥«¥¬¥-â-÷ ¬-®¦¨-¨: |
|
|
|
||||
|
|
[a] = fag (a 2 A); A = |
= |
a : a |
A : |
||
2. •à®ä ªâ®à¨§ãõ¬® ¬-®¦¨-ã |
± |
|
ff g |
2 § g |
â ª¨¬ ¢÷¤-®è¥-- |
||
-ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷: |
A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 » 2; 3 » 4 » 5; 1 6»3; 1 6»; 3 6» |
|
||||
(¤¨¢. ¯à¨ª«. 3.20, ¯ã-ªâ 5). Žç¥¢¨¤-®, ä ªâ®à-¬-®¦¨- |
¬÷áâ¨âì âਠª« - |
||||||
ᨠ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷: |
|
|
|
|
|
||
|
|
A±» = ff1; 2g; f3; 4; 5g; f6gg: |
|
|
|||
•®à÷¢-îîç¨ A |
» § £à 䮬 â ¬ âà¨æ¥î ¢÷¤-®è¥--ï «»», «¥£ª® ¯®¡ ç¨- |
||||||
â¨, é® ª®¦¥- |
ª« á ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ ®¤-®§- ç-® ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ¤¥ïª÷© ®¡« áâ÷ |
||||||
|
± |
|
|
|
|
|
|
§¢'ï§-®áâ÷ £à äã â ¤¥ïª®¬ã «®¤¨-¨ç-®¬ã ¡«®ªã» ¬ âà¨æ÷ M» (£à ä â |
|||||||
¬ âà¨æï M» - ¢¥¤¥-÷ ¢ ¯à¨ª«. 3.20, ¯ã-ªâ 3). ‡à®§ã¬÷«®, é® ¬ âà¨æï |
|||||||
¤®¢÷«ì-®£® ¢÷¤-®è¥--ï ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ § ¢¦¤¨ ¬ ⨬¥ ¡«®ª®¢ã áâàãªâãàã, ïªé® ¥«¥¬¥-⨠¬-®¦¨-¨ A ¤«ï §÷áâ ¢«¥--ï à浪 ¬ â á⮢¯æï¬ ¬ -
âà¨æ÷ -㬥à㢠⨠§ |
ª« á ¬¨ ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷: ᯮç âªã ¯à®-㬥à㢠⨠|
|
¥«¥¬¥-⨠®¤-®£® ¤®¢÷«ì-®£® ª« áã [a1], ¯®â÷¬ { ¥«¥¬¥-⨠ª« áã [a2 |
] 6= [a1], |
|
÷ â. ¤. ‡à®§ã¬÷«®, é® § |
÷-è®ù -㬥à æ÷ù à浪÷¢ â á⮢¯æ÷¢ ¡«®ª®¢ |
áâàãª- |
âãà ¬ âà¨æ÷ ¬®¦¥ ¯®àãè¨â¨áì. |
|
|
‚¯à ¢ 3.15. •®¡ã¤ã¢ ⨠¬ âà¨æî - ¢¥¤¥-®£® ¢÷¤-®è¥--ï «»», ¢¨-
ª®à¨á⮢ãîç¨ â ªã -㬥à æ÷î à浪÷¢ â á⮢¯æ÷¢: ¯¥à訩 à冷ª â á⮢¯¥æì ¬ âà¨æ÷ ¢÷¤¯®¢÷¤ îâì ¥«¥¬¥-âã 1, ¤à㣨© à冷ª â á⮢¯¥æì
{ ¥«¥¬¥-âã 3, âà¥â÷© à冷ª â á⮢¯¥æì { ¥«¥¬¥-âã 6, ç¥â¢¥à⨩ à冷ª â á⮢¯¥æì { ¥«¥¬¥-âã 2, ¯'ï⨩ à冷ª â á⮢¯¥æì { ¥«¥¬¥-âã 4, è®á⨩
à冷ª â á⮢¯¥æì { ¥«¥¬¥-âã 5. •¥à¥ª®- â¨áï, é® ¡«®ª®¢ áâàãªâãà ¬ âà¨æ÷ ¯®àãè¥- .
