Spektorsky_diskretka

6.5. •®-ïââï ¯÷¤£à㯨. Šà¨â¥à÷© ¯÷¤£à㯨

ä ªâ «¥£ª® ¢¨¯«¨¢ õ § ¢« á⨢®á⥩ £à㯨. „÷©á-®, § ä÷ªá㢠¢è¨ ¤®¢÷«ì- -¨© ¥«¥¬¥-â h 2 H, § ¤®¬®¬®£®î ¯à ¢¨« ᪮à®ç¥--ï (6.1) ®âਬãõ¬®

(h = e ¤ h = e1 ¤ h) ) (e = e1):

•à¨ª« ¤ 6.32. 1. Œ-®¦¨- Z õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 hQ; +i. 2. Œ-®¦¨- Q õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 hR; +i.

3. Œ-®¦¨- R õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 hC; +i.

4. Œ-®¦¨- (0; +1) õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 hR¤; ¢i. 5. Œ-®¦¨- f¡1; 1g õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 hR¤; ¢i.

õ ¯÷¤£àã¯®î ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢-®ù £à㯨 ¬ âà¨æì GL2. 7. Œ-®¦¨- ¬ âà¨æì § ®¤¨-¨ç-¨¬ ¢¨§- ç-¨ª®¬

SLn = fA 2 GLn : jAj = 1g

õ ¯÷¤£àã¯®î ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢-®ù £à㯨 ¬ âà¨æì GLn. –¥© ä ªâ -¥£ ©-® ¢¨¯«¨¢ õ § ä®à¬ã«¨, ¢÷¤®¬®ù § ªãàáã «÷-÷©-®ù «£¥¡à¨ (- ¯à¨ª« ¤, [10]):

¤¥ A; B 2 Mn£n.

‚¯à ¢ 6.11. •¥å © H1, H2 { ¯÷¤£à㯨 £à㯨 hG; ¤i. „®¢¥áâ¨, é® ¯¥- à¥â¨- H1 \H2 â ª®¦ õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 hG; ¤i. “§ £ «ì-¨â¨ æ¥ â¢¥à¤¦¥-- -ï - ¤®¢÷«ì-ã (¬®¦«¨¢ã -¥áª÷-ç¥--ã) ª÷«ìª÷áâì ¯÷¤£à㯠£à㯨

• ¯à ªâ¨æ÷ ¤«ï ¯¥à¥¢÷ન, ç¨ õ -¥¯®à®¦-ï ¯÷¤¬-®¦¨- £à㯨 ¯÷¤- £à㯮î, §àãç-® ª®à¨áâ㢠â¨áï â ª®î ⥮६®î.

’¥®à¥¬ 6.7 (ªà¨â¥à÷© ¯÷¤£à㯨). •¥å © ? 6= H ½ G, ⮡⮠H { -¥¯®à®¦-ï ¯÷¤¬-®¦¨- £à㯨 hG; ¤i.

„«ï ⮣®, 鮡 ¯÷¤¬-®¦¨- H ¡ã« ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 hG; ¤i, -¥®¡å÷¤-®

139

•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £àã¯

„®¢¥¤¥--ï. •¥®¡å÷¤-÷áâì ®ç¥¢¨¤- , ®áª÷«ìª¨ 㬮¢¨ § ¬ª-¥-®áâ÷ ¬-®- ¦¨-¨ H ¢÷¤-®á-® ¡÷- à-®ù £à㯮¢®ù ®¯¥à æ÷ù, â ª®¦ ÷á-㢠--ï ®¡¥à-

-¥-¨å a¡1 2 H ¤«ï ª®¦-®£® a 2 H, -¥£ ©-® ¢¨¯«¨¢ îâì § ¢¨§- ç¥--ï

£à㯨.

„«ï ¤®¢¥¤¥--ï ¤®áâ â-®áâ÷ § 㢠¦¨¬®:

² § ¬ª-¥-÷áâì áâàãªâãਠhH; ¤i ¢÷¤-®á-® ®¯¥à æ÷ù «¤» õ 㬮¢®î (6.7); ² á®æ÷ ⨢-÷áâì áâàãªâãਠhH; ¤i ¢¨¯«¨¢ õ § á®æ÷ ⨢-®áâ÷ ®¯¥à -

¥«¥¬¥-â e 2 G ¢¨å÷¤-®ù £à㯨 hG; ¤i.

