Spektorsky_diskretka

6.1. €«£¥¡à¨ç-÷ áâàãªâãਠ§ ®¤-÷õî ¡÷- à-®î ®¯¥à æ÷õî

• á«÷¤®ª. Ÿªé® ¢ «£¥¡à¨ç-÷© áâàãªâãà÷ hA; ¤i ÷á-ãõ å®ç ¡ ®¤¨-

¯à ¢¨© er ÷ å®ç ¡ ®¤¨- «÷¢¨© el -¥©âà «ì-÷ ¥«¥¬¥-â¨, â® ¢ áâàãªâãà÷ ÷á-ãõ ¤¢®áâ®à®--÷© -¥©âà «ì-¨© ¥«¥¬¥-â e = er = el, ¯à¨ç®¬ã ¢á÷ ÷-è÷ ®¤-®- в ¤¢®бв®а®--ч -¥©ва «м-ч ¥«¥¬¥-в¨ §¡ч£ в¨¬гвмбп § e.

‹¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ¢ «£¥¡à¨ç-÷© áâàãªâãà÷ hA; ¤i ª®¦-¨© ¥«¥¬¥-â b 2 A õ ¯à ¢¨¬ -¥©âà «ì-¨¬.

Ž§- ç¥--ï 6.4. •¥å © hA; ¤i { ®¯¥à ⨢ § -¥©âà «ì-¨¬ ¥«¥¬¥-⮬ e, a { ä÷ªá®¢ -¨© ¥«¥¬¥-â ¢ A. …«¥¬¥-â a¡1;r 2 A - §¨¢ îâì ¯à ¢¨¬

®¡¥à-¥-¨¬ ¤® a, ïªé®

a ¤ a¡1;r = e:

…«¥¬¥-â a¡1;l 2 A - §¨¢ îâì «÷¢¨¬ ®¡¥à-¥-¨¬ ¤® a, ïªé®

a¡1;l ¤ a = e:

•à ¢¨© â «÷¢¨© ®¡¥à-¥-÷ ¥«¥¬¥-⨠- §¨¢ îâì ®¤-®áâ®à®--÷¬¨ ®¡¥à- -¥-¨¬¨.

…«¥¬¥-â a¡1 2 A - §¨¢ îâì ®¡¥à-¥-¨¬ ¤® a (¤¢®áâ®à®--÷¬ ®¡¥à-¥- -¨¬), ïªé® ¢÷- õ ®¤-®ç á-® ¯à ¢¨¬ ÷ «÷¢¨¬ ®¡¥à-¥-¨¬ ¤® a.

’¥®à¥¬ 6.2. Ÿªé® ¢ ¬®-®ù¤÷ hA; ¤i ÷á-ãõ ¯à ¢¨© a¡1;r ÷ «÷¢¨© a¡1;l ®¡¥à-¥-÷ ¤® ¤¥ïª®£® ¥«¥¬¥-â a 2 A, â®

a¡1;r = a¡1;l:

„®¢¥¤¥--ï. •¥å © e { -¥©âà «ì-¨© ¥«¥¬¥-â. ‡ ¢¨§- ç¥--ï¬ ¯à ¢®£® â «÷¢®£® ®¡¥à-¥-¨å ÷, ¢à 客ãîç¨ á®æ÷ ⨢-÷áâì, ¬ õ¬®

a¡1;l = a¡1;l ¤ e = a¡1;l ¤ (a ¤ a¡1;r) = (a¡1;l ¤ a) ¤ a¡1;r = e ¤ a¡1;r = a¡1;r:

109

•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £àã¯

™®¡ ã-¨ª-ã⨠ª®-ä«÷ªâã ¢ ¯®§- ç¥--ïå, ¤«ï ®¡¥à-¥-®£® ¥«¥¬¥-â ÷-®¤÷ ¢ª §ãîâì ®¯¥à æ÷î, ¢÷¤-®á-® 类ù ®¡ç¨á«¥-® ®¡¥à-¥-¨© ¥«¥¬¥-â: a¡1;¤ { ¥«¥¬¥-â, ®¡¥à-¥-¨© ¤® a ¢÷¤-®á-® ®¯¥à æ÷ù «¤».

•à¨ª« ¤ 6.4. 1. “ ¬®-®ù¤÷ hR; ¢i ®¡¥à-¥-¨© ¬ îâì ãá÷ ¥«¥¬¥-â¨, ªà÷¬

¥«¥¬¥-â 0: a¡1;¢ = a¡1( = a1 ) (a =6 0).

