Spektorsky_diskretka

7.8. ƒ®¬®¬®àä÷§¬¨ ª÷«¥æì

‚¯à ¢ 7.12. „®¢¥áâ¨, é® ª÷«ìæï V3 â V5 -¥÷§®¬®àä-÷.

Ž§- ç¥--ï 7.10. Ÿ¤à®¬ £®¬®¬®àä÷§¬ã f : R1 ! R2 - §¨¢ îâì ¬-®- ¦¨-ã Kerf ½ R1, é® ¬÷áâ¨âì â÷ ÷ â÷«ìª¨ â÷ x 2 R1, ¤«ï 直å f(x) = 0:

Kerf = fx 2 R1 : f(x) = 0g:

‡ §- 稬®, é® ï¤à® £®¬®¬®àä÷§¬ã ª÷«¥æì § ¢¦¤¨ ¬÷áâ¨âì ¯à¨- ©¬-÷ ®¤¨- ¥«¥¬¥-â: 0 2 R1, ®áª÷«ìª¨ f(0) = 0. Ÿ¤à® Kerf , é® ¬÷áâ¨âì «¨è¥

®¤¨- ¥«¥¬¥-â (Kerf = f0g), - §¨¢ îâì âਢ÷ «ì-¨¬. •à®á⨬ - á«÷¤ª®¬ ÷§ ⥮६¨ 6.16 õ ⥮६ 7.7.

’¥®à¥¬ 7.7. ƒ®¬®¬®àä÷§¬ ª÷«¥æì f : R1 ! R2 õ ¬®-®¬®àä÷§¬®¬ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ï¤à® Kerf âਢ÷ «ì-¥.

•à¨ª« ¤ 7.19. 1. •¥å © O : R1 ! R2 { -ã«ì®¢¨© £®¬®¬®à- ä÷§¬ ÷§ -¥-ã«ì®¢®£® ª÷«ìæï hR1; +; ¢i ã ª÷«ìæ¥ hR2; +; ¢i. Žç¥¢¨¤-®, é®

õ ¬®-®¬®àä÷§¬®¬.

3. •®§£«ï-¥¬® ¢÷¤®¡à ¦¥--ï ÷§ ª÷«ìæï ¬-®£®ç«¥-÷¢ § ¤÷©á-¨¬¨ ª®¥ä÷- æ÷õ-â ¬¨ ¢ ª÷«ìæ¥ ¤÷©á-¨å ç¨á¥«, é® ¤÷õ § § ª®-®¬:

f : R[x] ! R; f : p(x) 7!p(0) (p(x) 2 R[x]):

‹¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® f õ £®¬®¬®àä÷§¬®¬, ï¤à® 类£® ¬ õ ¢¨£«ï¤

Kerf = fp(x) 2 R[x]: p(0) = 0g:

Ÿ¤à® Kerf , ®ç¥¢¨¤-®, -¥ õ âਢ÷ «ì-¨¬, ÷ ஧£«ï-ã⨩ £®¬®¬®àä÷§¬ f -¥ õ ¬®-®¬®àä÷§¬®¬.

’¥®à¥¬ 6.17 â ª®¦ ¬ õ - «®£ ã ⥮à÷ù ª÷«¥æì.

’¥®à¥¬ 7.8. •¥å © f : R1 ! R2 { £®¬®¬®àä÷§¬ ¬÷¦ ª÷«ìæﬨ hR1; +; ¢i â hR2; +; ¢i. ’®¤÷:

199

•®§¤÷« 7. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù ª÷«¥æì

1)ï¤à® Kerf õ ÷¤¥ «®¬ ã R1;

2)®¡à § Imf õ ¯÷¤ª÷«ì楬 ã R2.

„®¢¥¤¥--ï. 1. „®¢¥¤¥¬®, é® ï¤à® Kerf õ ÷¤¥ «®¬ ã R1:

²§ ⥮६¨ 6.17 ¢¨¯«¨¢ õ, é® Kerf õ ¯÷¤£àã¯®î ¢ hR1; +i;

²§ ä÷ªá㢠¢è¨ r 2 R1, j 2 Kerf , ®âਬãõ¬®:

f(rj) = f(r) ¢ f(j) = f(r) ¢ 0 = 0; f(jr) = f(j) ¢ f(r) = 0 ¢ f(r) = 0:

’ ª¨¬ ç¨-®¬, rj 2 Kerf â jr 2 Kerf .