‡ ä÷ªáãõ¬® ¤®¢÷«ì-¨© ¥«¥¬¥-â a 2 H (æ¥ ¬®¦- §à®¡¨â¨, ®áª÷«ìª¨ H 6= ?). ’®¤÷, ïª - á«÷¤®ª 㬮¢ (6.7), (6.8), ®âਬãõ¬®

(a 2 H) ) (a¡1 2 H) ) (e = a ¤ a¡1 2 H):

Žâ¦¥, ¤®¢¥¤¥-® ¢¨ª®- --ï 㬮¢ (6.7) â (6.8) ®á-®¢-®ù ⥮६¨.

140

6.6. ƒ®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯: ®á-®¢-÷ ¢¨§- ç¥--ï â ⥮६¨

•à¨ª« ¤ 6.33. •¥å © An { ¬-®¦¨- ¯ à-¨å ¯÷¤áâ -®¢®ª - ¬-®- ¦¨-÷ A = f1; 2; : : : ; ng. Œ-®¦¨- An õ ¯÷¤£à㯮î ᨬ¥âà¨ç-®ù £à㯨 Sn,

¯÷¤£à㯨: ¬-®¦¨-ã feg (e { -¥©âà «ì-¨© ¥«¥¬¥-â ã £àã¯÷ hG; ¤i) â á - ¬ã ¬-®¦¨-ã G. –÷ ¯÷¤£à㯨 - §¨¢ îâì âਢ÷ «ì-¨¬¨; ¯÷¤£àã¯ã, é® -¥ õ âਢ÷ «ì-®î, - §¨¢ îâì ¢« á-®î. •÷¤£àã¯ã feg ç áâ® - §¨¢ îâì ®¤¨- -¨ç-®î, ¯÷¤£àã¯ã H = G ¡ã¤¥¬® - §¨¢ ⨠¯®¢-®î. ‡ 㢠¦¨¬®, é® ã ¢¨¯ ¤ªã ®¤-®¥«¥¬¥-â-®ù £à㯨 G = feg ва¨¢ч «м-ч ¯ч¤£аг¯¨ §¡ч£ овмбп.

6.6.ƒ®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯: ®á-®¢-÷ ¢¨§- ç¥--ï â ⥮६¨

“ æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¯à æî¢ â¨¬¥¬® § ¤¢®¬ £à㯠¬¨: hG1; ¤i â hG2; ~i § -¥©âà «ì-¨¬¨ ¥«¥¬¥-â ¬¨ e1 2 G1 â e2 2 G2.

Ž§- ç¥--ï 6.16. ‚÷¤®¡à ¦¥--ï f : G1 ! G2 - §¨¢ îâì £®¬®¬®à- ä÷§¬®¬, ¡® £®¬®¬®àä-¨¬ ¢÷¤®¡à ¦¥--ï¬, £à㯨 hG1; ¤i ¢ £àã¯ã hG2; ~i,

ïªé®

f(a ¤ b) = f(a) ~ f(b) ¤«ï ¤®¢÷«ì-¨å a; b 2 G1:

‡ 㢠¦¥--ï 6.15. ö§ ®§- ç¥--ï ¡÷õªâ¨¢-®áâ÷ ¢¨¯«¨¢ õ, é® f õ ÷§®¬®à- ä÷§¬®¬ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ f õ ®¤-®ç á-® ¬®-®- â ¥¯÷¬®àä÷§¬®¬.

