Spektorsky_diskretka

7.1.‚¨§- ç¥--ï ⠯ਪ« ¤¨ ª÷«¥æì

‡¤®¤ ¢ --ï â ¬-®¦¥--ï ¢ ª÷«ìæ÷ ¬-®¦¨- S ¢¨¡¨à õ¬® ¢÷¤¯®¢÷¤-® ᨬ¥âà¨ç-ã à÷§-¨æî â ¯¥à¥â¨-:

A + B = A M B; A ¢ B = A \ B; (A; B 2 S):

‹¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® -ã«¥¬ ã ª÷«ìæ÷ hS; M; \i õ ¯®à®¦-ï ¬-®¦¨- :

A M ? = ? M A = A (A 2 S):

‘«÷¤ § §- ç¨â¨, é® ¥«¥¬¥-â, ¯à®â¨«¥¦-¨© A, §¡ч£ хвмбп ч§ б ¬®о ¬-®- ¦¨-®о A:

A M A = ? (A 2 S):

•¥à¥¯¨è¥¬® ¤«ï áâàãªâãਠhS; M; \i 㬮¢¨ ®§- ç¥--ï 7.1:

1) (A M B) M C = A M (B M C); 2) A M B = B M A;

3) A M ? = ? M A = A (-ã«ì®¢¨¬ ¥«¥¬¥-⮬ õ ¯®à®¦-ï ¬-®¦¨- ); 4) A M A = ? (¥«¥¬¥-â, ¯à®â¨«¥¦-¨© A, §¡ч£ хвмбп § A);

5) (A \ B) \ C = A \ (B \ C);

6) (A M B) \ C = (A \ C) M (B \ C); C \ (A M B) = (C \ A) M (C \ B).

“ª § -÷ â®â®¦-®áâ÷ -¥¢ ¦ª® ¤®¢¥á⨠§ ᮡ ¬¨ «£¥¡à¨ ¬-®¦¨-.

–¥© ¯à¨ª« ¤ ®¡óàã-⮢ãõ - §¢ã «ª÷«ì楻 ¤«ï ª÷«ìæï ¬-®¦¨- S ïª ¤«ï ®ªà¥¬®£® ¢¨¯ ¤ªã ¡áâà ªâ-®£® ª÷«ìæï hS; M; \i.

7. •¥å © hG; +i { ¤¥ïª ¤¨â¨¢- ¡¥«¥¢ £à㯠. „«ï ¥-¤®¬®àä÷§¬÷¢

f1; f2 2 EndG

(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) (x 2 G):

7.1. „®¢¥áâ¨, é® áâàãªâãà hEndG; +; ±i { ª÷«ìæ¥.

hEndG ; + ; ± i - §¨¢ îâì ª÷«ì楬 ¥-¤®¬®àä÷§¬÷¢ ¡¥«¥¢®ù £à㯨 hG; +i.

‡ 㢠¦¥--ï 7.1. „«ï ª÷«¥æì hR; +; ¢i, пªч з бв® ва ¯«повмбп ¢ ач§-

-¨е ஧¤ч« е ¬ в¥¬ в¨ª¨ (§®ªа¥¬ , ж¥ бв®бгхвмбп ªч«¥жм § ¯а¨ª«. 7.1), ç áâ® ¢ª §ãîâì «¨è¥ ¬-®¦¨-ã R, -¥ ¢ª §ãîç¨ ï¢-® ®¯¥à æ÷ù ¤®¤ ¢ --

-ï â ¬-®¦¥--ï. ’ ª, ïªé® £®¢®àïâì ¯à® ª÷«ìæ¥ ¤÷©á-¨å ç¨á¥«, ª÷«ìæ¥ ¬ âà¨æì, ª÷«ìæ¥ ª« á÷¢ «¨èª÷¢, ª÷«ìæ¥ ¬-®£®ç«¥-÷¢ â®é®, ¬ îâì - 㢠§÷ ª« á¨ç-÷ (¯à¨à®¤-÷) ®¯¥à æ÷ù ¤®¤ ¢ --ï â ¬-®¦¥--ï. ‚ àâ® § §- ç¨â¨,