52
3.7. ”ã-ªæ÷ï ïª ®ªà¥¬¨© ¢¨¯ ¤®ª ¢÷¤-®è¥--ï
3. •à®ä ªâ®à¨§ãõ¬® Z § ¢÷¤-®è¥--ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ «( mod p)», ¤¥ p 2 N. Žç¥¢¨¤-®, ª®¦¥- ª« á ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ ¬÷áâ¨âì ¥«¥¬¥-⨠n 2 Z §
ä÷ªá®¢ -¨¬ §- ç¥--ï¬ ®áâ ç÷ ¢÷¤ ¤÷«¥--ï - p. Žâ¦¥, ¬ õ¬® p à÷§-¨å ª« á÷¢ ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷:
’ ª, ¯à¨ |
|
|
Ak |
= [k] = fk + jp: j 2 Zg; (0 · k · p ¡ 1); |
|
|
|
|||||||||||
|
|
ä |
± |
|
|
|
|
|
: 0 · k · p ¡ 1g: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
A ( mod p) = fAk |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ªâ®à-¬-®¦¨- |
{ ¯±(à-¥ |
|
|
{ -¥¯ à-¥ |
|
|
|
||||||
|
|
p = 2 |
|
|
R |
|
|
A |
mod p) ¡ã¤¥ ¤¢®¥«¥¬¥-â-®î: |
|
|
|||||||
4. |
|
|
± |
|
|
|
|
|
|
|
g; fn 2 Z: n |
|
|
gg: |
|
|
||
|
A |
( mod 2) |
= ffn 2 Z: n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
•à®ä ªâ®à¨§ãõ¬® |
|
2 § â ª¨¬ ¢÷¤-®è¥--ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
((x1; x2) » (y1; y2)) , (x12 + x22 = y12 + y22): |
|
|
|
|||||||||||
‡ ¢¨§- ç¥--ï ¤ -®£® ¢÷¤-®è¥--ï |
|
¢¨¯«¨¢ õ, é® ª®¦¥- ª« á ¥ª¢÷¢ - |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«»» 2 |
|
|
|
2 |
2 |
|||
«¥-â-®áâ÷ ¬÷áâ¨âì ¥«¥¬¥-⨠(x1; x2) 2 R |
|
§ ä÷ªá®¢ -¨¬ §- ç¥--ï¬ x1 |
+x2: |
|||||||||||||||
Žâ¦¥, ä ªâ®à-¬-®¦¨- |
A |
|
|
|
|
|
±» |
= fAr : r ¸ 0g: |
|
2 |
||||||||
|
Ar |
= f(x1; x2): x12 |
+ x22 = r2g; (r ¸ 0); A |
|
|
|||||||||||||
- ª®-æ¥-âà¨ç-÷ |
ª®« |
§ æ± |
õ ஧¡¨ââï¬ ª®®à¤¨- â-®ù ¯«®é¨-¨ R |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥-âà ¬¨ |
ã ¯®ç âªã ª®®à¤¨- â ÷ à ¤÷ãá ¬¨ |
|||||||||
r ¸ 0 (¢¨¯ ¤ªã r = 0 ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ®¤-®â®çª®¢¨© ª«2 |
¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ |
|||||||||||||||||
ᬨ ஧£«ï¤ «¨ ¢ |
||||||||||||||||||
[(0; 0)] = |
|
f(0; 0)g). ‡ §- 稬®, é® ¤ -¥ ஧¡¨ââï R |
|
|
|
|
||||||||||||
¯à¨ª«. 3.24 (¯ã-ªâ 4), ¤¥ ¡ã«® - ¢¥¤¥-® ¢÷¤¯®¢÷¤-¨© à¨áã-®ª.
3.7.”ã-ªæ÷ï ïª ®ªà¥¬¨© ¢¨¯ ¤®ª ¢÷¤-®è¥--ï
“ æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¢¨¢ç ⨬¥¬® §¢'燐ª, é® ÷á-ãõ ¬÷¦ ¡÷- à-¨¬¨ ¢÷¤- -®è¥--ﬨ â ª« á¨ç-¨¬ ¯®-ïââï¬ äã-ªæ÷ù, 瘟 ¢÷¤®¬¥ § ªãàáã ¬ ⥬ - â¨ç-®£® - «÷§ã (â §÷ èª÷«ì-®£® ªãàáã ¬ ⥬ ⨪¨).