•à¨ª« ¤ 6.34. 1. ‚÷¤®¡à ¦¥--ï

f : R ! R¤; f(a) = 2a

141

•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £àã¯

õ ¬®-®¬®àä÷§¬®¬ § £à㯨 hR; +i ¢ £àã¯ã hR¤; ¢i. •à®â¥ f -¥ õ ¥¯÷¬®àä÷§-

¬®¬, ®â¦¥, -¥ õ ÷§®¬®àä÷§¬®¬. 2. ‚÷¤®¡à ¦¥--ï

f : R ! (0; +1); f(a) = 2a

õ ÷§®¬®àä÷§¬®¬ § £à㯨 hR; +i ¢ £àã¯ã h(0; +1); ¢i. 3. ‚÷¤®¡à ¦¥--ï

f : R ! fz 2 C: z 6= 0g; f(a) = ei¢a

õ £®¬®¬®àä÷§¬®¬ § £à㯨 hR; +i ¢ £àã¯ã hC¤; ¢i, ¤¥ C¤ = C n f0g. •à®â¥ f -¥ õ ¬®-®- ¡® ¥¯÷¬®àä÷§¬®¬. “ æ쮬㠯ਪ« ¤÷ ª®-áâ -â e ¯®§- ç õ ®á-®¢ã - âãà «ì-®£® «®£ à¨ä¬ , ç¨á«® i { ª®¬¯«¥ªá-ã ®¤¨-¨æî.

‡ £®¬®¬®àä÷§¬®¬ £à㯠¯®¢'ï§ -® ¡ £ â® æ÷ª ¢¨å ÷ ¢ ¦«¨¢¨å ¢« áâ¨- ¢®á⥩. “ æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¡ã¤¥ ஧£«ï-ãâ® ¤¢÷ ¢« á⨢®áâ÷ £®¬®¬®àä- -®£® ¢÷¤®¡à ¦¥--ï £àã¯; ¤¥ïª÷ ÷-è÷ ¢« á⨢®áâ÷ ¡ã¤ãâì ஧£«ï-ãâ÷ ã ¯÷¤à®§¤. 6.13.

’¥®à¥¬ 6.8. •¥å © f : G1 ! G2 { £®¬®¬®àä÷§¬ £à㯨 hG1; ¤i ¢ £àã¯ã hG2; ~i. ’®¤÷:

1) f(e1) = e2 (£®¬®¬®àä÷§¬ £à㯠§¡¥à÷£ õ -¥©âà «ì-¨© ¥«¥¬¥-â

£à㯨);

2) 8 a 2 G1 : f(a¡1) = (f(a))¡1 (£®¬®¬®àä÷§¬ £à㯠§¡¥à÷£ õ ®¯¥à æ÷î ¢§ïââï ®¡¥à-¥-®£® ¥«¥¬¥-â ).

„®¢¥¤¥--ï. 1. ‡ ®§- ç¥--ï¬ -¥©âà «ì-®£® ¥«¥¬¥-â

f(e1) = f(e1 ¤ e1) = f(e1) ~ f(e1):

’¥¯¥à § ¯à ¢¨«®¬ «÷¢®£® ᪮à®ç¥--ï (6.2) ®âਬãõ¬®

(f(e1) ~ f(e1) = f(e1)) )

)(f(e1) ~ f(e1) = f(e1) ~ e2) ) (f(e1) = e2) :

2.•¥å © a 2 G1. ‡ ®§- ç¥--ï¬ £®¬®¬®àä-®áâ÷ ¢÷¤®¡à ¦¥--ï ®âà¨-

§¢÷¤ª¨ f(a¡1) = (f(a))¡1.

142

6.7. –¨ª«÷ç-÷ £à㯨

ƒ®¬®¬®àä÷§¬ ÷§ £à㯨 hG; ¤i ¢ hG; ¤i (⮡⮠§ £à㯨 ¢ ᥡ¥) - §¨¢ îâì ¥-¤®¬®àä÷§¬®¬ £à㯨 hG; ¤i. Œ-®¦¨-ã ¢á÷å ¥-¤®¬®àä÷§¬÷¢ £à㯨 hG; ¤i ¯®§- ç îâì ç¥à¥§ EndhG;¤i ¡® ¯à®áâ® ç¥à¥§ EndG.

‚¯à ¢ 6.12. „®¢¥áâ¨, é® hEndG; ±i õ ¬®-®ù¤®¬.

6.7. –¨ª«÷ç-÷ £à㯨

•¥å © hG; ¤i { ¤®¢÷«ì- £à㯠§ -¥©âà «ì-¨¬ ¥«¥¬¥-⮬ e 2 G.