179

•®§¤÷« 7. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù ª÷«¥æì

é® ¤«ï ª÷«ìæï ¬-®¦¨- S ¯à¨à®¤-¨¬¨ ¤®¤ ¢ --ï¬ ÷ ¬-®¦¥--ï¬ ¢¢ ¦ -

îâì ¢÷¤¯®¢÷¤-® ᨬ¥âà¨ç-ã à÷§-¨æî â ¯¥à¥â¨-: ã ¬®¤¥«ì-®¬ã ¤®¢¥¤¥--÷ â®â®¦-®á⥩ ¢ «£¥¡à÷ ¬-®¦¨- ᨬ¥âà¨ç-÷© à÷§-¨æ÷ â ¯¥à¥â¨-ã ¢÷¤¯®¢÷- ¤ îâì «®£÷ç-÷ ®¯¥à æ÷ù «©» â «^», ïª÷ (ïªé® ®â®â®¦-¨â¨ «®£÷ç-÷ 0 â 1

§ ª« á ¬¨ «¨èª÷¢ 0 â 1 § ¬®¤ã«¥¬ 2) §¡ч£ овмбп § ¤®¤ ¢ --п¬ ч ¬-®- ¦¥--п¬ - Z2 = f0; 1g.

Š÷«ìæ¥ hR; +; ¢i § ª®¬ãâ ⨢-®î ®¯¥à æ÷õî ¬-®¦¥--ï - §¨¢ îâì ª®-

3)ª÷«ìæ¥ hR[x]; +; ¢i ¬-®£®з«¥-ч¢ § ¤ч©б-¨¬¨ ª®¥дчжчх-в ¬¨;

4)ª÷«ìæ¥ ¬-®¦¨- hS; M; \i.

•©¯à®áâ÷訩 ¯à¨ª« ¤ -¥ª®¬ãâ ⨢-®£® ª÷«ìæï { ª÷«ìæ¥ ª¢ ¤à â-¨å

¬âà¨æì hMn£n; +; ¢i ã ¢¨¯ ¤ªã n ¸ 2.

Š÷«ìæ¥ hR; +; ¢i - §¨¢ îâì ª÷«ì楬 § ®¤¨-¨æ¥î, ïªé® ¢ áâàãªâãà÷

hR; ¢i ÷á-ãõ -¥©âà «ì-¨© ¥«¥¬¥-â 1 2 R (-¥©âà «ì-¨© § ¬-®¦¥--ï¬),

直© ã æ쮬㠢¨¯ ¤ªã - §¨¢ îâì ®¤¨-¨æ¥î ª÷«ìæï. ‡ §- 稬®, é® õ¤¨- -÷áâì ®¤¨-¨æ÷ ª÷«ìæï ïª -¥©âà «ì-®£® ¥«¥¬¥-â § ¬-®¦¥--ï¬ ¢¨¯«¨¢ õ § ⥮६¨ 6.1.

•à¨ª« ¤ 7.3. 1. “á÷ ª÷«ìæï, ஧£«ï-ãâ÷ ¢ ¯à¨ª«. 7.1, § ¢¨-ï⪮¬ ª÷«ìæï ¬-®¦¨- hS; M; \i, õ ª÷«ìæﬨ § ®¤¨-¨æ¥î.

2. Š÷«ìæ¥ hnZ; +; ¢i ã ¢¨¯ ¤ªã n ¸ 2 õ ª÷«ì楬 ¡¥§ ®¤¨-¨æ÷, ®áª÷«ì-

æ¥î ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ S õ «£¥¡à®î ¬-®¦¨-, ¯à¨ç®¬ã ®¤¨-¨æ¥î ¢ ª÷«ìæ÷ hS; M; \i (ïªé® S { «£¥¡à ) õ ã-÷¢¥àá «ì- ¬-®¦¨- .

180

7.2. Žá-®¢-÷ ¢« á⨢®áâ÷ ª÷«¥æì

Š÷«ìæï § ®¤¨-¨æ¥î ¡ã¤¥ ஧£«ï-ãâ® ¡÷«ìè ¤¥â «ì-® ¢ ¯÷¤à®§¤. 7.4.

