Spektorsky_diskretka

5.13. Ž¤¨- - á«÷¤®ª § ä®à¬ã«¨ …©«¥à ¤«ï ¯«®áª¨å £à ä÷¢

„®¢¥¤¥--ï. ‘¯à ¢¤÷, ïªé® dr = 1, £à -ì r ¬ õ ¡ã⨠®¡¬¥¦¥- ¯¥â«¥î, é® á㯥à¥ç¨âì ¯à®áâ®â÷ £à äã. Ÿªé® dr = 2, £à -ì r ¬ õ ¡ã⨠®¡¬¥¦¥-

99

•®§¤÷« 5. ’¥®à÷ï £à ä÷¢

‡ 㢠¦¥--ï 5.9. „«ï ¤¢®¤®«ì-¨å £à ä÷¢ १ã«ìâ â ⥮६¨ 5.15 ¬®¦¥ ¡ã⨠¯÷¤á¨«¥-¨©:

ne · 2nv ¡ 4

(¤®¢¥¤¥--ï ¯®¢-÷áâî - «®£÷ç-¥ ¤®¢¥¤¥--î ⥮६¨ 5.15, § ãà å㢠--ï¬ § ã¢. 5.8).

•÷¤ªà¥á«¨¬®, é® â¥®à¥¬ 5.15 ¤®§¢®«ïõ ¢áâ -®¢¨â¨ (¯à¨ ne 3nv ¡6)

«¨è¥ -¥¯« - à-÷áâì, ®áª÷«ìª¨ -¥à÷¢-÷áâì ne · 3nv ¡6 ¬®¦¥ ¢¨ª®-㢠â¨áì ïª ¤«ï ¯« - à-¨å, â ª ÷ ¤«ï -¥¯« - à-¨å £à ä÷¢.

•à¨ª« ¤ 5.31. 1. ƒà ä «‡÷ઠ» (£à ä G1 - à¨á. 5.25) -¥ õ ¯« - à- -¨¬, ®бªч«мª¨ ¤«п жм®£® £а дг -¥ ¢¨ª®-гхвмбп в¢¥а¤¦¥--п в¥®а¥¬¨ 5.15:

ne = 10 3nv ¡ 6 = 9:

2. ƒà ä «’ਠªà¨-¨æ÷» (£à ä G2 - à¨á. 5.25) -¥¯« - а-¨©, ®¤- ª ¤«п жм®£® £а дг ¢¨ª®-гхвмбп в¢¥а¤¦¥--п в¥®а¥¬¨ 5.15:

ne = 9 · 3nv ¡ 6 = 12:

•¥¯« - à-÷áâì £à äã «’ਠªà¨-¨æ÷» ¬®¦- ¤®¢¥áâ¨, ¢¨ª®à¨á⮢ãîç¨ ¯÷¤á¨«¥-¨© ¢ à÷ -â ⥮६¨ 5.15 ¤«ï ¤¢®¤®«ì-¨å £à ä÷¢ (§ ã¢. 5.9):

ne = 9 2nv ¡ 4 = 8:

5.14. ” à¡ã¢ --ï ¢¥àè¨- â £à -¥© £à äã

“ æ쮬ã ஧¤÷«÷, ïªé® -¥ ¢ª § -® ÷-è¥, ¢á÷ £à ä¨ ¢¢ ¦ ⨬¥¬® ¯à®- á⨬¨ â -¥®à÷õ-⮢ -¨¬¨.

5.14.1. ” à¡ã¢ --ï ¢¥àè¨- £à äã

•÷¤ ç á ஧¢'ï§ --ï ¡ £ âì®å ¯à®¡«¥¬ ¤®æ÷«ì-® ஧£«ï¤ ⨠£à ä¨ § ä à¡®¢ -¨¬¨ ¢¥àè¨- ¬¨ { ¬÷ç¥-÷ £à ä¨, ¤«ï ïª¨å ª®¦-÷© ¢¥àè¨-÷ v §÷-

бв ¢«пхвмбп ¤¥пª¨© ª®«ча cv (¢¥àè¨- v д а¡гхвмбп ¢ ª®«ча cv), ¯à¨ç®¬ã

бг¬ч¦-ч ¢¥аи¨-¨ д а¡говмбп ¢ ач§-ч ª®«м®а¨.