‡ ä÷ªáãõ¬® ¤¥ïª¨© ¥«¥¬¥-â a 2 G ÷ ஧£«ï-¥¬® ¬-®¦¨-ã ¢á÷å æ÷«¨å á⥯¥-÷¢ ¥«¥¬¥-â a:

[a] = fan : n 2 Zg = f: : : ; a¡n; : : : ; a¡2; a¡1; e; a; a2; : : : ; an; : : : g:

‚¯à ¢ 6.13. „®¢¥áâ¨, é® ¬-®¦¨- [a] õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 hG; ¤i.

‚ª §÷¢ª . ‘ª®à¨áâ â¨áï ªà¨â¥à÷õ¬ ¯÷¤£à㯨 (⥮६ 6.7) â ¢« áâ¨- ¢®áâﬨ á⥯¥-ï ¥«¥¬¥-â £à㯨 (¯÷¤à®§¤. 6.2, § ãà å㢠--ï¬ § ã¢. 6.7).

•÷¤£àã¯ã [a] ½ G - §¨¢ îâì 横«÷ç-®î ¯÷¤£à㯮î, ¯®à®¤¦¥-®î ¥«¥- ¬¥-⮬ a 2 G. …«¥¬¥-â a 2 G - §¨¢ îâì â¢÷à-®î ¯÷¤£à㯨 [a] ½ G.

‘â®á®¢-® ¬-®¦¨-¨ æ÷«¨å á⥯¥-÷¢ ¥«¥¬¥-â a 2 G ஧£«ï-¥¬® ¤¢

¢¦«¨¢÷ ¢¨¯ ¤ª¨: ÷á-ãõ ç¨ -¥ ÷á-ãõ ¯®ª §-¨ª n > 0, â ª¨©, é® an = e.

1.öá-ãõ ¯®ª §-¨ª n > 0, â ª¨©, é® an = e.

‚¨¡¥à¥¬® - ©¬¥-訩 ¤®¤ â-¨© -®¬¥à n, ¤«ï 类£® an = e:

—¨á«® n 2 N, ¢¨§- ç¥-¥ ä®à¬ã«®î (6.10), - §¨¢ îâì ¯®à浪®¬ ¥«¥- ¬¥-â a 2 G â ¯®§- ç îâì ç¥à¥§ jaj: n = jaj.

‚¯à ¢ 6.14. „®¢¥áâ¨, é® õ¤¨-¨¬ ¥«¥¬¥-⮬ ¯®à浪ã 1 õ -¥©âà «ì- -¨© ¥«¥¬¥-â: (jaj = 1) , (a = e).

‚¯à ¢ 6.15. „®¢¥á⨠à÷¢-÷áâì: ak mod n = ak.

‚ª §÷¢ª . ‘ª®à¨áâ â¨áì 㬮¢ ¬¨ (6.3) ÷ (6.4), é® ¢¨§- ç îâì k mod n.

‹¥¬ 6.6. ak1 =6 ak2 , ïªé® 0 · k1 < k2 · n ¡ 1.

143

•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £àã¯

„®¢¥¤¥--ï. •¥å © 0 · k1 < k2 · n¡1. •à¨¯ãáâ÷¬®, é® ak1 = ak2 . ’®¤÷

“à 客ãîç¨ à¥§ã«ìâ â «¥¬¨ 6.6 â à÷¢-÷áâì ak mod n = ak, ®âਬãõ¬® ï¢-¨© ¢¨£«ï¤ 横«÷ç-®ù ¯÷¤£à㯨, ¯®à®¤¦¥-®ù ¥«¥¬¥-⮬ a 2 G:

[a] = fak : 0 · k · n ¡ 1g = fe; a; a2; : : : ; an¡1g:

Žâ¦¥, ¯÷¤£à㯠[a] ¬÷áâ¨âì à÷¢-® n à÷§-¨å ¥«¥¬¥-â÷¢; á⥯¥-÷ § ¯®- ª §-¨ª ¬¨ k ¸ n ¡® k < 0 §¡ч£ в¨¬гвмбп § ®¤-¨¬ §ч бв¥¯¥-ч¢ ak (0 · k · n ¡ 1):

an = a0 = e; an+1 = a1 = a; a¡1 = an¡1; : : :

(ã § £ «ì-®¬ã ¢¨¯ ¤ªã, ïª ¢¦¥ § §- ç «®áì, ak = ak mod n).