‡ 㢠¦¥--ï 7.2. •ã«ì â ®¤¨-¨æï ¢ ¡áâà ªâ-®¬ã ª÷«ìæ÷ hR; +; ¢i ¯®-

§- ç îâì, ïª ¡ã«® § §- ç¥-®, ¢÷¤¯®¢÷¤-® ç¥à¥§ 0 â 1. •à®â¥ ¢ ª®-ªà¥â-®-

¬ã ª÷«ìæ÷ ¤«ï -ã«ï â ®¤¨-¨æ÷ ¢¨ª®à¨á⮢ãîâì ¯®§- ç¥--ï, ïª÷ õ § £ «ì- -®¯à¨©-ï⨬¨ á ¬¥ ¤«ï æ쮣® ª÷«ìæï ÷ ¬®¦ãâì §¡÷£ â¨áï ¡® -¥ §¡÷£ â¨áï § ¡áâà ªâ-¨¬¨ ¯®§- ç¥--ﬨ 0 â 1. ’ ª, ã ª÷«ìæ÷ ¤÷©á-¨å ç¨á¥« -ã-

«¥¬ â ®¤¨-¨æ¥î õ ç¨á« 0 â 1, ®¤- ª ã ª÷«ìæ÷ ¬ âà¨æì Mn£n -ã«¥¬ â

®¤¨-¨æ¥î õ ¢÷¤¯®¢÷¤-® -ã«ì®¢ â ®¤¨-¨ç- ¬ âà¨æ÷ (ïª÷ -¥ ¯à¨©-ïâ® ¯®§- ç ⨠ç¥à¥§ 0 â 1).

‡ 㢠¦¥--ï 7.3. „«ï á¯à®é¥--ï ¯®§- ç¥-ì ¢¢ ¦ ⨬¥¬®, é® ®¯¥à - æ÷ï ¬-®¦¥--ï ¢ ª÷«ìæ÷ ¬ õ ¢¨é¨© ¯à÷®à¨â¥â, -÷¦ ¤®¤ ¢ --ï, ⮡⮠¤ã¦ª¨ - ¢ª®«® ¤®¡ãâªã ¡ã¤¥¬® ®¯ã᪠â¨: a + (b ¢ c) = a + b ¢ c.

‡ 㢠¦¥--ï 7.4. Šà÷¬ ⮣®, § - «®£÷õî ¤® ¡ £ âì®å ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢- -¨å áâàãªâãà (ãà 客ãîç¨ ¤÷©á-÷ ç¨á« â ¬ âà¨æ÷), ¯®§- ç¥--ï ®¯¥à æ÷ù «¢» ¢ ¤®¡ãâªã ÷-®¤÷ ®¯ã᪠⨬¥¬®: a ¢ b = ab.

7.2. Žá-®¢-÷ ¢« á⨢®áâ÷ ª÷«¥æì

•®§£«п-¥¬® - ©¯а®бвчич ¢« бв¨¢®бвч ¤®¢ч«м-®£® ªч«мжп hR; +; ¢i.

1. 8 a 2 R: 0 ¢ a = a ¢ 0 = 0.

„®¢¥¤¥--ï. „®¢¥¤¥¬® â®â®¦-÷áâì 0¢a = 0 (â®â®¦-÷áâì a¢0 = 0 ¬®¦-

᪮à®ç¥--ï (6.2) ®âਬãõ¬® ¯®âà÷¡-¨© - á«÷¤®ª:

0 ¢ a + 0 ¢ a = 0 ¢ a ) 0 ¢ a + 0 ¢ a = 0 ¢ a + 0 ) 0 ¢ a = 0:

2. 8 a; b 2 R: a ¢ (¡b) = (¡a) ¢ b = ¡(a ¢ b).