Žâ¦¥, Kerf § ¤®¢®«ì-ïõ ®¡¨¤¢÷ ¢¨¬®£¨ ®§- ç¥--ï ÷¤¥ «ã ª÷«ìæï.

2. „®¢¥¤¥¬®, é® Imf õ ¯÷¤ª÷«ì楬 ã R2. ‡ ⥮६¨ 6.17 ¢¨¯«¨¢ õ, é® Imf õ ¯÷¤£àã¯®î ¢ hR2; +i. •¥à¥¢÷ਬ® § ¬ª-¥-÷áâì Imf ¢÷¤-®á-® ¬-®- ¦¥--ï. ‡ ä÷ªáãõ¬® ¤®¢÷«ì-÷ y1; y2 2 Imf ; ¢à 客ãîç¨ ¢¨§- ç¥--ï ®¡à §ã ¢÷¤®¡à ¦¥--ï, ¢¢ ¦ ⨬¥¬®, é® y1 = f(x1); y2 = f(x2), ¤¥ x1; x2 2 R1. „«ï ¤®¡ãâªã f(x1) ¢ f(x2) ®âਬãõ¬®

f(x1) ¢ f(x2) = f(x1 ¢ x2) 2 Imf :

Žâ¦¥, § ⥮६®î 7.1, Imf { ¯÷¤ª÷«ìæ¥ ª÷«ìæï R2.

‚¯à ¢ 7.13. •¥à¥¢÷à¨â¨ ⢥द¥--ï ⥮६¨ 7.8 - £®¬®¬®àä÷§¬ å § ¯à¨ª«. 7.19.

7.9. ’¥®à¥¬ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ ª÷«¥æì

“ ⥮à÷ù ª÷«¥æì â ª®¦ ÷á-ãõ ⥮६ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ { - «®£ ¢÷¤- ¯®¢÷¤-®ù ⥮६¨ ¢ ⥮à÷ù £àã¯. Ÿª ÷ ¢ ⥮à÷ù £àã¯, ⥮६ ¯à® £®¬®- ¬®àä÷§¬¨ ª÷«¥æì ¢áâ -®¢«îõ §¢'燐ª ¬÷¦ £®¬®¬®àä÷§¬ ¬¨, ÷¤¥ « ¬¨ â ä ªâ®à-ª÷«ìæﬨ.

•¥å © f : R1 ! R2 { £®¬®¬®àä÷§¬ ¬÷¦ ª÷«ìæﬨ hR1; +; ¢i â hR2; +; ¢i.

• £ ¤ õ¬®:

200

7.9. ’¥®à¥¬ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ ª÷«¥æì

’¥®à¥¬ 7.9 (®á-®¢±- ⥮६ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ ª÷«¥æì).

1. ” ªâ®à-ª÷«ìæ¥ R1 Kerf § ï¤à®¬ Kerf ÷§®¬®àä-¥ ®¡à §ã Imf :

R1±Kerf » Imf :

2. öá-ãõ â ª¨© ÷§®¬®àä÷§¬ f: R1±Kerf ! Imf , é®

f ± r = f;

¡ã«® ¤®¢¥¤¥-®,- é®± ¢÷¤®¡à ¦¥--ï f § ¤ -® ª®à¥ªâ-® ÷ õ ÷§®¬®àä÷§¬®¬± ¬÷¦ £à㯠¬¨ R1 J ; + â hImf ; +i. • à¥èâ÷, ¤«ï ¤®¢÷«ì-¨å x1; x2 2 R1 J ®âਬãõ¬®

f(x1 ¢ x2) = f(x1 ¢ x2) = f(x1 ¢ x2) = f(x1) ¢ f(x2) = f(x1) ¢ f(x2):

’¥®à¥¬ã ¯®¢-÷áâî ¤®¢¥¤¥-®.