Ž§- ç¥--ï 3.11. Ž¡« áâî ¢¨§- ç¥--ï ¢÷¤-®è¥--ï R : A ! B - §¨-
¢ îâì ¬-®¦¨-ã
DR = fx 2 A: 9y 2 B : xRyg:
Ž¡« áâî §- ç¥-ì (®¡à §®¬) ¢÷¤-®è¥--ï R: A ! B - §¨¢ îâì ¬-®¦¨-ã
ImR = fy 2 B : 9x 2 A: xRyg:
53
•®§¤÷« 3. ’¥®à÷ï ¢÷¤-®è¥-ì
‚¯à ¢ 3.16. „®¢¥áâ¨: DR = ImR¡1 .
Ž§- ç¥--ï 3.12. •÷- à-¥ ¢÷¤-®è¥--ï R: A ! B - §¨¢ îâì áîà'õª-
⨢-¨¬, ïªé®
8y 2 B 9x 2 A: xRy:
‚¯à ¢ 3.17. „®¢¥áâ¨: (R { áîà'õªâ¨¢-¥) , (ImR = B).
Ž§- ç¥--ï 3.13. •÷- à-¥ ¢÷¤-®è¥--ï R: A ! B - §¨¢ îâì ÷-'õªâ¨-
¢-¨¬, ïªé®
((x1Ry) ^ (x2Ry)) ) (x1 = x2):
•÷- à-¥ ¢÷¤-®è¥--ï R: A ! B - §¨¢ îâì äã-ªæ÷®- «ì-¨¬, ïªé®
((xRy1) ^ (xRy2)) ) (y1 = y2):
‚¯à ¢ 3.18. „®¢¥áâ¨: (R { ÷-'õªâ¨¢-¥) , (R¡1 { äã-ªæ÷®- «ì-¥).
„ «÷ ¢¢ ¦ ⨬¥¬®, é® äã-ªæ÷®- «ì-®¬ã ¢÷¤-®è¥--î Rf : A ! B ¢÷¤¯®¢÷¤ õ äã-ªæ÷ï f : A ! B (Rf ¿ f), â ª , é®:
Df = DRf ; (f(x) = y) , (xRf y):
•à¨ª« ¤ 3.26. •®§£«ï-¥¬® ¢÷¤-®è¥--ï R: R ! R, (xRy) ,(y = x2).
•¥§¯®б¥а¥¤-м® ¯¥а¥¢чапхвмбп, й® R { äã-ªæ÷®- «ì-¥ ¢÷¤-®è¥--ï, 类¬ã ¢÷¤¯®¢÷¤ õ äã-ªæ÷ï f(x) = x2. •à®â¥ ®¡¥à-¥-¥ ¢÷¤-®è¥--ï R¡1 -¥ õ äã-ª- æ÷®- «ì-¨¬, ®áª÷«ìª¨ R -¥ ÷-'õªâ¨¢-¥ (1R1, (¡1)R1, «¥ 1 6= ¡1).
‡ ¢¨§- ç¥-ì -¥£ ©-® ¢¨¯«¨¢ õ, é® ª®¬¯®§¨æ÷ù ¢÷¤-®è¥-ì ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ª®¬¯®§¨æ÷ï äã-ªæ÷©, ®¡¥à-¥-®¬ã ÷-'õªâ¨¢-®¬ã ¢÷¤-®è¥--î { ®¡¥à-¥- äã-ªæ÷ï:
(Rf ± Rg) ¿ (g ± f); (Rf : A ! B; Rg : B ! C { äã-ªæ÷®- «ì-÷); (Rf )¡1 ¿ f¡1; (Rf { ÷-'õªâ¨¢-¥ â äã-ªæ÷®- «ì-¥):
‡ 㢠¦¥--ï 3.3. ™¥ à § §¢¥à-÷¬® 㢠£ã - â¥, é® ¤«ï § ¯¨áã ª®¬- ¯®§¨æ÷ù ¢÷¤-®è¥-ì ¯à¨©-ïâ® ¯àﬨ© ¯®à冷ª § ¯¨áã, ¤«ï ª®¬¯®§¨æ÷ù äã-ªæ÷© { §¢®à®â-¨© (¤¨¢. § ã¢. 3.1).
54
3.7. ”ã-ªæ÷ï ïª ®ªà¥¬¨© ¢¨¯ ¤®ª ¢÷¤-®è¥--ï
’¥®à¥¬ 3.4. Š®¬¯®§¨æ÷ï áîà'õªâ¨¢-¨å ¢÷¤-®è¥-ì õ áîà'õªâ¨¢-¨¬ ¢÷¤-®è¥--ï¬, ª®¬¯®§¨æ÷ï ÷-'õªâ¨¢-¨å ¢÷¤-®è¥-ì õ ÷-'õªâ¨¢-¨¬ ¢÷¤-®- è¥--ï¬, ª®¬¯®§¨æ÷ï äã-ªæ÷®- «ì-¨å ¢÷¤-®è¥-ì õ äã-ªæ÷®- «ì-¨¬ ¢÷¤- -®è¥--ï¬.