-ì® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ¥«¥¬¥-â a ¢ (¡b) õ ¯à®â¨«¥¦-¨¬ a ¢ b. Š®а¨бвгоз¨бм ¢¨§- з¥--п¬ ªч«мжп в ¤®¢¥¤¥-®о ¢« бв¨¢чбво 1, ®ва¨¬гх¬®

a ¢ b + a ¢ (¡b) = a ¢ (¡b) + a ¢ b = a ¢ (b + (¡b)) = a ¢ 0 = 0:

181

•®§¤÷« 7. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù ª÷«¥æì

‚¯à ¢ 7.4. „®¢¥áâ¨, é® ¢ ª÷«ìæ÷ § ®¤¨-¨æ¥î ¬ õ ¬÷áæ¥ â®â®¦-÷áâì

¡a = (¡1) ¢ a 8 a 2 R:

„«ï ¥«¥¬¥-â÷¢ a; b 2 R 㢥¤¥¬® ®¯¥à æ÷î à÷§-¨æ÷:

a¡ b = a + (¡b):

’ª, § ®§- ç¥--ï ¯à®â¨«¥¦-®£® ¥«¥¬¥-â ¢¨¯«¨¢ õ a¡a=a+(¡a) = 0.

7.3. •÷¤ª÷«ìæ¥. Šà¨â¥à÷© ¯÷¤ª÷«ìæï

•¥å © hR; +; ¢i { ¤®¢÷«ì-¥ ª÷«ìæ¥.

Ž§- ç¥--ï 7.2. •÷¤ª÷«ì楬 ª÷«ìæï hR; +; ¢i - §¨¢ îâì ¯÷¤¬-®¦¨-

-ã R1 ½ R, ïª õ ª÷«ì楬 hR1; +; ¢i § ⨬¨ á ¬¨¬¨ ®¯¥à æ÷ﬨ «+» â «¢», é® © ª÷«ìæ¥ hR; +; ¢i.

• ¯à ªâ¨æ÷ ¤«ï ¯¥à¥¢÷ન, ç¨ õ -¥¯®à®¦-ï ¯÷¤¬-®¦¨- ª÷«ìæï ¯÷¤- ª÷«ì楬, §àãç-® ª®à¨áâ㢠â¨áì -¨¦ç¥¯®¤ -¨¬ ªà¨â¥à÷õ¬, - «®£÷ç-¨¬ ªà¨â¥à÷î ¯÷¤£à㯨 (⥮६ 6.7 § - á«÷¤ª®¬).

’¥®à¥¬ 7.1 (ªà¨â¥à÷© ¯÷¤ª÷«ìæï). •¥å © ? 6= R1 ½ R, ⮡â®

• á«÷¤®ª. “¬®¢¨ (7.1) â (7.2) ¢ ⥮६÷ 7.1 ¬®¦- § ¬÷-¨â¨ ®¤- -÷õî 㬮¢®î:

(a; b 2 R1) ) (a ¡ b 2 R1):

‚¯à ¢ 7.5. „®¢¥á⨠⥮६ã 7.1 ÷ - á«÷¤®ª á ¬®áâ÷©-®.

‡ 㢠¦¥--ï 7.5. „®¢¥¤¥--ï æ÷«ª®¬ - «®£÷ç-¥ ¤®¢¥¤¥--î ⥮à¥- ¬¨ 6.7.

182

7.4. Š÷«ìæï § ®¤¨-¨æ¥î

•à¨ª« ¤ 7.4. 1. Œ-®¦¨- nZ (n 2 N) õ ¯÷¤ª÷«ì楬 ª÷«ìæï æ÷«¨å ç¨á¥« Z.

2. Œ-®¦¨- R1 = fA 2 Mn£n : Aij = 0 ¯à¨ j > ig

¬ âà¨æì ஧¬÷஬ n £ n õ ¯÷¤ª÷«ì楬 ª÷«ìæï ¬ âà¨æì Mn£n.

k=1

=ff(x) 2 R[x]: f(0) = 0g

õ¯÷¤ª÷«ì楬 ª÷«ìæï ¬-®£®ç«¥-÷¢ R[x].

Žç¥¢¨¤-®, é® ¡ã¤ì-瘟 ª÷«ìæ¥ hR; +; ¢i ¬÷áâ¨âì âਢ÷ «ì-÷ ¯÷¤ª÷«ìæï { ¬-®¦¨-ã f0g ÷ ¬-®¦¨-ã R. •÷¤ª÷«ìæ¥, é® -¥ õ âਢ÷ «ì-¨¬, - §¨¢ îâì

¢« á-¨¬.