Œ÷-÷¬ «ì-ã ª÷«ìª÷áâì ª®«ì®à÷¢, ¤®áâ â-÷å ¤«ï ä à¡ã¢ --ï ¢¥àè¨- £à äã, - §¨¢ îâì å஬ â¨ç-¨¬ ç¨á«®¬. •à®¬ â¨ç-¥ ç¨á«® £à äã G

qG. ƒà ä § å஬ â¨ç-¨¬ ç¨á«®¬ k - §¨¢ îâì

100

•¨á. 5.32

• áâã¯- ⥮६ ®¤-®§- ç-® å à ªâ¥à¨§ãõ ª« á ¤¢®ª®«÷à-¨å £à ä÷¢.

’¥®à¥¬ 5.16. •¥¯®à®¦-÷© £à ä G ¤¢®ª®«÷à-¨© ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ¢÷- ¤¢®¤®«ì-¨©.

„®¢¥¤¥--ï. „¢®ª®«÷à-÷áâì -¥¯®à®¦-쮣® £à äã G, § ¢¨§- ç¥--ï¬, ¥ª¢÷¢ «¥-â- â ª®¬ã ⢥द¥--î: ¬-®¦¨-ã ¢¥àè¨- V £à äã G ¬®¦-

஧¡¨â¨ - -¥¯®à®¦-÷ ¯÷¤¬-®¦¨-¨ V1, V2 (V1 \ V2 = ?) â ª, é® ¡ã¤ì-ïª÷

¤¢÷ ¢¥àè¨-¨ § ®¤-÷õù ¯÷¤¬-®¦¨-¨ Vk (k = 1; 2) õ -¥áã¬÷¦-¨¬¨. ’®¡â®, §

®§- ç¥--ï¬ 5.11, ¤¢®ª®«÷à-÷áâì -¥¯®à®¦-쮣® £à äã ¥ª¢÷¢ «¥-â- ©®£® ¤¢®¤®«ì-®áâ÷.

Ž¤-¥ § ¢ ¦«¨¢¨å § áâ®á㢠-ì ä à¡ã¢ --ï ¢¥àè¨- £à äã ¯®¢'ï§ -¥ § â ª §¢ -®î «â¥®à÷õî ஧ª« ¤÷¢». • бвг¯-¨© ¯а¨ª« ¤ ¤¥¬®-бвагх (г §- -

ç-® á¯à®é¥-®¬ã ¢¨£«ï¤÷) §¢¥¤¥--ï ¯à®¡«¥¬¨ ᪫ ¤ --ï ®¯â¨¬ «ì-®£® ஧ª« ¤ã ¤® ä à¡ã¢ --ï ¢¥àè¨- £à äã.

•à¨ª« ¤ 5.34. „«ï - ¢ç «ì-®£® ¯à®æ¥áã á¥à¥¤-ì®ù 誮«¨ ¯®âà÷¡-® ᪫ á⨠஧ª« ¤ § -ïâì â ª, 鮡 ãá÷ ãப¨ ¢ 誮«÷ ¯à®â¬ ⨦-ï ¡ã- «¨ ¯à®¢¥¤¥-÷ § ¬÷-÷¬ «ì-ã ª÷«ìª÷áâì - ¢ç «ì-¨å £®¤¨-. ‚¢ ¦ îâì, é® ª÷«ìª÷áâì - ¢ç «ì-¨å 㤨â®à÷© -¥®¡¬¥¦¥- , ¯à®â¥ § ª®¦-®£® ¯à¥¤¬¥â õ â÷«ìª¨ ®¤¨- ¢¨ª« ¤ ç (®¤¨- ¯à¥¤¬¥â -¥ ¬®¦¥ ¢¨ª« ¤ â¨áì ¢®¤-®ç á ã ¤¢®å £à㯠å).