2. “ ¬®-®ù¤÷ hR; +i ®¡¥à-¥-¨© ¬ îâì ãá÷ ¥«¥¬¥-â¨: a¡1;+ = ¡a.

f : A ! A. ö§ ¢« á⨢®á⥩ ¡÷õªâ¨¢-¨å ¢÷¤®¡à ¦¥-ì ¢¨¯«¨¢ õ, é® hG; ±i {

£à㯠(«±» { ®¯¥à æ÷ï ª®¬¯®§¨æ÷ù). •¥©âà «ì-¨¬ ¥«¥¬¥-⮬ £à㯨 õ â®- ⮦-¥ ¢÷¤®¡à ¦¥--ï, ®¡¥à-¥-¨¬ { ¢÷¤¯®¢÷¤-¥ ®¡¥à-¥-¥ ¢÷¤®¡à ¦¥--ï.

„® ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢-¨å ¬®¦- ¢÷¤-¥á⨠£à㯨 hR¤; ¢i, hGLn; ¢i, hf1; ¡1g; ¢i.

1€¡¥«ì •÷«ìá ƒ¥-à÷ª (1802{1829) { -®à¢¥§ìª¨© ¬ ⥬ ⨪; ¤®¢÷¢, ªâ¨¢-® ¢¨ª®à¨- á⮢ãîç¨ ¢« á⨢®áâ÷ ª®¬ãâ ⨢-¨å £àã¯, -¥à®§¢'ï§-÷áâì «£¥¡à¨ç-¨å à÷¢-ï-ì 5-£® ÷ ¢¨é¨å ¯®à浪÷¢ ã § £ «ì-®¬ã ¢¨£«ï¤÷ ç¥à¥§ à ¤¨ª «¨.

110

6.2.Žá-®¢-÷ ¢« á⨢®áâ÷ £àã¯. ‘⥯÷-ì ¥«¥¬¥-â

‡ã¢ ¦¥--ï 6.5. ‡¢¨ç ©-®, ¢¨¤÷«¥---ï ª« á÷¢ ¤¨â¨¢-¨å ÷ ¬ã«ìâ¨- ¯«÷ª ⨢-¨å £à㯠¤®á¨âì 㬮¢-¥, ®áª÷«ìª¨ ¡ã¤ì-ïªã ¡÷- à-ã ®¯¥à æ÷î ¬®¦- (¯à¨- ©¬-÷, ä®à¬ «ì-®) ¯®§- ç¨â¨ ïª á¨¬¢®«®¬ «+», â ª ÷ ᨬ-

¢®«®¬ «¢». •à®â¥, ïªé® ©¤¥âìáï ¯à® ¤¨â¨¢-ã (¬ã«ì⨯«÷ª ⨢-ã) £àã¯ã, ¬ îâì - 㢠§÷ § £ «ì-®¯à¨©-ï⨩ á¥-á ®¯¥à æ÷© «+» â «¢». •÷«ìè¥ â®-

‡ 㢠¦¥--ï 6.6. •®§- ç¥--ï GLn â R¤ õ áâ «¨¬¨ ¤«ï ¢÷¤¯®¢÷¤-¨å ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢-¨å £àã¯, - ¢÷âì ¡¥§ ª®-ªà¥â¨§ãî箣® ¥¯÷â¥â «¬ã«ìâ¨-

¯«÷ª ⨢- ».

“¯®á÷¡-¨ªã ஧£«ï-ãâ® «¨è¥ - ©£®«®¢-÷è÷ ᯥªâ¨ ⥮à÷ù £àã¯. „¥-

â«ì-÷è¥ ¯à® ⥮à÷î «£¥¡à¨ç-¨å áâàãªâãà (§®ªà¥¬ , ⥮à÷î £àã¯) ¬®¦- - ¤÷§- â¨áï, - ¯à¨ª« ¤, § ¯à æì [10{ 13].

6.2.Žá-®¢-÷ ¢« á⨢®áâ÷ £àã¯. ‘⥯÷-ì ¥«¥¬¥-â

•®§£«п-¥¬® - ©¯а®бвчич ¢« бв¨¢®бвч £аг¯¨ hG; ¤i § -¥©âà «ì-¨¬

e2 G.