’¥®à¥¬ 6.9. •¥å © a 2 G { ¥«¥¬¥-â ¯®à浪ã jaj = n. ’®¤÷ £à㯠h[a]; ¤i ÷§®¬®àä- ¤¨â¨¢-÷© £àã¯÷ Zn:

h[a]; ¤i » hZn; +i :

„®¢¥¤¥--ï. ˜ãª -¨© ÷§®¬®àä÷§¬ f : [a] ! Zn ¢áâ -®¢«охвмбп á¯÷¢-

‚¯à ¢ 6.16. „®¢¥áâ¨, é® ¢¢¥¤¥-¥ ¢÷¤®¡à ¦¥--ï f : [a] ! Zn { ÷§®- ¬®àä÷§¬ £à㯠h[a]; ¤i â Zn.

‚ª §÷¢ª . ƒ®¬®¬®àä-ã ¢« á⨢÷áâì ÷ áîà'õªâ¨¢-÷áâì f «¥£ª® ¢¨¢¥á⨠§ ¢¨§- ç¥--ï ¢÷¤®¡à ¦¥--ï f; ÷-'õªâ¨¢-÷áâì f ¢¨¯«¨¢ õ § «¥¬¨ 6.6.

2. •¥ ÷á-ãõ ¯®ª §-¨ª n > 0, â ª®£®, é® an = e. “ æ쮬㠢¨¯ ¤ªã £®¢®àïâì, é® ¥«¥¬¥-â a 2 G ¬ õ -¥áª÷-ç¥--¨© ¯®à冷ª: jaj = 1.

‹¥¬ 6.7. ak1 6= ak2 , ïªé® k1 6= k2.

„®¢¥¤¥--ï. •à¨¯ãáâ÷¬®, é® ak1 = ak2 ¯à¨ k1 =6 k2. •¥§ ¢âà ⨠§ £ «ì- -®áâ÷ ¢¢ ¦ ⨬¥¬®, é® k1 < k2. ’®¤÷ ®âਬãõ¬®

ak2¡k1 = ak2 ¤ ¡ak1 ¢¡1 = e;

é® á㯥à¥ç¨âì 㬮¢÷ jaj = 1, ®áª÷«ìª¨ k2 ¡ k1 > 0.

144

6.7. –¨ª«÷ç-÷ £à㯨

“à 客ãîç¨ à¥§ã«ìâ â «¥¬¨ 6.7, ®âਬãõ¬® ï¢-¨© ¢¨£«ï¤ 横«÷ç-®ù ¯÷¤£à㯨, ¯®à®¤¦¥-®ù ¥«¥¬¥-⮬ a 2 G:

[a] = fak : k 2 Zg = f: : : ; a¡n; : : : ; a¡2; a¡1; e; a; a2; : : : ; an; : : : g:

„®¢¥¤¥--ï. ˜ãª -¨© ÷§®¬®àä÷§¬ f : [a] ! Z ¢бв -®¢«охвмбп б¯ч¢¢ч¤-

‚¯à ¢ 6.17. „®¢¥áâ¨, é® ¢¢¥¤¥-¥ ¢÷¤®¡à ¦¥--ï f : [a] ! Z õ ÷§®- ¬®àä÷§¬®¬ £à㯠h[a]; ¤i â hZ; +i.

‚ª §÷¢ª . ƒ®¬®¬®àä-ã ¢« á⨢÷áâì ÷ áîà'õªâ¨¢-÷áâì f «¥£ª® ¢¨¢¥á⨠§ ¢¨§- ç¥--ï ¢÷¤®¡à ¦¥--ï f; ÷-'õªâ¨¢-÷áâì f ¢¨¯«¨¢ õ § «¥¬¨ 6.7.