•®§£«ï-¥¬® £à ä G, é® ¢÷¤¯®¢÷¤ õ â ª¨¬ ¢¨¬®£ ¬:

² ª®¦- ¢¥àè¨- £à äã õ ¯ à®î ⨯ã (hª« ái; h¯à¥¤¬¥âi) ÷ ¢÷¤¯®¢÷-

¤ õ ãப㠧 ¢ª § -®£® ¯à¥¤¬¥â , 直© ¯®âà÷¡-® ¯à®¢¥á⨠¯à®â¬ ⨦-ï § ãç-ﬨ ¢ª § -®£® ª« áã (- ¯à¨ª« ¤, (10-€; ”÷§¨ª ));

101

•®§¤÷« 5. ’¥®à÷ï £à ä÷¢

²áã¬÷¦-¨¬¨ õ â÷ ÷ â÷«ìª¨ â÷ ¢¥àè¨-¨, ïª÷ ¢÷¤¯®¢÷¤ îâì ãப ¬, é®

-¥ ¬®¦ãâì ¡ã⨠¯à®¢¥¤¥-÷ ¢®¤-®ç á (®¤¨- ¢¨ª« ¤ ç -¥ ¬®¦¥ ¢¥á⨠¢®¤-®ç á ¤¢ ãப¨, ÷ ¤¢ ãப¨ -¥ ¬®¦- ¯à®¢®¤¨â¨ ¢®¤-®ç á § ®¤-¨¬ ª« ᮬ).

Žç¥¢¨¤-®, é® ª÷«ìª÷áâì ¢¥àè¨- ã £à ä÷ G ¤®à÷¢-îõ § £ «ì-÷© ª÷«ì-

ª®áâ÷ ãப÷¢, ïª÷ âॡ ¯à®¢¥á⨠§ ãç-ﬨ 誮«¨ ¯à®â¬ ⨦-ï, ÷ ¯à®- ¡«¥¬ ᪫ ¤ --ï ®¯â¨¬ «ì-®£® ஧ª« ¤ã §¢®¤¨âìáï ¤® ¯®èãªã å஬ - â¨ç-®£® ç¨á« ¯®¡ã¤®¢ -®£® £à äã.

„«ï ¯®èãªã å஬ â¨ç-®£® ç¨á« ÷á-ãîâì â®ç-÷ «£®à¨â¬¨ (¤¨¢., - - ¯à¨ª« ¤, [9]), пªч £ а -вговм §- 室¦¥--п в®з-®£® §- з¥--п е஬ в¨з- -®£® з¨б« .

Ž¤- ª § §à®áâ --ï ª÷«ìª®áâ÷ ¢¥àè¨- § áâ®á㢠--ï â®ç-¨å «£®à¨â- ¬÷¢ ä à¡ã¢ --ï áâ õ, ç¥à¥§ 袨¤ª¥ §à®áâ --ï ®¡áï£ã ®¡ç¨á«¥-ì, ¤ã¦¥ ¯à®¡«¥¬ â¨ç-¨¬. ’®¬ã ¤®æ÷«ì-® ஧£«ï¤ ⨠¯à®áâ÷ ⠥䥪⨢-÷ «£®- à¨â¬¨ «- ¡«¨¦¥-®£®» ä à¡ã¢ --ï £à äã § ª÷«ìª÷áâî ª®«ì®à÷¢, ¡«¨§ì-

ª¨¬ ¤® å஬ â¨ç-®£® ç¨á« . Ž¤¨- § â ª¨å «£®à¨â¬÷¢, § ¯à®¯®-®¢ -¨© „. “¥«è¥¬ (D. Welsh) ÷ Œ. • 㥫«®¬ (M. Powell):

1. ‚¥аи¨-¨ £а дг ¢¯®ап¤ª®¢говмбп § -¥§а®бв --п¬ бв¥¯¥-ч¢. 2. ‚¥аи¨- v, й® ¯¥аи ¢ б¯¨бªг, д а¡гхвмбп ¢ ª®«ча c.

3. “ ª®«÷à c д а¡говмбп ¢ ¯®ап¤ªг § б¯¨бª®¬ гбч ¢¥аи¨-¨, -¥бг¬ч¦-ч

§¢¥àè¨- ¬¨, é® - ¤ -®¬ã ªà®æ÷ ¯®ä à¡®¢ -÷ ¢ ª®«÷à c1.