„®¢¥¤¥--ï. •¥å © R : A ! B, S : B ! C. ’®¤÷ ¢¨§- ç¥- ª®¬¯®§¨æ÷ï
R ± S : A ! C.
1. •¥å © R, S { áîà'õªâ¨¢-÷. „®¢¥¤¥¬® áîà'õªâ¨¢-÷áâì R ± S.
•¥å © z 2 C. ‡ ¢¤ïª¨ áîà'õªâ¨¢-®áâ÷ S §- ©¤¥âìáï y 2 B, â ª¨©, é® ySz. „ «÷, § ¢¤ïª¨ áîà'õªâ¨¢-®áâ÷ R §- ©¤¥âìáï x 2 A, â ª¨©, é® xRy. Žâ¦¥, x(R ± S)z.
2. •¥å © R, S { ÷-'õªâ¨¢-÷. „®¢¥¤¥¬® ÷-'õªâ¨¢-÷áâì R ± S.
•¥å © x1(R ± S)z, x2(R ± S)z. ’®¤ч, § ¢¨§- з¥--п¬ ª®¬¯®§¨жчщ, §- ©- ¤гвмбп y1; y2 2 B, â ª÷, é® x1Ry1, x2Ry2, y1Sz â y2Sz. „ «÷, § ¢¤ïª¨ ÷-'õªâ¨¢-®áâ÷ S, y1 = y2 = y. Žâ¦¥, x1Ry â x2Ry, §¢÷¤ª¨, § ¢¤ïª¨ ÷-'õª- ⨢-®áâ÷ R, ¬ õ¬®: x1 = x2.
3. •¥å © R, S { äã-ªæ÷®- «ì-÷. „®¢¥¤¥--ï äã-ªæ÷®- «ì-®áâ÷ R ± S § «¨è õ¬® ïª ¢¯à ¢ã. 
‚¯à ¢ 3.19. „®¢¥á⨠äã-ªæ÷®- «ì-÷áâì R ± S á ¬®áâ÷©-®.
‚ª §÷¢ª . „®¢¥¤¥--ï §¢®¤¨âìáï ¤® ¯ã-ªâã 2 § ¢¨ª®à¨áâ --ï¬ à¥§ã«ì- â âã ¢¯à ¢¨ 3.18, ïªé® ᯮç âªã ¤®¢¥á⨠¯à®áâã â®â®¦-÷áâì:
(R ± S)¡1 = S¡1 ± R¡1:
„ «÷, ïªé® -¥ ¢¨-¨ª õ -¥¯®à®§ã¬÷-ì, ¡ã¤¥¬® ®â®â®¦-î¢ â¨ äã-ªæ÷- |
|
®- «ì-¥ ¢÷¤-®è¥--ï Rf â ¢÷¤¯®¢÷¤-ã äã-ªæ÷î f. |
|
Ž§- ç¥ |
--ï 3.14. ”ã-ªæ÷î f : A ! B - §¨¢ îâì ¢÷¤®¡à ¦¥--ï¬, |
ïªé® ¢®- ¢¨§- ç¥- ¤«ï ¢á÷å x 2 A, ⮡⮠Df = A. |
|
‚¯à ¢ |
3.20. •¥å © Rf { äã-ªæ÷®- «ì-¥ ¢÷¤-®è¥--ï. „®¢¥áâ¨: |
|
(f { ¢÷¤®¡à ¦¥--ï) , ((Rf )¡1 { áîà'õªâ¨¢-¥): |
•÷¤ªà¥á«¨¬®, é® ¢÷¤-®è¥--ï (Rf )¡1 ¬®¦¥ -¥ ¡ã⨠äã-ªæ÷®- «ì-¨¬. |
|
‚¯à ¢ |
3.21. „®¢¥áâ¨, é® ª®¬¯®§¨æ÷ï ¢÷¤®¡à ¦¥-ì õ ¢÷¤®¡à ¦¥--ï¬. |
55
•®§¤÷« 3. ’¥®à÷ï ¢÷¤-®è¥-ì
‡ г¢ ¦¥--п 3.4. “ «чв¥а вгач §гбвачз овмбп ач§-ч ¢¨§- з¥--п ¤«п ¯®- -пвм дг-ªжчщ в ¢ч¤®¡а ¦¥--п: - ©з бвчи¥ жч ¯®-пввп ¢¨§- з овм в ª б ¬®, пª ч ¢ жм®¬г ¯®бч¡-¨ªг, ¯а®в¥ ч-®¤ч щ¬ - ¤ овм ¤¥й® ч-и®£® б¥-бг (в ª, ч-ª®«¨ ¯®-пввп дг-ªжчщ в ¢ч¤®¡а ¦¥--п ®в®в®¦-оовм). Ž¯а жм®- ¢гоз¨ «чв¥а вгаг § жчхщ в¥¬¨ б«ч¤ §¢¥ав в¨ г¢ £г, пª б ¬¥ ¢в®а ¢¨§- з х дг-ªжчо в ¢ч¤®¡а ¦¥--п.