Žв¦¥, гбч ж¨ª«чз-ч ¯ч¤£аг¯¨ ¯ч¤¤ овмбп ¯®¢-®¬г ®¯¨бг (§ в®з-чбво ¤® ч§®¬®адч§¬г), й® ¢бв -®¢«¥-® в¥®а¥¬ ¬¨ 6.9 â 6.10. Žâਬ -¨© à¥- §ã«ìâ â áä®à¬ã«îõ¬® ã ¢¨£«ï¤÷ ⥮६¨.

’¥®à¥¬ 6.11. •¥å © hG; ¤i { ¤®¢÷«ì- £à㯠. ’®¤÷ 横«÷ç- ¯÷¤£àã- ¯ [a], ¯®à®¤¦¥- ¥«¥¬¥-⮬ a 2 G, ÷§®¬®àä- ¤¨â¨¢-÷© £àã¯÷ Z ¯à¨

‡ 㢠¦¥--ï 6.16. ’¥®à¥¬ 6.11 ¢áâ -®¢«îõ (§ â®ç-÷áâî ¤® ÷§®¬®àä÷§- ¬ã) ¯®¢-¨© ®¯¨á 横«÷ç-¨å £àã¯, ®áª÷«ìª¨ 横«÷ç-ã £àã¯ã ¬®¦- ¢¢ - ¦ ⨠®ªà¥¬¨¬ ¢¨¯ ¤ª®¬ 横«÷ç-®ù ¯÷¤£à㯨.

145

•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £àã¯

•à¨ª« ¤ 6.35. 1. €¤¨â¨¢- £à㯠Zn (n 2 N) { ®¤¨- § - ©¢ ¦«¨-

¢÷è¨å ¯à¨ª« ¤÷¢ áª÷-ç¥--®ù 横«÷ç-®ù ¯÷¤£à㯨. ‹¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® â¢÷à-¨¬¨ 横«÷ç-®ù £à㯨 Zn ¤«ï ¡ã¤ì-类£® n ¸ 2 ¬®¦ãâì ¡ãâ¨, §®ªà¥-

¬ , ¥«¥¬¥-⨠1 â

[1] = [n ¡ 1] = Zn; n ¸ 2

(ã ¢¨¯ ¤ªã n = 2 ª« ᨠ1 â ¡ 1 §¡ч£ овмбп; ¢¨¯ ¤®ª n = 1 õ ª®à¥ªâ-¨¬, «¥ -¥æ÷ª ¢¨¬). ‡ §- 稬®, é® ¤«ï ¤¥ïª¨å n 2 N (§®ªà¥¬ , ïªé® n = 5)

÷á-ãîâì ÷-è÷ â¢÷à-÷ 横«÷ç-®ù £à㯨 Zn. •®§£«ï-¥¬® 横«÷ç-÷ ¯÷¤£à㯨 £à㯨 Zn ¤«ï n = 3; 4; 5; 6:

1) n = 3. Z3 = [1] = [2];

2) n = 4. Z4 = [1] = [3]; [2] = f2; 0g; 3) n = 5. Z5 = [1] = [2] = [3] = [4];

4) n = 6. Z6 = [1] = [5]; [2] = f2; 4; 0g; [3] = f3; 0g.

…«¥¬¥-â 0 ®ªà¥¬® -¥ ஧£«ï¤ ¢áï, ®áª÷«ìª¨ § ¢á÷å n 2 N ¢÷- õ

â¢÷à-®î âਢ÷ «ì-®ù (®¤¨-¨ç-®ù) 横«÷ç-®ù ¯÷¤£à㯨, ⮡⮠[0] = f0g

(¤¨¢. ¢¯à ¢ã 6.14). 2. €¤¨â¨¢- £àã¯

£à㯨. –¨ª«÷ç- £àã¯

hZ; +i. „«ï ¤®¢÷«ì-®£®

[k] = [¡k] = fk ¢ m: m 2 Zg = f0; k; ¡k; 2k; ¡2k; : : : g = kZ:

‡ 㢠¦¨¬®, é® ¯®§- ç¥--ï kZ (k 2 Z) õ § £ «ì-®¯à¨©-ï⨬ ¤«ï ¬-®- ¦¨-¨ fk ¢ m : m 2 Zg (§®ªà¥¬ , 2Z õ ¬-®¦¨-®î ¯ à-¨å æ÷«¨å ç¨á¥«).