1.•¥å © a; b 2 G. ’®¤÷ à÷¢-ï--ï a ¤ x = b ¢÷¤-®á-® x 2 G ¬ õ õ¤¨-¨© ஧¢'燐ª x = a¡1 ¤ b.

„®¢¥¤¥--ï. öá-㢠--ï ஧¢'離ã: ¥«¥¬¥-â x = a¡1 ¤b ¤÷©á-® õ ஧¢'ï§- ª®¬ à÷¢-ï--ï a ¤ x = b, ®áª÷«ìª¨

a ¤ (a¡1 ¤ b) = (a ¤ a¡1) ¤ b = e ¤ b = b:

ô¤¨-÷áâì ஧¢'離ã:

(a ¤ x = b) ) (a¡1 ¤ a ¤ x = a¡1 ¤ b) ) (x = a¡1 ¤ b):

‚¯à ¢ 6.1. „®¢¥áâ¨, é® à÷¢-ï--ï y ¤ a = b ¬ õ ¢÷¤-®á-® y 2 G õ¤¨-¨© ஧¢'燐ª y = b ¤ a¡1.

111

6.3. ƒà㯠¯÷¤áâ -®¢®ª

‚ª §÷¢ª . „®¢¥á⨠¢« á⨢®áâ÷ ᯮç âªã ¤«ï n; m > 0, ¢ § £ «ì-®¬ã ¢¨¯ ¤ªã ᪮à¨áâ â¨áï ¢¨§- ç¥--ï¬ ak ¤«ï k < 0 § ãà å㢠--ï¬ § ã¢. 6.7 (¢¨¯ ¤ª¨ n = 0 â ( ¡®) m = 0 á«÷¤ ஧£«ï-ã⨠®ªà¥¬®).

™®¡ ã-¨ª-ã⨠ª®-ä«÷ªâã ¢ ¯®§- ç¥--ïå (§®ªà¥¬ , ஧£«ï¤ îç¨ ¤¨â¨¢-÷ £à㯨), ¤«ï á⥯¥-ï ¥«¥¬¥-â ÷-®¤÷ ¢ª §ãîâì £à㯮¢ã ®¯¥à æ÷î: an;¤ { á⥯÷-ì an ã £àã¯÷ § ®¯¥à æ÷õî «¤».

•à¨ª« ¤ 6.7. 1. “ £àã¯÷ hR¤; ¢i бв¥¯ч-м ¥«¥¬¥-в §¡ч£ хвмбп § ¢ч¤- ¯®¢ч¤-¨¬ ª« б¨з-¨¬ ( а¨д¬¥в¨з-¨¬) бв¥¯¥-¥¬:

an;¢ = a ¢ a ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ a = an:

| {z }

n

6.3. ƒà㯠¯÷¤áâ -®¢®ª

‚ ¦«¨¢¨© ª« á £à㯠¯®¢'ï§ -¨© § ¡÷õªâ¨¢-¨¬¨ ¢÷¤®¡à ¦¥--ﬨ (¯÷¤- áâ -®¢ª ¬¨) - áª÷-ç¥--÷© ¬-®¦¨-÷ A.

Žáª÷«ìª¨ ¯÷¤ ç á ¢¨¢ç¥--ï ¢« á⨢®á⥩ ¯÷¤áâ -®¢®ª ¯à¨à®¤ ¥«¥¬¥-- â÷¢ ¬-®¦¨-¨ A -¥ ¬ х §- з¥--п (бгввх¢¨¬ д ªв®¬ х «¨и¥ ¯®вг¦-чбвм

¬-®¦¨-¨ A), ¡ã¤¥¬® ¢¢ ¦ ⨠A = f1; 2; : : : ; ng (n ¸ 1).

6.3.1. ‡ £ «ì-÷ ¯®-ïââï ⥮à÷ù ¯÷¤áâ -®¢®ª

Ž§- ç¥--ï 6.6. •¥à¥áâ -®¢ª®î ¬-®¦¨-¨ A = f1; 2; : : : ; ng - §¨¢ - îâì ¤®¢÷«ì-¨© «÷-÷©-® ¢¯®à浪®¢ -¨© - ¡÷à i = (i1; i2; : : : ; in), â ª¨©, é®:

²ik 2 A ¯à¨ 1 · k · n;

²ik1 =6 ik2 ¯à¨ k1 =6 k2.