Ž§- ç¥--ï 3.15. ö-'õªæ÷õî - §¨¢ îâì ¢÷¤®¡à ¦¥--ï, é® ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ÷-'õªâ¨¢-®¬ã äã-ªæ÷®- «ì-®¬ã ¢÷¤-®è¥--î; áîà'õªæ÷õî - §¨¢ îâì ¢÷¤®- ¡à ¦¥--ï, é® ¢÷¤¯®¢÷¤ õ áîà'õªâ¨¢-®¬ã äã-ªæ÷®- «ì-®¬ã ¢÷¤-®è¥--î; ¡÷õªæ÷õî (¢§ õ¬-® ®¤-®§- ç-¨¬ ¢÷¤®¡à ¦¥--ï¬) - §¨¢ îâì ¢÷¤®¡à ¦¥-- -ï, 瘟 õ ¢®¤-®ç á ÷-'õªæ÷õî â áîà'õªæ÷õî.
‚¯à ¢ 3.22. „®¢¥áâ¨:
²ïªé® äã-ªæ÷®- «ì-¥ ¢÷¤-®è¥--ï Rf ¢¨§- ç õ ¡÷õªæ÷î f, â® ®¡¥à- -¥-¥ ¢÷¤-®è¥--ï (Rf )¡1 â ª®¦ õ äã-ªæ÷®- «ì-¨¬ ÷ ¢¨§- ç õ ¡÷õª- æ÷î f¡1;
²ª®¬¯®§¨æ÷ï ¡÷õªæ÷© õ ¡÷õªæ÷õî.
•à¨ª« ¤ 3.27. 1. f : R ! R, f(x) = x2. ‚÷¤®¡à ¦¥--ï f -¥ õ -÷ ÷-'õªæ÷õî (f(1) = f(¡1)), -÷ áîà'õªæ÷õî (f(x) ¸ 0).
2. f : R ! [0; 1), f(x) = x2. ‚÷¤®¡à ¦¥--ï f õ áîà'õªæ÷õî, «¥ -¥ õ
÷-'õªæ÷õî.
3. f : [0; 1) ! R, f(x) = x2. ‚÷¤®¡à ¦¥--ï f õ ÷-'õªæ÷õî, «¥ -¥ õ
áîà'õªæ÷õî. 2
4. f : [0; 1) ! [0; 1), f(x) = x . ‚÷¤®¡à ¦¥--ï f õ ¡÷õªæ÷õî.
56
•®§¤÷« 4
…«¥¬¥-⨠ª®¬¡÷- â®à¨ª¨
4.1.Žá-®¢-÷ ¯à¨-樯¨ ª®¬¡÷- â®à¨ª¨.
‡ £ «ì-¥ ¢¨§- ç¥--ï ¢¨¡÷ન
Ž¡'õªâ ¢¨¢ç¥--ï ª®¬¡÷- â®à¨ª¨ { æ¥ ¢¨¡÷à ¥«¥¬¥-â÷¢ ÷§ áª÷-ç¥--®ù ¬-®¦¨-¨ §£÷¤-® ÷§ § ¤ -¨¬¨ ¯à ¢¨« ¬¨.