4.•®ä à¡®¢ -÷ ¢¥àè¨-¨ ¢¨ªà¥á«îîâì ÷§ ᯨáªã.

5.•®¢â®àîõ¬® ¯ã-ªâ¨ 2{4, ¯®ª¨ ¢ ᯨáªã õ -¥ä à¡®¢ -÷ ¢¥àè¨-¨.

•à¨ª« ¤ 5.35. •®ä à¡ãõ¬® ¢¥àè¨-¨ £à äã G, §®¡à ¦¥-®£® - à¨á. 5.33, § áâ®á®¢ãîç¨ - ¡«¨¦¥-¨© «£®à¨â¬ “¥«è { • 㥫« .

G¯®ä à¡ãõ¬® ¢ ª®«÷à c2 ÷ ¢¨ªà¥á«¨¬® §÷ ᯨáªã.

102

5.14. ” à¡ã¢ --ï ¢¥àè¨- â £à -¥© £à äã

Žâ¦¥, £à ä G ¢¤ «®áï ¯®ä à¡ã¢ ⨠âà쮬 ª®«ì®à ¬¨. ‡ §- 稬®,

é® ¤«ï ¤ -®£® £à äã - ¡«¨¦¥-¨© «£®à¨â¬ ¤ ¢ â®ç-¥ §- ç¥--ï å஬ - â¨ç-®£® ç¨á« : £à ä G õ á ¬¥ âਪ®«÷à-¨¬ ( -¥ ®¤-®- ç¨ ¤¢®ª®«÷à-¨¬),

®áª÷«ìª¨ ¬÷áâ¨âì ¯®¢-¨© £à ä § âà쮬 ¢¥àè¨- ¬¨.

‡ 㢠¦¥--ï 5.10. •à®¡«¥¬ã ä à¡ã¢ --ï ¢¥àè¨- ¬®¦- ஧£«ï¤ ⨠÷ ¤«ï ¬ã«ì⨣à ä÷¢ ¡¥§ ¯¥â¥«ì (ä à¡ã¢ ⨠¢¥àè¨-¨ £à ä÷¢ § ¯¥â«ï¬¨ -¥¬®¦«¨¢®, ®áª÷«ìª¨ ¢¥àè¨- § ¯¥â«¥î áã¬÷¦- á ¬÷© ᮡ÷).

5.14.2. ” à¡ã¢ --ï £à -¥© £à äã

„ «÷ ¤® ª÷-æï ¯÷¤à®§¤÷«ã ¢á÷ £à ä¨ ¢¢ ¦ ⨬¥¬® ¯«®áª¨¬¨ -¥®à÷õ-- ⮢ -¨¬¨ ¬ã«ì⨣à ä ¬¨.

„«ï ª®à¥ªâ-®£® ¢¨§- ç¥--ï ¯à®¡«¥¬¨ ä à¡ã¢ --ï £à -¥© - ¬ §- ¤®- ¡¨âìáï ¯®-ïââï áã¬÷¦-®áâ÷ £à -¥©.

Ž§- ç¥--ï 5.20. ƒà -÷ r1 â r2 £à äã G - §¨¢ îâì áã¬÷¦-¨¬¨, ïªé® ÷á-ãõ ¯à¨- ©¬-÷ ®¤-¥ ॡà®, é® - «¥¦¨âì ®¡®¬ £à -ï¬.