Š÷«ìæ¥, é® ¬÷áâ¨âì «¨è¥ ®¤¨- ¥«¥¬¥-â (æ¥ ¬ õ ¡ã⨠0) - §¨¢ îâì -ã«ì®¢¨¬. Žâ¦¥, ¡ã¤ì-瘟 ª÷«ìæ¥ hR; +; ¢i ¬÷áâ¨âì ¤¢ âਢ÷ «ì-÷ ª÷«ìæï {

-ã«ì®¢¥ ª÷«ìæ¥ f0g ÷ á ¬¥ ª÷«ìæ¥ R. Žз¥¢¨¤-®, й® ¤«п -г«м®¢®£® ªч«мжп ®¡¨¤¢ ва¨¢ч «м-ч ¯ч¤ªч«мжп §¡ч£ овмбп.

7.4. Š÷«ìæï § ®¤¨-¨æ¥î

“ æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ®¡'õªâ®¬ ஧£«ï¤ã ¡ã¤¥ ª÷«ìæ¥ hR; +; ¢i, é® ¬÷áâ¨âì

®¤¨-¨ç-¨© ¥«¥¬¥-â 1 2 R. „®¢¥¤¥¬® ¯à®á⨩ ä ªâ 鮤® ¬®¦«¨¢®áâ÷ §¡÷£ã -ã«ï â ®¤¨-¨æ÷ ª÷«ìæï.

‹¥¬ 7.1. “ -¥-ã«ì®¢®¬ã ª÷«ìæ÷ 0 6= 1.

„®¢¥¤¥--ï. •¥å © ª÷«ìæ¥ § ®¤¨-¨æ¥î hR; +; ¢i õ -¥-ã«ì®¢¨¬, ⮡⮠¬÷á- â¨âì ¯à¨- ©¬-÷ ®¤¨- ¥«¥¬¥-â a =6 0. ’®¤÷ ®âਬãõ¬®

a ¢ 0 = 0 =6 a = a ¢ 1;

é® ã-¥¬®¦«¨¢«îõ à÷¢-÷áâì 0 = 1.

‡ 㢠¦¥--ï 7.6. Žç¥¢¨¤-®, é® ¢ -ã«ì®¢®¬ã ª÷«ìæ÷ ¥«¥¬¥-⨠0 â 1 §¡ч£ овмбп: -г«м®¢¥ ªч«мж¥ ¬чбв¨вм «¨и¥ ®¤¨- ¥«¥¬¥-в 0, 直© ¤«ï ®¤-

-®¥«¥¬¥-â-®ù ¬-®¦¨-¨ õ -¥©âà «ì-¨¬ § ¡ã¤ì-ïª®î ¡÷- à-®î ®¯¥à æ÷õî

(0 ¢ 0 = 0).

183

•®§¤÷« 7. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù ª÷«¥æì

Ž§- ç¥--ï 7.3. …«¥¬¥-â a 2 R - §¨¢ îâì ®¡®à®â-¨¬ ã ª÷«ìæ÷ R, ¡® ¤÷«ì-¨ª®¬ ®¤¨-¨æ÷, ïªé® ÷á-ãõ ¥«¥¬¥-â a¡1 { ®¡¥à-¥-¨© ¤® a § ¬-®-

Žâ¦¥, ¢ ª÷«ìæ÷ § ®¤¨-¨æ¥î ÷á-ãîâì -¥©âà «ì-÷ ¥«¥¬¥-⨠¤«ï ®¡®å ¡÷- - à-¨å ®¯¥à æ÷©: 0 { -¥©âà «ì-¨© § ¤®¤ ¢ --ï¬, 1 { -¥©âà «ì-¨© §

¬-®¦¥--ï¬. Ÿª 㦥 § §- ç «¨, ®¡¥à-¥-¨© ¤® a 2 R § ¤®¤ ¢ --ï¬ - §¨- ¢ îâì ¯à®â¨«¥¦-¨¬ ÷ ¯®§- ç îâì ç¥à¥§ ¡a, é® ã-¥¬®¦«¨¢«îõ ª®-ä«÷ªâ § â¥à¬÷-®¬ «®¡¥à-¥-¨©» (¡¥§ ï¢-®ù - §¢¨ ¢÷¤¯®¢÷¤-®ù ¡÷- à-®ù ®¯¥à æ÷ù) â ¯®§- ç¥--ï¬ a¡1 ¤«ï ®¡¥à-¥-®£® § ¬-®¦¥--ï¬.