4.1.1. Žá-®¢-÷ ¯à¨-樯¨ ª®¬¡÷- â®à¨ª¨
1. •à¨-樯 ¤®¡ãâªã. •¥å © ¤¥ïªã ¤÷î ¬®¦- ஧¡¨â¨ - n ¯®á«÷-
¤®¢-¨å -¥§ «¥¦-¨å ¯÷¤¤÷©, ¯à¨ç®¬ã ª®¦-ã ¯÷¤¤÷î j ¬®¦- ¢¨ª®- ⨠kj ᯮᮡ ¬¨ (j = 1; : : : ; n). ’®¤÷ ¢¨å÷¤-ã ¤÷î ¬®¦- ¢¨ª®- ⨠k1k2 : : : kn
ᯮᮡ ¬¨. |
|
|
|
Ž¡óàã-â㢠--ï ¯à¨-樯㠤®¡ãâªã §¢®¤¨âìáï ¤® ¯÷¤à åã-ªã ¯®âã¦- |
|||
-®áâ÷ ¤¥ª à⮢®£® ¤®¡ãâªã áª÷-ç¥--®ù ª÷«ìª®áâ÷ áª÷-ç¥--¨å ¬-®¦¨-. •÷¤- |
|||
ªà¥á«¨¬®, é® ¯¥à¥¤ã¬®¢®î ª®à¥ªâ-®£® § áâ®á㢠--ï ¯à¨-樯㠤®¡ãâªã |
|||
õ -¥§ «¥¦-÷áâì kj |
¢÷¤ ⮣®, 直¬ á ¬¥ ᯮᮡ®¬ ¡ã«¨ ¢¨ª®- -÷ ¯®¯¥à¥¤-÷ |
||
j ¡ 1 ¯÷¤¤÷©. |
|
|
|
•à¨ª« ¤ 4.1. |
•®§£«ï-¥¬® ¤®¡à¥ ¢÷¤®¬ã ¬®¤¥«ì, áâ -¤ àâ-ã ¤«ï ¡ - |
||
£ âì®å ª®¬¡÷- â®à-¨å ®¡'õªâ÷¢. |
m ç®à-¨å -㬥஢ -¨å ªã«ì, |
||
•¥å © ¢ ãà-÷ |
¬чбвпвмбп n ¡÷«¨å â |
||
n; m ¸ 2. ‘ª÷«ìª®¬ |
ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦- |
¯®á«÷¤®¢-® ¢¨âï£â¨ 2 ªã«÷ â ª, |
|
鮡 ¯¥àè ¢¨âï£-ãâ |
ªã«ï ¢¨ï¢¨« áï ¡÷«®î, ¤à㣠{ ç®à-®î? |
||
57
•®§¤÷« 4. …«¥¬¥-⨠ª®¬¡÷- â®à¨ª¨
‚¨еч¤- ¤чп (¢¨вп£г¢ --п ¤¢®е ªг«м) ஧¯ ¤ хвмбп - ¤¢ч ¯®б«ч¤®¢-ч -¥§ «¥¦-ч ¯ч¤¤чщ { ¢¨вп£г¢ --п ¡ч«®щ ªг«ч в ¢¨вп£г¢ --п з®а-®щ ªг«ч.
•¥àè ¯÷¤¤÷ï ¬®¦¥ ¡ã⨠¢¨ª®- - n ᯮᮡ ¬¨, ¤à㣠(-¥§ «¥¦-® ¢÷¤
ᯮᮡ㠢¨ª®- --ï ¯¥àè®ù ¯÷¤¤÷ù, ⮡⮠¢÷¤ ⮣®, ïªã á ¬¥ ¡÷«ã ªã«î ¡ã«® ¢¨âï£-ãâ® ¯¥àè®î ¯÷¤¤÷õî) { m ᯮᮡ ¬¨. Žâ¦¥, ïª ¢¨¯«¨¢ õ §
¯à¨-樯㠤®¡ãâªã, ¢¨å÷¤- ¤÷ï ¬®¦¥ ¡ã⨠¢¨ª®- - nm ᯮᮡ ¬¨.
2. •à¨-樯 á㬨. •¥å © ¬-®¦¨-ã ᯮᮡ÷¢ ¢¨ª®- --ï ¤¥ïª®ù ¤÷ù ¬®¦-
-஧¡¨â¨ - k ¯ч¤¬-®¦¨-, й® ¯®¯ а-® -¥ ¯¥а¥ач§ овмбп, ¯а¨з®¬г ¢
ª®¦-÷© j-© ¬-®¦¨-÷ ¬÷áâ¨âìáï nj
¬®¦- ¢¨ª®- ⨠n1 + n2 + ¢ ¢ ¢ + nk ᯮᮡ ¬¨.