• à¥èâ÷, § §- 稬®, é® ¢¨¯ ¤®ª [0] = f0g õ âਢ÷ «ì-¨¬ ¢¨¯ ¤ª®¬ ®¤¨-

-¨ç-®ù ¯÷¤£à㯨.

3. •®§£«ï-¥¬® 横«÷ç-÷ ¯÷¤£à㯨 ᨬ¥âà¨ç-®ù £à㯨 S3 (¤«ï ¯÷¤áâ - -®¢®ª £à㯨 S3 ¢¨ª®à¨áâ õ¬® ¯®§- ç¥--ï § ¯à¨ª«. 6.14):

146

6.8. ‘ã¬÷¦-÷ ª« á¨

S3 { -¥ 横«÷ç- , ®áª÷«ìª¨ -¥ ¤®à÷¢-îõ ¦®¤-÷© §÷ ᢮ùå

横«÷ç-¨å ¯÷¤£à㯠(¢â÷¬ £à㯠S3 -¥ ¬®£« ¡ã⨠横«÷ç-®î, ®áª÷«ìª¨

¢®- -¥ õ ª®¬ãâ ⨢-®î, ®â¦¥, -¥ ÷§®¬®àä- ¦®¤-÷© § ª®¬ãâ ⨢-¨å £à㯠Zn ¡® Z).

6.8. ‘ã¬÷¦-÷ ª« á¨

•¥å © H ½ G { ¯÷¤£à㯠£à㯨 hG; ¤i. „«ï ä÷ªá®¢ -®£® ¥«¥¬¥-â g 2 G ¢¢¥¤¥¬® ¯®§- ç¥--ï:

g ¤ H = fg ¤ h: h 2 Hg; H ¤ g = fh ¤ g : h 2 Hg:

Œ-®¦¨-ã g ¤ H - §¨¢ îâì «÷¢¨¬ áã¬÷¦-¨¬ ª« ᮬ £à㯨 § ¯÷¤£à㯮î H, é® ¯®à®¤¦¥-¨© ¥«¥¬¥-⮬ g. Œ-®¦¨-ã H ¤ g - §¨¢ îâì ¯à ¢¨¬ áã¬÷¦-¨¬ ª« ᮬ £à㯨 hG; ¤i § ¯÷¤£à㯮î H, é® ¯®à®¤¦¥-¨© ¥«¥¬¥-⮬ g.

•à¨ª« ¤ 6.36. ‘ ¬ ¯÷¤£à㯠H õ áã¬÷¦-¨¬ ª« ᮬ (ïª ¯à ¢¨¬, â ª ÷ «÷¢¨¬), ¯®à®¤¦¥-¨¬ -¥©âà «ì-¨¬ ¥«¥¬¥-⮬ e 2 G:

e ¤ H = fe ¤ h: h 2 Hg = fh: h 2 Hg = H; H ¤ e = fh ¤ e: h 2 Hg = fh: h 2 Hg = H:

•à¨ª« ¤ 6.37. •®§£«ï-¥¬® áã¬÷¦-÷ ª« ᨠ§ âਢ÷ «ì-¨¬¨ ¯÷¤£àã- ¯ ¬¨.

„«ï ®¤¨-¨ç-®ù ¯÷¤£à㯨 H = feg ®âਬãõ¬®

a ¤ feg = feg ¤ a = fag ¤«ï ¤®¢÷«ì-®£® a 2 G;

в®¡в® ч ¯а ¢ч, ч «ч¢ч бг¬ч¦-ч ª« б¨ ¢ч¤-®б-® ®¤¨-¨з-®щ ¯ч¤£аг¯¨ §¡ч£ овмбп ч ¤®ач¢-оовм ®¤-®¥«¥¬¥-в-ч© ¬-®¦¨-ч fag, é® ¬÷áâ¨âì ¯®à®¤¦ã¢ «ì-¨©

¥«¥¬¥-â a 2 G.