Ž¤-¨¬ § ¯¥àè¨å (¬®¦«¨¢®, ¯¥à訬) § áâ®á㢠-ì ä à¡ã¢ --ï £à -¥© £à äã õ ä à¡ã¢ --ï £¥®£à ä÷ç-®ù ª à⨠⠪, 鮡 áãá÷¤-÷ ªà ù-¨ ¡ã«¨

103

•®§¤÷« 5. ’¥®à÷ï £à ä÷¢

¯®ä à¡®¢ -÷ à÷§-¨¬¨ ª®«ì®à ¬¨. “ §¢'離㠧 ¯®è㪮¬ ¬÷-÷¬ «ì-®ù ª÷«ì- ª®áâ÷ ª®«ì®à÷¢, ¯®âà÷¡-¨å ¤«ï ä à¡ã¢ --ï ª àâ¨, ¢ á¥à¥¤¨-÷ XIX á⮫÷ââï ¡ã« áä®à¬ã«ì®¢ - â ª §¢ - «¯à®¡«¥¬ ç®â¨àì®å ª®«ì®à÷¢», ïªã - ¢¥-

¤¥¬® (¡¥§ ¤®¢¥¤¥--ï) ¢ ¥ª¢÷¢ «¥-â-®¬ã ä®à¬ã«î¢ --÷ ¤«ï ä à¡ã¢ --ï ¢¥àè¨- ¯« - à-®£® £à äã.

’¥®à¥¬ 5.17 (¯à®¡«¥¬ ç®â¨àì®å ª®«ì®à÷¢). „«ï ä à¡ã¢ --ï ¢¥àè¨- ¯« - à-®£® £à äã ¤®áâ â-ì® 4 ª®«ì®à÷¢.

‡ §- 稬®, é® ¯à®¡«¥¬ã ç®â¨àì®å ª®«ì®à÷¢ ¡ã«® ¤®¢¥¤¥-® «¨è¥ 1976 ப㠬¥à¨ª -á쪨¬¨ ¢ç¥-¨¬¨ Š. €¯¯¥«¥¬ (K. Appel) â ‚. •¥©ª¥- -¥¬ (W. Haken) § ¢¨ª®à¨áâ --ï¬ ª®¬¯'îâ¥à-¨å â¥å-®«®£÷©.

5.15. •®-ïââï ¯à® ®à÷õ-⮢ -÷ £à ä¨

“ æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¢á÷ £à ä¨ ¢¢ ¦ ⨬¥¬® ¯à®á⨬¨ ®à£à ä ¬¨ (¯à®á⨬¨ ®à÷õ-⮢ -¨¬¨ £à ä ¬¨).

Ž§- ç¥--ï 5.21. Žà£à ä - §¨¢ îâì ¯®¢-¨¬, ïªé® ¡ã¤ì-ïª ¯ à ©®£® ¢¥àè¨- (u; v) (u 6= v) §'õ¤- - ॡ஬.

Žç¥¢¨¤-®, é® ¯®¢-÷ ®à£à ä¨ § ®¤- ª®¢®î ª÷«ìª÷áâî ¢¥àè¨- ¬®¦ãâì ¡ã⨠-¥÷§®¬®àä-¨¬¨. ’ ª, ¯®¢-÷ £à ä¨ G1 â G2, §®¡à ¦¥-÷ - à¨á. 5.35,

¬ îâì ®¤- ª®¢ã ª÷«ìª÷áâì ¢¥àè¨-, «¥ -¥ ÷§®¬®àä-÷.

Ž§- ç¥--ï 5.22. ‘⥯¥-¥¬ d+v ¢¥àè¨-¨ v § ¢å®¤®¬ - §¨¢ îâì ª÷«ì- ª÷áâì ॡ¥à, é® ¢¥¤ãâì ¤® ¢¥àè¨-¨ v, á⥯¥-¥¬ d¡v ¢¥àè¨-¨ v § ¢¨å®¤®¬

- §¨¢ îâì ª÷«ìª÷áâì ॡ¥à, é® ¢¥¤ãâì ¢÷¤ v. ‚¥àè¨-ã v - §¨¢ îâì ¢¨â®- ª®¬, ïªé® d+v = 0; ¢¥àè¨-ã v - §¨¢ îâì á⮪®¬, ïªé® d¡v = 0.

104

5.15. •®-ïââï ¯à® ®à÷õ-⮢ -÷ £à ä¨

’¥®à¥¬ 5.18. •®¢-¨© ®à£à ä -¥ ¬®¦¥ ¬ ⨠¡÷«ìè¥ ®¤-®£® ¢¨â®ªã ÷ -¥ ¬®¦¥ ¬ ⨠¡÷«ìè¥ ®¤-®£® á⮪ã.