•à¨ª« ¤ 7.20. “ ª÷«ìæ÷ ¬-®£®ç«¥-÷¢ R[x] ஧£«ï-¥¬® £®«®¢-¨© ÷¤¥ « (x ¡ a), a 2 R. „«ï § áâ®á㢠--ï ⥮६¨ 7.9 ஧£«ï-¥¬® £®¬®¬®àä÷§¬ f ÷§ ª÷«ìæï R[x] ã ª÷«ìæ¥ ¤÷©á-¨å ç¨á¥«:

f : R[x] ! R; f(p(¢)) = p(a)

(¢¨ª®à¨áâ --ï ᨬ¢®«ã «¢» ¢ § ¯¨áã f(p(¢)) ®§- ç õ, é® à£ã¬¥-⮬ ¢÷-

Kerf = fp(x) 2 R[x]: p(a) = 0g = (x ¡ a);

Imf = fp(a): p(x) 2 R[x]g = R:

201

•®§¤÷« 7. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù ª÷«¥æì

Žâ¦¥, § ⥮६®î 7.9 ®âਬãõ¬®

±

R[x] (x¡a) » R:

³´

f p(¢) = f(p(¢)) = p(a):

±

Žâ¦¥, ª®¦¥- áã¬÷¦-¨© ª« á Aa ä ªâ®à-ª÷«ìæï R[x] (x¡a) ¬÷áâ¨âì ¬-®- £®ç«¥-¨ § ®¤- ª®¢¨¬ §- ç¥--ï¬ a ã â®çæ÷ a:

±

R[x] (x¡a) = fAa : a 2 Rg; Aa = fp(x) 2 R[x]: p(a) = ag:

•à¨ª« ¤ 7.21. “ ª÷«ìæ÷ ¬-®£®ç«¥-÷¢ R[x] ஧£«ï-¥¬® £®«®¢-¨© ÷¤¥ « (x2 + 1). „«ï § áâ®á㢠--ï ⥮६¨ 7.9 ஧£«ï-¥¬® £®¬®¬®àä÷§¬ f ÷§ ª÷«ìæï R[x] ã ª÷«ìæ¥ ª®¬¯«¥ªá-¨å ç¨á¥«:

f : R[x] ! C; f(p(¢)) = p(i)

(§ 㢠¦¨¬®, é® ¤«ï p(x) 2 R[x] ¬ õ¬® à÷¢-÷áâì: jp(i)j = jp(¡i)j). ‹¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ï¤à® â ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã f ¬ îâì â ª¨© ¢¨£«ï¤:

Kerf = fp(¢) 2 R[x]: p(i) = p(¡i) = 0g = (x2 + 1);

Imf = fp(i): p(¢) 2 R[x]g = C:

Žâ¦¥, § ⥮६®î 7.9 ¤÷áâ -¥¬®

R[x]±(x2+1) » C:

‡ 㢠¦¥--ï 7.9. Žâਬ -¨© १ã«ìâ â ¬®¦- 㧠£ «ì-¨â¨ - ¢¨¯ - ¤®ª £®«®¢-®£® ÷¤¥ «ã (ax2 + bx + c), ¤¥ a 6= 0 â ¬-®£®ç«¥- ax2 + bx + c

-¥ ¬ õ ¤÷©á-¨å ª®à¥-÷¢:

R[x]±(ax2+bx+c) » C:

202

7.9. ’¥®à¥¬ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ ª÷«¥æì

•à¨ª« ¤ 7.22. “ ª÷«ìæ÷ ¬-®£®ç«¥-÷¢ R[x] ஧£«ï-¥¬® £®«®¢-¨© ÷¤¥- « ((x ¡ a)(x ¡ b)), ¤¥ a; b 2 R, a 6= b. „«ï § áâ®á㢠--ï ⥮६¨ 7.9 ஧£«ï-¥¬® £®¬®¬®àä÷§¬ f ÷§ ª÷«ìæï R[x] ã ª÷«ìæ¥ ¬ âà¨æì:

µµa 0¶¶ f : R[x] ! M2£2; f : p(¢) 7!p 0 b :

(¤®¤ ¢ --ï â ¬-®¦¥--ï ¢ ª÷«ìæ÷ ¤÷ £®- «ì-¨å ¬ âà¨æì ¢¢ ¦ õ¬® ¯à¨- த-¨¬¨).