Ž¡¥à-¥-÷ ¥«¥¬¥-⨠¬®¦ãâì ÷á-㢠⨠-¥ ¤«ï ¢á÷å a 2 R. •÷«ìè¥ â®-

£®, ã ¡ã¤ì-类¬ã -¥-ã«ì®¢®¬ã ª÷«ìæ÷ § ®¤¨-¨æ¥î ÷á-ãõ ¯à¨- ©¬-÷ ®¤¨- -¥®¡®à®â-¨© ¥«¥¬¥-â { -ã«ì ª÷«ìæï:

0 ¢ a = a ¢ 0 = 0 6= 1 8 a 2 R:

Ž¤- ª, ã ¡ã¤ì-类¬ã ª÷«ìæ÷ hR; +; ¢i (§ ®¤¨-¨æ¥î) ®¡®à®â-¨¬¨ õ ¥«¥-

¬¥-⨠1 â ¡1:

1¡1 = 1; (¡1)¡1 = ¡1; ®áª÷«ìª¨ 1 ¢ 1 = (¡1) ¢ (¡1) = 1.

⮡⮠Z¤ = f1; ¡1g.

3. “ ª÷«ìæ÷ ¬ âà¨æì Mn£n ®¡®à®â-÷ ¢á÷ -¥¢¨à®¤¦¥-÷ ¬ âà¨æ÷:

A ¢ A¡1 = A¡1 ¢ A = I;

⮡⮠(Mn£n)¤ = GLn.

184

7.4.Š÷«ìæï § ®¤¨-¨æ¥î

4.“ ª÷«ìæ÷ ª« á÷¢ «¨èª÷¢ Z6 ®¡®à®â-¨¬¨ õ ¥«¥¬¥-⨠1 â 5:

(1)¡1 = 1; (5)¡1 = 5;

(a ¢ b) ¢ (b¡1 ¢ a¡1) = a ¢ (b ¢ b¡1) ¢ a¡1 = 1; (b¡1 ¢ a¡1) ¢ (a ¢ b) = b¡1 ¢ (a¡1 ¢ a) ¢ b = 1;

€«£¥¡à¨ç-ã áâàãªâãàã hR¤; ¢i - §¨¢ îâì ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢-®î £àã-

•®-ïââï ®¡®à®â-®£® ¥«¥¬¥-â (¤÷«ì-¨ª ®¤¨-¨æ÷) â÷á-® ¯®¢'ï§ -¥ § ¯®-ïââï¬ ¤÷«ì-¨ª -ã«ï, 瘟 ¡ã¤¥ ஧£«ï-ãâ® ¢ - áâã¯-®¬ã ¯÷¤à®§¤÷«÷.

185

•®§¤÷« 7. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù ª÷«¥æì

7.5.„÷«ì-¨ª¨ -ã«ï. •®-ïââï ®¡« áâ÷ æ÷«÷á-®áâ÷

•¥å © hR; +; ¢i { ¤®¢÷«ì-¥ ª÷«ìæ¥.

Ž§- ç¥--ï 7.4. …«¥¬¥-⨠a; b2R - §¨¢ îâì ¤÷«ì-¨ª ¬¨ -ã«ï, ïªé®

a =6 0; b =6 0; ab = 0:

…«¥¬¥-â a ¢ æ쮬㠢¨¯ ¤ªã - §¨¢ îâì «÷¢¨¬ ¤÷«ì-¨ª®¬ -ã«ï, ¥«¥-

¥«¥¬¥-â -¥ õ ¤÷«ì-¨ª®¬ -ã«ï.