„®¢¥¤¥--ï. „®¢¥¤¥¬®, é® ¯®¢-¨© ®à£à ä -¥ ¬®¦¥ ¬ ⨠¡÷«ìè¥ ®¤-®£® ¢¨â®ªã (⢥द¥--ï ¯à® á⮪¨ ¤®¢®¤¨âìáï - «®£÷ç-®).

•à¨¯ãáâ÷¬®, é® ¢ ¯®¢-®¬ã ®à£à ä÷ G ÷á-ãîâì ¢¨â®ª¨ v1 â v2. Žá- ª÷«ìª¨ £à ä ¯®¢-¨©, ¢¥àè¨-¨ v1 â v2 ¬ îâì ¡ã⨠§'õ¤- -÷ ॡ஬; -¥ ¯®агигоз¨ § £ «м-®бвч ¯а¨¯гбвч¬®, й® а¥¡а® ¢¥¤¥ ¢ч¤ v1 ¤® v2. Žâਬã- õ¬® á㯥à¥ç-÷áâì (¤® ¢¨â®ªã v2 ¢¥¤¥ ॡà®), é® ¤®¢®¤¨âì ⥮६ã.

„«ï ®à£à ä÷¢ ÷á-ãõ æ÷ª ¢¥ 㧠£ «ì-¥--ï ⥮६¨ ¯à® á⥯¥-÷ ¢¥àè¨-.

¤¥--ï ⥮६¨ 5.2.

105

•®§¤÷« 6

…«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £àã¯

6.1.€«£¥¡à¨ç-÷ áâàãªâãਠ§ ®¤-÷õî ¡÷- à-®î ®¯¥à æ÷õî

•¥å © A { -¥¯®à®¦-ï ¬-®¦¨- , n 2 N [ f0g.

”ã-ªæ÷î f : A£n ! A § ®¡« áâî ¢¨§- ç¥--ï D ½ A£n - §¨¢ îâì n- à-®î ®¯¥à æ÷õî - ¬-®¦¨-÷ A. Ÿªé® n = 1, â® ®¯¥à æ÷î f - §¨¢ îâì ã- à-®î, ïªé® n = 2 { ¡÷- à-®î. Ÿªé® n = 0, ¯÷¤ ®¯¥à æ÷õî f ஧ã¬÷îâì ä÷ªá®¢ -¨© ¥«¥¬¥-â f 2 A; ®¯¥à æ÷î f ã æ쮬ã à §÷ - §¨¢ îâì -ã«ì- à-®î. Ÿªé® D = A£n (⮡⮠äã-ªæ÷ï f õ ¢÷¤®¡à ¦¥--ï¬), ®¯¥à æ÷î f

- §¨¢ îâì § ¬ª-¥-®î.

„«п ¡ч- а-®щ ®¯¥а жчщ з бв® ¢¨ª®а¨бв®¢говм в ª §¢ -г ч-дчªб-г д®а- ¬г § ¯¨бг { б¨¬¢®« ®¯¥а жчщ § ¯¨бговм ¬ч¦ ¤¢®¬ щщ а£г¬¥-в ¬¨: xfy

§ ¬÷áâì f(x; y). “ à §÷ ¢¨ª®à¨áâ --ï ÷-ä÷ªá-®ù ä®à¬¨ § ¯¨áã ¤«ï ¡÷- à-

-®ù ®¯¥à æ÷ù ç áâ® ¢¦¨¢ îâì âà ¤¨æ÷©-÷ ¯®§- ç¥--ï: «+», «¢», «±» â ÷-.

‚ ¡áâà ªâ-®¬ã ¢¨¯ ¤ªã (¡¥§ ä÷ªá®¢ -®£® §¬÷áâã ¡÷- à-®ù ®¯¥à æ÷ù) ¡ã- ¤¥¬® ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨠¯®§- ç¥--ï «¤».