203

•®§¤÷« 7. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù ª÷«¥æì

•à¨ª« ¤ 7.23. “ ª÷«ìæ÷ ¬-®£®ç«¥-÷¢ R[x] ஧£«ï-¥¬® £®«®¢-¨© ÷¤¥ « ((x ¡ a)2), ¤¥ a 2 R. „«ï § áâ®á㢠--ï ⥮६¨ 7.9 ஧£«ï-¥¬® â ª¨©

‡ 㢠¦¥--ï 7.10. “ ªãàá÷ «÷-÷©-®ù «£¥¡à¨ (¤¨¢. [16]) ¤®¢¥¤¥-® ä®à¬ã- «ã ⨯ã (7.8) ¤«ï äã-ªæ÷© ¢÷¤ ¦®à¤ -®¢¨å ¬ âà¨æì ¤®¢÷«ì-®£® ¯®à浪ã.

’¥¯¥à, § ¤®¯®¬®£®î ä®à¬ã«¨ (7.8), «¥£ª® ®¡ç¨á«¨â¨ ï¤à® â ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã f:

Žâ¦¥, § ⥮६®î 7.9, ®âਬãõ¬®

204

7.10. Œ ªá¨¬ «ì-÷ ÷¤¥ «¨

7.10. Œ ªá¨¬ «ì-÷ ÷¤¥ «¨

•®§£«ï-¥¬® ᯥæ÷ «ì-¨© ª« á ÷¤¥ «÷¢, 直© ¢÷¤÷£à õ ¤ã¦¥ ¢ ¦«¨¢ã ஫ì ã ¢¨¢ç¥--÷ ®¡« á⥩ æ÷«÷á-®áâ÷.

•¥å © hR; +; ¢i { ®¡« áâì æ÷«÷á-®áâ÷.

Ž§- ç¥--ï 7.11. •¥âਢ÷ «ì-¨© ÷¤¥ « J ®¡« áâ÷ æ÷«÷á-®áâ÷ hR; +; ¢i - §¨¢ îâì ¬ ªá¨¬ «ì-¨¬, ïªé® ¢ hR; +; ¢i -¥ ÷á-ãõ ÷¤¥ «ã J1, â ª®£®, é®

J $ J1 =6 R:

•à¨ª« ¤ 7.24. 1. Š÷«ìæ¥ æ÷«¨å ç¨á¥« Z õ ª÷«ì楬 £®«®¢-¨å ÷¤¥ «÷¢ (¤¨¢. ¯à¨ª«. 7.16), ®â¦¥, ¬÷áâ¨âì «¨è¥ ÷¤¥ «¨ (n), n 2 Z. ‹¥£ª® §à®§ã- ¬÷â¨, é® -¥âਢ÷ «ì-¨© ÷¤¥ « nZ (n ¸ 2) õ ¬ ªá¨¬ «ì-¨¬ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ç¨á«® n ¯à®áâ¥. ’ ª, ÷¤¥ «¨ 2Z, 3Z, 5Z ¬ ªá¨¬ «ì-÷, ®¤- ª

6Z ½ 2Z â 6Z ½ 3Z.

2. Š÷«ìæ¥ R[x] ¬-®£®з«¥-ч¢ § ¤ч©б-¨¬¨ ª®¥дчжчх-в ¬¨ х ªч«мж¥¬ £®- «®¢-¨е ч¤¥ «ч¢ (¤¨¢. ¯а¨ª«. 7.16), ®â¦¥, ¬÷áâ¨âì «¨è¥ ÷¤¥ «¨ (p(x)), p(x) 2 R[x]. ‹¥£ª® §à®§ã¬÷â¨, é® ÷¤¥ « (p(x)) ¬ ªá¨¬ «ì-¨© ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ¬-®£®ç«¥- p(x) ¬ õ ¢¨£«ï¤:

²p(x) = a1x + a0 (a1 =6 0);

²p(x) = a2x2 + a1x + a0 (D = a21 ¡ 4a2a0 < 0),

⮡⮠ª®«¨ p(x) -¥ ¬®¦- ஧ª« á⨠¢ ¤®¡ã⮪ ¬-®£®ç«¥-÷¢ -¥-ã«ì®¢®£®

‡ 㢠¦¥--ï 7.11. ‹¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ¢ ª÷«ìæ÷ R[x] ÷¤¥ «¨ (p(x)) â

(a¢p(x)) §¡ч£ овмбп ¤«п ¡г¤м-пª®£® a =6 0 (¤¨¢. ¢¯à ¢ã 7.10), é® ¤®§¢®«ïõ

¤«п § ¯¨бг £®«®¢-®£® ч¤¥ «г ®¡¨а в¨ ¬-®£®з«¥- § ®¤¨-¨з-¨¬ ª®¥дчжчх-- ⮬ г з«¥-ч бв аи®£® бв¥¯¥-п. ’ ª, - ¯а¨ª« ¤,

•¥§ã«ìâ ⨠¯à¨ª«. 7.24 õ - á«÷¤ª®¬ ¯®¤ -®ù -¨¦ç¥ ⥮६¨ 7.10.

’¥®à¥¬ 7.10. “ ª÷«ìæ÷ £®«®¢-¨å ÷¤¥ «÷¢ hR; +; ¢i -¥âਢ÷ «ì-¨© ÷¤¥-

« (r) ¬ ªá¨¬ «ì-¨© ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ¥«¥¬¥-â r 2 R -¥ ¬®¦-

§®¡à §¨â¨ ã ¢¨£«ï¤÷ ¤®¡ãâªã ¤¢®å -¥®¡®à®â-¨å ¥«¥¬¥-â÷¢ (â ª¨© ¥«¥- ¬¥-â r - §¨¢ îâì ¯à®á⨬).

205

•®§¤÷« 7. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù ª÷«¥æì

„®¢¥¤¥--ï. 1. •¥å © r 2 R { ¯à®á⨩ ¥«¥¬¥-â. ‡ ä÷ªáãõ¬® r1 2 R ÷ ¯à¨¯ãáâ÷¬®, é® (r) $ (r1) =6 R. ’®¤÷ ®âਬãõ¬®

(r 2 (r) ½ (r1)) ) (r 2 (r1)) ) (9 q 2 R: r = r1q):

Žáª÷«ìª¨ ¥«¥¬¥-â r § ¯à¨¯ãé¥--ï¬ ¯à®á⨩, ®¤¨- § ¤¢®å ¬-®¦-¨-

ª÷¢ ã ¤®¡ãâªã r = r1q ¬ õ ¡ã⨠®¡®à®â-¨¬; ¢ ®¡®å ¢¨¯ ¤ª å ®âਬãõ¬® á㯥à¥ç-÷áâì (¢¨ª®à¨á⮢ãõ¬® १ã«ìâ â ¢¯à ¢¨ 7.10):

(r1 2 R¤) ) ((r1) = R); (q 2 R¤) ) ((r1) = (r)):

2. •¥å © -¥âਢ÷ «ì-¨© ÷¤¥ « (r) ¬ ªá¨¬ «ì-¨©. •à¨¯ãáâ÷¬®, é® r

஧ª« ¤ хвмбп ¢ ¤®¡гв®ª ¤¢®е -¥®¡®а®в-¨е ¥«¥¬¥-вч¢: r = r1 ¢ r2. ’®¤÷, § १ã«ìâ ⮬ ¢¯à ¢¨ 7.10, ®âਬãõ¬® (r) ½ (r1). Žáª÷«ìª¨ ÷¤¥ « (r) ¬ ªá¨¬ «ì-¨©, ¤«ï ÷¤¥ «ã (r1) ¬ õ ¬÷áæ¥ ®¤¨- § ¤¢®å ¢¨¯ ¤ª÷¢: (r1) = (r) ¡® (r1) = R. ‚ ®¡®å ¢¨¯ ¤ª å ®âਬãõ¬® á㯥à¥ç-÷áâì § -¥®¡®à®â-÷áâî r1