186

7.5. „÷«ì-¨ª¨ -ã«ï. •®-ïââï ®¡« áâ÷ æ÷«÷á-®áâ÷

„®¢¥¤¥--ï. •à¨¯ãáâ÷¬®, é® a 2 R õ ®¤-®ç á-® ¤÷«ì-¨ª®¬ -ã«ï © ®¡®-

à®â-¨¬ ¥«¥¬¥-⮬. ‚¢ ¦ ⨬¥¬®, é® a =6 0 { «ч¢¨© ¤ч«м-¨ª -г«п (¢¨¯ - ¤®ª ¯а ¢®£® ¤ч«м-¨ª -г«п ஧£«п¤ хвмбп - «®£чз-®), в®¡в®

ab = 0 ¤«ï ¤¥ïª®£® b 2 R, b 6= 0:

’®¤÷ ®âਬãõ¬®

(ab = 0) ) (a¡1 ¢(a¢b) = a¡1 ¢0) ) ((a¡1 ¢a)¢b = 0) ) (1¢b = 0) ) (b = 0);

é® á㯥à¥ç¨âì 㬮¢÷ b =6 0.

Žâ¦¥, ®¡®à®â-¨© ¥«¥¬¥-â (¤÷«ì-¨ª ®¤¨-¨æ÷) -¥ õ ¤÷«ì-¨ª®¬ -ã«ï, ®¤- - ª §¢®à®â-¥ ⢥द¥--ï ¢ § £ «ì-®¬ã ¢¨¯ ¤ªã -¥¯à ¢¨«ì-¥: ¥«¥¬¥-â, 直© -¥ õ ¤÷«ì-¨ª®¬ -ã«ï, -¥ ®¡®¢'離®¢® õ ®¡®à®â-¨¬.

•à¨ª« ¤ 7.7. “ ª÷«ìæ÷ æ÷«¨å ç¨á¥« Z -¥¬ õ ¤÷«ì-¨ª÷¢ -ã«ï, ®¤- ª «¨è¥ ¥«¥¬¥-⨠1 â (¡1) õ ®¡®à®â-¨¬¨.

‡¤÷«ì-¨ª ¬¨ -ã«ï (â®ç-÷è¥, § ùå ¢÷¤áãâ-÷áâî) ¯®¢'ï§ -® ¢¨ª®- --ï

§ª®-÷¢ ᪮à®ç¥--ï ¢ ¤®¢÷«ì-®¬ã ª÷«ìæ÷ hR; +; ¢i:

’¥®à¥¬ 7.4. ‡ ª®-¨ ᪮à®ç¥--ï (7.3) ÷ (7.4) ã ¤®¢÷«ì-®¬ã ª÷«ìæ÷ hR; +; ¢i ¢¨ª®-говмбп ⮤ч ч вч«мª¨ ⮤ч, ª®«¨ ªч«мж¥ hR; +; ¢i -¥ ¬÷á-

â¨âì ¦®¤-®£® ¤÷«ì-¨ª -ã«ï.

„®¢¥¤¥--ï. 1. •¥å © ª÷«ìæ¥ hR; +; ¢i -¥ ¬÷áâ¨âì ¤÷«ì-¨ª÷¢ -ã«ï. „®¢¥-

¤¥¬®, й® ¢ жм®¬г ªч«мжч ¢¨ª®-гхвмбп § ª®- (7.3) (§ ª®- (7.4) ஧£«п¤ - хвмбп - «®£чз-®). “а е®¢гоз¨, й® ¢ ªч«мжч -¥¬ х ¤ч«м-¨ªч¢ -г«п, ¤«п a; b; x 2 R (x 6= 0) ®âਬãõ¬®

(ax = bx) ) ((a ¡ b) ¢ x = 0) ) (a ¡ b = 0) ) (a = b):

2. •¥å © ã ª÷«ìæ÷ hR; +; ¢i ¢¨ª®-говмбп § ª®-¨ (7.3) ÷ (7.4). „®¢¥¤¥¬®, é® ¢ ª÷«ìæ÷ hR; +; ¢i -¥¬ õ ¤÷«ì-¨ª÷¢ -ã«ï.