Žç¥¢¨¤-®, ¢á쮣® - ¬-®¦¨-÷ A ¢¨§- ç¥-® n! ¯¥à¥áâ -®¢®ª.

113

•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £àã¯

•à¨ª« ¤ 6.8. 1. •à¨ n = 1 ¢¨§- ç¥- ®¤- ¯¥à¥áâ -®¢ª (1). –¥©

¢¨¯ ¤®ª -¥æ÷ª ¢¨© ÷ ©®£®, ïª ¯à ¢¨«®, -¥ ஧£«ï¤ îâì. 2. •à¨ n = 2 ¢¨§- ç¥-® ¤¢÷ ¯¥à¥áâ -®¢ª¨: (1; 2), (2; 1).

3. •à¨ n = 3 ¢¨§- ç¥-® 3! = 6 ¯¥à¥áâ -®¢®ª: (1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3),

•÷¤áâ -®¢ªã c: A ! A §àãç-® §®¡à ¦ã¢ ⨠㠢¨£«ï¤÷ ¬ âà¨æ÷ ஧¬÷- ஬ 2 £ n:

>

>

:c: in 7!jn:

„«ï ¯¥à¥áâ -®¢®ª i = (i1; i2; : : : ; in), j = (j1; j2; : : : ; jn) ¯®§- 稬®

‹¥£ª® §à®§ã¬÷â¨, é® ª®¦-ã ¯÷¤áâ -®¢ªã (¯à¨ n ¸ 2) ¬®¦- §®¡à §¨â¨

ã ¢¨£«ï¤÷ ¬ âà¨æ÷ ª÷«ìª®¬ ᯮᮡ ¬¨, ¯¥à¥áâ ¢«ïîç¨ á⮢¯æ÷ ¬ âà¨æ÷ (ª®¦-÷© ¯÷¤áâ -®¢æ÷ - ¬-®¦¨-÷ A ¢÷¤¯®¢÷¤ õ n! ¬ âà¨æì).

•à¨ª« ¤ 6.9. •÷¤áâ -®¢ªã c : f1; 2g ! f1; 2g, â ªã, é® c(1) = 2, c(2) = 1, ¬®¦- §®¡à §¨â¨ ã ¢¨£«ï¤÷ ¬ âà¨æ÷ ¤¢®¬ ᯮᮡ ¬¨:

‹¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨ ¯®¤ -¥ -¨¦ç¥ ⢥द¥--ï.

114

6.3. ƒà㯠¯÷¤áâ -®¢®ª

‹¥¬ 6.1. •¥å © c { ¤®¢÷«ì- ¯÷¤áâ -®¢ª - ¬-®¦¨-÷ A.

1. „«ï ¤®¢÷«ì-®ù ¯¥à¥áâ -®¢ª¨ i = (i1; i2; : : : ; in) ÷á-ãõ õ¤¨- ¯¥à¥áâ - -®¢ª j = (j1; j2; : : : ; jn), â ª , é®

’ ª¨© ¯÷¤å÷¤ ª®à¨á-® ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨠¯÷¤ ç á ¢¨¢ç¥--ï ¢« á⨢®á⥩ ¯÷¤áâ -®¢®ª. •à®â¥, ïªé® -¥ ¢ª § -® ÷-è¥, ஧£«ï¤ ⨬¥¬® ¯÷¤áâ -®¢ªã ïª ¢÷¤®¡à ¦¥--ï - ¬-®¦¨-÷ A.

„«ï ¯÷¤áâ -®¢®ª c1; c2 : A ! A ¢¨§- ç¥-® ª®¬¯®§¨æ÷î c2 ± c1, ïªã ÷-®¤÷ - §¨¢ îâì ¤®¡ã⪮¬ ¯÷¤áâ -®¢®ª.

‡ 㢠¦¥--ï 6.8. •¥§ã«ìâ â ª®¬¯®§¨æ÷ù c = c2 ± c1, ®ç¥¢¨¤-®, -¥ §¬÷-

-¨âìáï, ïªé® ஧£«ï¤ ⨠c1 â c2 ïª ¢÷¤®¡à ¦¥--ï - ¬-®¦¨-÷ ¯¥à¥-

áâ -®¢®ª. –¥, à §®¬ § «¥¬®î 6.1, 㬮¦«¨¢«îõ â ª¨© ᯮá÷¡ ®¡ç¨á«¥--ï ª®¬¯®§¨æ÷ù ¯÷¤áâ -®¢®ª:

1) ¯÷¤áâ -®¢ª¨ c1 â c2 §®¡à ¦ãîâì ã ¢¨£«ï¤÷ ¬ âà¨æì â ª, 鮡 -¨¦-

115

•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £àã¯

(æ¥ ¬®¦- §à®¡¨â¨, ¢¨ª®à¨á⮢ãîç¨ à¥§ã«ìâ â «¥¬¨ 6.1, ¤® ⮣® ¦ n!