â r2 (ã ¯¥à讬㠢¨¯ ¤ªã ª®à¨áâãõ¬®áì § ª®-®¬ ᪮à®ç¥--ï (7.4), пª¨© ¢¨ª®-гхвмбп ¢ ®¡« бвч жч«чб-®бвч):

((r1) = (r)) ) (r1 = rq; q 2 R) ) (r1 = r1r2q) ) (1 = r2q) ) (q = r2¡1); ((r1) = R) ) (1 2 R = (r1)) ) (1 = r1q; q 2 R) ) (q = r1¡1):

‡ §- з¨¬®, й® ¢ ¤®¢ч«м-ч© ®¡« бвч жч«чб-®бвч ¯¥аи¨© ¯г-ªв й®©-® ¤®- ¢¥¤¥-®щ в¥®а¥¬¨ § «¨и хвмбп б¯а ¢¥¤«¨¢¨¬, в®¡в® £®«®¢-¨© ¬ ªб¨¬ «м- -¨© ч¤¥ « (a) ¬®¦¥ ¯®à®¤¦ã¢ â¨áì «¨è¥ ¯à®á⨬ ¥«¥¬¥-⮬ a; ®¤- ª ã

¤®¢÷«ì-÷© ®¡« áâ÷ æ÷«÷á-®áâ÷ -¥ ¢á直© ¯à®á⨩ ¥«¥¬¥-â a ¯®à®¤¦ãõ £®- «®¢-¨© ¬ ªá¨¬ «ì-¨© ÷¤¥ « (a).

•à¨ª« ¤ 7.25. “ ª÷«ìæ÷ R[x; y] ¬-®£®ç«¥-÷¢ ¢÷¤ §¬÷--¨å x â y ¬-®£®-

ç«¥- p(x; y) = x õ ¯à®á⨬ ¥«¥¬¥-⮬, ®¤- ª ÷¤¥ « (x) -¥ ¬ ªá¨¬ «ì-¨©, ®áª÷«ìª¨ õ ¢« á-®î ¯÷¤¬-®¦¨-®î ÷-讣® -¥âਢ÷ «ì-®£® ÷¤¥ «ã:

(x) $ J = fp(x; y) 2 R[x; y]: p(0; 0) = 0g 6= R:

•¨¦ç¥¯®¤ - ⥮६ 7.11 ¤¥¬®-бвагх ¢ ¦«¨¢г а®«м ¬ ªб¨¬ «м-¨е ч¤¥ «ч¢ ¤«п д ªв®а¨§ жчщ ®¡« бвч жч«чб-®бвч.

206

7.10. Œ ªá¨¬ «ì-÷ ÷¤¥ «¨

a ¢ b = a ¢ b = b ¢ a = b ¢ a; 1 ¢ a = 1 ¢ a = a:

Žâ¦± ¥, § «¨è¨«®áì ¤®¢¥á⨠®¡®à®â-÷áâì ¤«ï ¤®¢÷«ì-®£® ä÷ªá®¢ -®£®

a 2 R J , a =6 0.

‘¯®ç âªã § §- 稬®, é® 0 = 0 + J = J (-ã«ì®¢¨¬ ¥«¥¬¥-⮬ ã ¡ã¤ì-

类¬ã ä ªâ®à-ª÷«ìæ÷ õ ÷¤¥ «, § 直¬ æ¥ ª÷«ìæ¥ ä ªâ®à¨§ãîâì). Žâ¦¥, ¤«ï a =6 0 ®âਬãõ¬® 㬮¢ã a 2= J.