•à¨¯ãáâ÷¬®, é® a; b 2 R, a 6= 0, b 6= 0, ab = 0. ’®¤÷ ¤÷áâ -¥¬®

(a ¢ b = 0) ) (a ¢ b = a ¢ (b ¢ 0)) ) (b = b ¢ 0) ) (b = 0);

é® á㯥à¥ç¨âì 㬮¢÷ b =6 0.

187

•®§¤÷« 7. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù ª÷«¥æì

‡ã¢ ¦¥--ï 7.7. “ ¯. 2 ¤®¢¥¤¥--ï ⥮६¨ 7.4 ¡ã«® ¢¨ª®à¨áâ -® «¨è¥

§ª®- «÷¢®£® ᪮à®ç¥--ï (7.4). €- «®£÷ç-® ¬®¦- ¡ã«® ¡ ¢¨ª®à¨áâ ⨠÷ ¯à ¢¨© § ª®- ᪮à®ç¥--ï (7.3), -¥ ª®а¨бвгоз¨бм «ч¢¨¬. Žв¦¥, пªй® ¢ ªч«мжч б¯а ¢¤¦гхвмбп е®з ¡ ®¤¨- ч§ § ª®-ч¢ бª®а®з¥--п, в® в ª¥ ªч«мж¥ -¥ ¬чбв¨вм ¦®¤-®£® ¤ч«м-¨ª -г«п, ч ¢ жм®¬г ªч«мжч б¯а ¢¤¦говмбп ®¡¨¤¢

§ª®-¨ (7.3) ÷ (7.4).

•à¨ª« ¤ 7.8. 1. Š÷«ìæ¥ ¤÷©á-¨å ç¨á¥« hR; +; ¢i -¥ ¬÷áâ¨âì ¤÷«ì-¨ª÷¢ -ã«ï, ®â¦¥, ¤®¯ã᪠õ § ª®- ᪮à®ç¥--ï (7.3)

(ax = bx) ) (a = b)

¤«ï ¡ã¤ì-直å a; b; x 2 R, x 6= 0.

2. Š÷«ìæ¥ ¬ âà¨æì M2£2 ¬÷áâ¨âì ¤÷«ì-¨ª¨ -ã«ï. ’ ª, §®ªà¥¬ ,

Žâ¦¥, ã ª÷«ìæ÷ M2£2 ¦®¤¥- § ¤¢®å § ª®-÷¢ ᪮à®ç¥--ï -¥ á¯à ¢¤¦ã-

Ÿª ¡ 稬®, ¢ ¤®¢÷«ì-®¬ã ª÷«ìæ÷ hR; +; ¢i § ®¤¨-¨æ¥î ÷á-ãõ â÷á-¨© §¢'ï-

§®ª ¬÷¦ ¯®-ïââﬨ ¤÷«ì-¨ª -ã«ï â ®¡®à®â-®£® ¥«¥¬¥-â (¤÷«ì-¨ª ®¤¨-¨æ÷). –¥© §¢'燐ª áâ õ é¥ â÷á-÷訬 ã ¢¨¯ ¤ªã áª÷-ç¥--®£® ª÷«ìæï hR; +; ¢i, ⮡⮠ª®«¨ card R < 1.

’¥®à¥¬ 7.5. •¥å © hR; +; ¢i { áª÷-ç¥--¥ ª÷«ìæ¥ § ®¤¨-¨æ¥î, ¥«¥¬¥-â a 2 R -¥ õ ¤÷«ì-¨ª®¬ -ã«ï â a =6 0. ’®¤÷ ¥«¥¬¥-â a ®¡®à®â-¨©.

„®¢¥¤¥--ï. •¥å © card R = n ¸ 2 (ã -ã«ì®¢®¬ã ª÷«ìæ÷, ⮡⮠㠢¨¯ ¤- ªã card R = 1, в¢¥а¤¦¥--п в¥®а¥¬¨ ®з¥¢¨¤-® ¢¨ª®-гхвмбп), a 2 R, a =6 0.

188