•÷- à-ã ®¯¥à æ÷î «¤» - ¬-®¦¨-÷ A - §¨¢ îâì ª®¬ãâ ⨢-®î, ïªé®

a ¤ b = b ¤ a 8 a; b 2 A:

•÷- à-ã ®¯¥à æ÷î «¤» - ¬-®¦¨-÷ A - §¨¢ îâì á®æ÷ ⨢-®î, ïªé®

(a ¤ b) ¤ c = a ¤ (b ¤ c) 8 a; b; c 2 A:

106

6.1. €«£¥¡à¨ç-÷ áâàãªâãਠ§ ®¤-÷õî ¡÷- à-®î ®¯¥à æ÷õî

„«ï á®æ÷ ⨢-®ù ¡÷- à-®ù ®¯¥à æ÷ù «¤» § ¬÷áâì (a ¤ b) ¤ c ¡® a ¤ (b ¤ c) ç áâ® ¯¨èãâì a ¤b ¤c, ®áª÷«ìª¨ ¯®à冷ª ¢¨ª®- --ï á®æ÷ ⨢-®ù ®¯¥à æ÷ù

-¥ ¬ õ §- ç¥--ï.

Ÿªй® - ¢¥¤¥-¥ б¯ч¢¢ч¤-®и¥--п ª®¬гв в¨¢-®бвч -¥ ¢¨ª®-гхвмбп ¯а¨- - ©¬-ч ¤«п ¤¢®е ¥«¥¬¥-вч¢ a; b 2 A, ®¯¥à æ÷î - §¨¢ îâì -¥ª®¬ãâ ⨢-

-®о. Ÿªй® - ¢¥¤¥-¥ б¯ч¢¢ч¤-®и¥--п б®жч в¨¢-®бвч -¥ ¢¨ª®-гхвмбп ¯а¨- - ©¬-ч ¤«п вам®е ¥«¥¬¥-вч¢ a; b; c 2 A, ®¯¥à æ÷î - §¨¢ îâì -¥ á®æ÷ ⨢-

-®î.

“¯®à浪®¢ -ã ¯ àã hA; ¤i, ¤¥ «¤» { ¡÷- à- ®¯¥à æ÷ï - ¬-®¦¨-÷

A 6= ?, - §¨¢ îâì «£¥¡à¨ç-®î áâàãªâãà®î § ¡÷- à-®î ®¯¥à æ÷õî.

‡ 㢠¦¥--ï 6.1. ‡¢¨ç ©-®, ¬®¦- ஧£«ï¤ ⨠«£¥¡à¨ç-÷ áâàãªâã- ਠ§ ¤®¢÷«ì-®î (÷ - ¢÷âì § -¥áª÷-ç¥--®î) ª÷«ìª÷áâî ®¯¥à æ÷© ¤®¢÷«ì-®ù à-®áâ÷. ’ ª, ã ஧¤. 7 ¡ã¤¥ ஧£«ï-ãâ® «£¥¡à¨ç-ã áâàãªâãàã § ¤¢®¬ ¡÷- à-¨¬¨ ®¯¥à æ÷ﬨ.

Ž§- ç¥--ï 6.1. €«£¥¡à¨ç-ã áâàãªâãàã hA; ¤i - §¨¢ ⨬¥¬® ®¯¥à - ⨢®¬, ïªé® ®¯¥à æ÷ï «¤» § ¬ª-¥- . Ž¯¥à ⨢ § á®æ÷ ⨢-®î ®¯¥à æ÷õî

-§¨¢ îâì ¯÷¢£à㯮î. €«£¥¡à¨ç-ã áâàãªâãàã § ª®¬ãâ ⨢-®î ®¯¥à æ÷õî

-§¨¢ îâì ª®¬ãâ ⨢-®î, § -¥ª®¬ãâ ⨢-®î ®¯¥à æ÷õî { -¥ª®¬ãâ ⨢- -®î.

•à¨ª« ¤ 6.1. 1. ‘âàãªâãà hZ; ¡i { ®¯¥à ⨢, ®áª÷«ìª¨ ¤«ï ¤®¢÷«ì- -¨å n; m 2 Z ®âਬãõ¬® n ¡ m 2 Z.