“ ¢¨¯ ¤ªã ¯®¢-®ù ¯÷¤£à㯨 H = G ®âਬãõ¬®

a ¤ G = G ¤ a = G ¤«ï ¤®¢÷«ì-®£® a 2 G;

147

•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £àã¯

®áª÷«ìª¨ ¡ã¤ì-直© x 2 G ¬®¦- §®¡à §¨â¨ ïª ¥«¥¬¥-â áã¬÷¦-®£® ª« áã

Žâ¦¥, ÷á-ãõ «¨è¥ ®¤¨- ¯à ¢¨© (¢÷- ¦¥ «÷¢¨©) áã¬÷¦-¨© ª« á ¢÷¤-®á-® ¯®¢-®ù ¯÷¤£à㯨 H = G { æ¥ á ¬ £à㯠G.

‡ 㢠¦¥--ï 6.17. •÷¢-÷áâì a ¤ G = G ¤ a = G ®¤à §ã ¢¨¯«¨¢ õ â ª®¦ ÷ § - áâã¯-®ù ⥮६¨ 6.12.

“ ª®¬гв в¨¢-¨е £аг¯ е, ®з¥¢¨¤-®, ¯а ¢¨© ч «ч¢¨© бг¬ч¦-ч ª« б¨ §¡ч- £ овмбп: a¤H = H ¤a ¤«ï ¢á÷å a 2 G. “ -¥ª®¬ãâ ⨢-¨å £àã¯ å ¬®¦«¨¢®

a ¤ H =6 H ¤ a (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.38).

’¥®à¥¬ 6.12. ‹÷¢÷ áã¬÷¦-÷ ª« ᨠ£à㯨 hG; ¤i ¢÷¤-®á-® ¯÷¤£à㯨 H

„®¢¥¤¥--ï. ’¢¥à¤¦¥--ï ⥮६¨ ¡ã¤¥¬® ¤®¢®¤¨â¨ ¤«ï «÷¢¨å áã¬÷¦- -¨å ª« á÷¢ (¢¨¯ ¤®ª ¯à ¢¨å áã¬÷¦-¨å ª« á÷¢ õ ᨬ¥âà¨ç-¨¬). ” ªâ¨ç-® - ¬ ¤®áâ â-ì® ¤«ï a; b 2 G ¤®¢¥á⨠⠪¥ ⢥द¥--ï:

((a ¤ H) \ (b ¤ H) =6 ?) ) ((a ¤ H) = (b ¤ H)) :

Žâ¦¥, -¥å © a; b 2 G â (a ¤ H) \ (b ¤ H) =6 ?, ⮡⮠¯¥à¥â¨- (a ¤ H) \ (b ¤ H) ¬÷áâ¨âì ¯à¨- ©¬-÷ ®¤¨- ¥«¥¬¥-â c 2 (a ¤ H) \ (b ¤ H). ’®¤÷ ®âਬãõ¬® §¢'燐ª ¬÷¦ ¥«¥¬¥-â ¬¨ a â b:

(c 2 a ¤ H) , (c = a ¤ h1 ¤«ï ¤¥ïª®£® h1 2 H); (c 2 b ¤ H) , (c = b ¤ h2 ¤«ï ¤¥ïª®£® h2 2 H);

a = c ¤ h¡1 1 = b ¤ h2 ¤ h¡1 1 = b ¤ h; ¤¥ h = h2 ¤ h¡1 1 2 H:

• à¥èâ÷, ¤«ï ¤®¢÷«ì-®£® x 2 G ®âਬãõ¬®

(x 2 a ¤ H) ) (x = a ¤ ha ¤«ï ¤¥ïª®£® ha 2 H) )

) (x = b ¤ (h ¤ ha)) ) (x 2 b ¤ H):

Žâ¦¥, a¤H ½ b¤H. ‚ª« ¤¥--ï b¤H ½ a¤H ¬®¦- ¤®¢¥á⨠- «®£÷ç-®:

(x 2 b ¤ H) ) (x = b ¤ hb ¤«ï ¤¥ïª®£® hb 2 H) )

) (x = a ¤ (h¡1 ¤ hb)) ) (x 2 a ¤ H):

’ ª¨¬ ç¨-®¬, a ¤ H = b ¤ H, é® ¤®¢®¤¨âì ⢥द¥--ï ⥮६¨.

148