Ž¡óàã-â㢠--ï ¯à¨-樯ã á㬨 §¢®¤¨âìáï ¤® ¯÷¤à åã-ªã ¥«¥¬¥-â÷¢ ¢ |
||
®¡'õ¤- --÷ áª÷-ç¥--®ù ª÷«ìª®áâ÷ áª÷-ç¥--¨å ¬-®¦¨-, é® ¯®¯ à-® -¥ ¯¥à¥- |
||
ач§ овмбп. |
|
|
•а¨ª« ¤ 4.2. •¥е © ¢ га-ч ¬чбвпвмбп n ¡÷«¨å, m ç®à-¨å â |
k ç¥à- |
|
¢®-¨å -㬥஢ -¨å ªã«ì, n; m; k ¸ 2. ‘ª÷«ìª®¬ ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦- |
¯®á«÷- |
|
¤®¢-® ¢¨âï£â¨ 2 ªã«÷ â ª, 鮡 ¯¥àè ÷ â÷«ìª¨ ¯¥àè |
¢¨âï£-ãâ ªã«ï ¡ã« |
|
¡÷«®î? |
|
|
Œ-®¦¨-ã ᯮᮡ÷¢ ¢¨ª®- --ï ¢¨å÷¤-®ù ¤÷ù ¬®¦- |
஧¡¨â¨ - ¤¢÷ ¯÷¤- |
|
¬-®¦¨-¨, й® -¥ ¯¥а¥ач§ овмбп { ¯ч¤¬-®¦¨- б¯®б®¡ч¢, ª®«¨ ¤аг£ |
ªã«ï |
|
¡ã¤¥ ç®à-®î, â ¯÷¤¬-®¦¨- , ª®«¨ ¤à㣠ªã«ï õ ç¥à¢®-®î. •¥àè ¯÷¤¬-®- ¦¨- , § ¯à¨-樯®¬ ¤®¡ãâªã, ¬÷áâ¨âì nm ¥«¥¬¥-â÷¢, ¤à㣠{ nk ¥«¥¬¥--
â÷¢. Žâ¦¥, ïª ¢¨¯«¨¢ õ § ¯à¨-樯ã á㬨, ¢¨å÷¤-ã ¤÷î ¬®¦- ¢¨ª®- ⨠nm + nk ᯮᮡ ¬¨.
A = fa1; a2; : : : ; ang
¯®âà÷¡-® ஧¬÷áâ¨â¨ ¯® m ª®¬÷ઠå, ¯à¨ç®¬ã n > m. ’®¤÷ ¯à¨- ©¬-÷ ®¤- § ª®¬÷ப ¡ã¤¥ ¬÷áâ¨â¨ ¡÷«ìè¥ ®¤-®£® ¥«¥¬¥-â .
•à¨ª« ¤ 4.3. 1. •¥å © 5 áâ㤥-â÷¢ ᪫ ¤ îâì ÷ᯨ⠧ áâ -¤ àâ-®î ç®â¨à¨¡ «ì-®î á¨á⥬®î («¢÷¤¬÷--®», «¤®¡à¥», «§ ¤®¢÷«ì-®», «-¥§ ¤®¢÷- «ì-®»). ’®¤÷ § ¯à¨-樯®¬ „÷à÷å«¥ ¯à¨- ©¬-÷ ¤¢ áâ㤥-⨠®âਬ îâì
®¤- ª®¢÷ ®æ÷-ª¨. |
|
|
2. ‡£÷¤-® § ¯à¨-樯®¬ „÷à÷å«¥ ¢ ¬÷áâ÷ Š¨õ¢÷ 2004 ப㠬¥èª «¨ ¯à¨- |
- ©¬-÷ ¤¢÷ «î¤¨-¨ § ®¤- ª®¢®î ª÷«ìª÷áâî ¢®«®á¨- - £®«®¢÷ (®áª÷«ìª¨ |
|
- |
2004 à÷ª - ᥫ¥--ï Š¨õ¢ ¯¥à¥¢¨é㢠«® ¬®¦«¨¢ã ª÷«ìª÷áâì ¢®«®á¨- |
- |
£®«®¢÷ «î¤¨-¨). |
58