„«ï ¯®èãªã ¥«¥¬¥-â , ®¡¥à-¥-®£® ¤® a, ஧£«ï-¥¬® -®¢¨© ÷¤¥ «:

J1 = (a) + J = far + j : r 2 R; j 2 Jg:

‹¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® J1 ¤÷©á-® õ ÷¤¥ «®¬ ã ª÷«ìæ÷ R, ¯à¨ç®¬ã:

(8 j 2 J : j = a ¢ 0 + j 2 J1) ) (J ½ J1); (a = a ¢ 1 + 0 2 J1) ) (J =6 J1):

Žâ¦¥, J $ J1 ÷, § ¬ ªá¨¬ «ì-÷áâî J, ®âਬãõ¬®

(J1 = R) ) (1 2 J1) ) (1 = ar + j; r 2 R; j 2 J) ) (1 = ar + j):

• à¥èâ÷, § «¥¬®î 6.9, j = 0, ÷ ®¤¥à¦¨¬® ®¡¥à-¥-¨© ¤® a:

¡1 = ar + 0¢ ) ¡1 = a ¢ r¢ ) ³r = ¡a¢¡1´:

±

’ ª¨¬ ç¨-®¬, ¤®¢÷«ì-¨© -¥-ã«ì®¢¨© áã¬÷¦-¨© ª« á a 2 R J ¬ õ ®¡¥à- -¥-¨©, é® § ¢¥àèãõ ¤®¢¥¤¥--ï ⥮६¨.

207

•®§¤÷« 7. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù ª÷«¥æì

•а¨ª« ¤ 7.26. ™¥ а § ¯®¢¥а-ч¬®бп ¤® д ªв®а¨§ жчщ ªч«мжп жч«¨е з¨б¥« ч ªч«мжп ¬-®£®з«¥-ч¢ § ¤ч©б-¨¬¨ ª®¥дчжчх-в ¬¨.

1. “ ª÷«ìæ÷ Z ÷¤¥ « (p) = pZ (p 2 N) ¬ ªá¨¬ «ì-¨© ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ç¨á«® p ¯à®áâ¥, ÷ ¢÷¤¯®¢÷¤-÷ ä ªâ®à-ª÷«ìæï õ ¯®«ï¬¨:

Z±pZ » Zp :

2. “ ª÷«ìæ÷ R[x] ¬ ªá¨¬ «ì-¨¬¨ õ ÷¤¥ «¨, ¯®à®¤¦¥-÷ -¥à®§ª« ¤-¨¬¨

„®ª« ¤-÷è÷ ¢÷¤®¬®áâ÷ ¯à® à®«ì ¬ ªá¨¬ «ì-¨å ÷¤¥ «÷¢ ã ª÷«ìæïå £®- «®¢-¨å ÷¤¥ «÷¢ ¬®¦- §- ©â¨, - ¯à¨ª« ¤, ã [11, 13].

7.11. •®-ïââï ¯à® ÷¤¥¬¯®â¥-â-÷ ª÷«ìæï

“ æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ஧£«ï-¥¬® ª÷«ìæ¥ hR; ©; ¢i, ¤¥ ®¯¥à æ÷î ¤®¤ ¢ --

-ï ¯®§- ç¥-® ᨬ¢®«®¬ «©» (¤®æ÷«ì-÷áâì á ¬¥ â ª®£® ¯®§- ç¥--ï áâ -¥ ®ç¥¢¨¤-®î ¯÷¤ ç á ¯®¤ «ì讣® ¢¨¢ç¥--ï ÷¤¥¬¯®â¥-â-¨å ª÷«¥æì).

Ž§- ç¥--ï 7.12. Š÷«ìæ¥ hR; ©; ¢i - §¨¢ îâì ÷¤¥¬¯®â¥-â-¨¬, ïªé®

a2 = a 8 a 2 R:

-÷è¥ à®§£«ï¤ ⨠÷-è¥ ¤¢®¥«¥¬¥-â-¥ ª÷«ìæ¥, ÷§®¬®àä-¥

hf0; 1g; ©; ¢i » Z2;

¤¥ «©» ¯®§- ç õ áã¬ã § ¬®¤ã«¥¬ 2.

2. €«£¥¡à¨ç- áâàãªâãà hS; M; \i, ¤¥ S { ª÷«ìæ¥ ¬-®¦¨-, õ ÷¤¥¬¯®- â¥-â-¨¬ ª÷«ì楬, ®áª÷«ìª¨ A \ A = A ¤«ï ¡ã¤ì-类£® A 2 S.

208