2. ‘âàãªâãà hN; ¡i -¥ õ ®¯¥à ⨢®¬: â ª, - ¯à¨ª« ¤, 1¡2 = ¡1 2= N.

‡ 㢠¦¥--ï 6.2. ’ãâ ÷ ¤ «÷, ïªé® -¥ ¢ª § -® ÷-è¥, ஧£«ï-ãâ® ¬ âà¨æ÷ § ¥«¥¬¥-â ¬¨ ÷§ R.

107

•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £àã¯

Ž§- ç¥--ï 6.2. •¥å © hA; ¤i { ®¯¥à ⨢. …«¥¬¥-â er 2 A - §¨¢ îâì ¯à ¢¨¬ -¥©âà «ì-¨¬, ïªé®

a ¤ er = a 8 a 2 A:

…«¥¬¥-â el 2 A - §¨¢ îâì «÷¢¨¬ -¥©âà «ì-¨¬, ïªé®

el ¤ a = a 8 a 2 A:

•à ¢¨© â «÷¢¨© -¥©âà «ì-÷ ¥«¥¬¥-⨠- §¨¢ îâì ®¤-®áâ®à®--÷¬¨ -¥©- âà «ì-¨¬¨.

…«¥¬¥-â e 2 A - §¨¢ îâì -¥©âà «ì-¨¬ (¤¢®áâ®à®--÷¬ -¥©âà «ì-¨¬), ïªé® ¢÷- õ ®¤-®ç á-® ¯à ¢¨¬ ÷ «÷¢¨¬ -¥©âà «ì-¨¬.

Ž§- ç¥--ï 6.3. •÷¢£àã¯ã § -¥©âà «ì-¨¬ ¥«¥¬¥-⮬ - §¨¢ îâì ¬®- -®ù¤®¬.

‡ 㢠¦¥--ï 6.3. „®¢÷«ì- «£¥¡à¨ç- áâàãªâãà § ¡÷- à-®î ®¯¥à - æ÷õî ¬®¦¥ -¥ ¬÷áâ¨â¨ -÷ ¤¢®áâ®à®--÷å, -÷ - ¢÷âì ®¤-®áâ®à®--÷å -¥©âà «ì- -¨å ¥«¥¬¥-â÷¢.

•à¨ª« ¤ 6.2. 1. ‚ «£¥¡à¨ç-÷© áâàãªâãà÷ hZ; ¡i ÷á-ãõ ¯à ¢¨© -¥©â-

à«ì-¨© 0, «¥ -¥¬ õ ¤¢®áâ®à®--쮣® -¥©âà «ì-®£®.

2.‚ «£¥¡à¨ç-÷© áâàãªâãà÷ hR3; £i (¢¥ªâ®à-¨© ¤®¡ã⮪ ¢¥ªâ®à÷¢ ã R3)

-¥ ÷á-ãõ ¦®¤-®£® (®¤-®- ç¨ ¤¢®áâ®à®--쮣®) -¥©âà «ì-®£® ¥«¥¬¥-â .

3. ‚ «£¥¡à¨ç-÷© áâàãªâãà÷ hMn£n; ¢i ÷á-ãõ ¤¢®áâ®à®--÷© -¥©âà «ì- -¨© I (®¤¨-¨ç- ¬ âà¨æï). Žâ¦¥, ¢à 客ãîç¨ á®æ÷ ⨢-÷áâì ¤®¡ãâªã

¬ âà¨æì, hMn£n; ¢i { ¬®-®ù¤ (¯à¨ n ¸ 2 { -¥ª®¬ãâ ⨢-¨©).

’¥®à¥¬ 6.1. Ÿªé® ¢ ®¯¥à ⨢÷ hA; ¤i ÷á-ãõ ¯à ¢¨© er ÷ «÷¢¨© el

-¥©âà «ì-÷ ¥«¥¬¥-â¨, â®

er = el:

„®¢¥¤¥--ï. ‡ ¢¨§- ç¥--ï¬ ¯à ¢®£® â «÷¢®£® -¥©âà «ì-¨å ¬ õ¬®:

el = el ¤ er; er = el ¤ er;

§¢÷¤ª¨ el = er.

108