‡ - ¢¥¤¥-®£® ®§- ç¥--ï ®¡¥à-¥-®ù ¯÷¤áâ -®¢ª¨ ¢¨¯«¨¢ õ, é® c¡1 õ

ã⢮àîõ £àã¯ã § ®¯¥à æ÷õî «±» (ª®¬¯®§¨æ÷ï), ïªã - §¨¢ îâì £àã¯®î ¯÷¤áâ -®¢®ª, ¡® ᨬ¥âà¨ç-®î £à㯮î á⥯¥-ï n. ‡ §- 稬®, é® £à㯠¯÷¤áâ -®¢®ª - áª÷-ç¥--÷© ¬-®¦¨-÷ A õ ®ªà¥¬¨¬ ¢¨¯ ¤ª®¬ £à㯨 ¡÷õªæ÷© - ¤®¢÷«ì-÷© ¬-®¦¨-÷ A (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.5).

„«ï £à㯨 ¯÷¤áâ -®¢®ª á⥯¥-ï n ¢¨ª®à¨á⮢ãîâì ¯®§- ç¥--ï Sn.

116

117

6.3.2. •®§ª« ¤ --ï ¯÷¤áâ -®¢ª¨ ¢ ª®¬¯®§¨æ÷î 横«÷¢

—¨á«® k - §¨¢ îâì ¤®¢¦¨-®î 横«ã. –¨ª« ¤®¢¦¨-®î 2 - §¨¢ îâì âà -ᯮ§¨æ÷õî.

‡ã¢ ¦¥--ï 6.9. –¨ª« (i1; i2; : : : ; ik) õ ¯÷¤áâ -®¢ª®î, é® §¬÷-îõ (§áã-

¢õ § 横«®¬) ¥«¥¬¥-⨠i1; i2; : : : ; ik, § «¨è îç¨ ÷-è÷ ¥«¥¬¥-⨠- ¬÷áæ÷.

•à¨ª« ¤ 6.15. 1. –¨ª« ¤®¢¦¨-®î 1 § ®§- ç¥--ï¬ 6.9 õ â®â®¦-®î

¯÷¤áâ -®¢ª®î.

2. –¨ª« ¤®¢¦¨-®î 2 õ âà -ᯮ§¨æ÷õî (横« (i1; i2) ¬÷-ïõ ¬÷áæﬨ ¥«¥- ¬¥-⨠i1 â i2, § «¨è îç¨ ÷-è÷ ¥«¥¬¥-⨠- ¬÷áæ÷).

‡ 㢠¦¥--ï 6.10. •®§- ç¥--ï (i1; : : : ; ik), 瘟 ¢¨ª®à¨á⮢ãîâì ¤«ï 横«ã ¤®¢¦¨-®î k, § д®а¬®о §¡ч£ хвмбп § ¯®§- з¥--п¬ ¯¥а¥бв -®¢ª¨.

Ž¤- ª æ¥ -¥ ¯à¨¢®¤¨âì ¤® ª®-ä«÷ªâã ¯®§- ç¥-ì, ®áª÷«ìª¨ § ª®-⥪áâã § ¢¦¤¨ §à®§ã¬÷«®, õ ¤ -¨© ®¡'õªâ ¯÷¤áâ -®¢ª®î (横«®¬) ç¨ ¯¥à¥áâ -®¢- ª®î.

‚¯à ¢ 6.6. „®¢¥áâ¨, é® ¯à¨ k ¸ 2 ¢ £àã¯÷ Sn ¬÷áâ¨âìáï k1 Pnk à÷§-¨å 横«÷¢ ¤®¢¦¨-®î k.

‡ १ã«ìâ âã ¢¯à ¢¨ 6.6, §®ªà¥¬ , ¢¨¯«¨¢ õ (¯à¨ k = 2), é® ¢ £àã¯÷ Sn ¬÷áâ¨âìáï Cn2 âà -ᯮ§¨æ÷©.

118