Spektorsky_diskretka
.pdf
1.1. Žá-®¢-÷ ¯®-ïââï «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì
Ž§- ç¥--ï 1.6. …ª¢÷¢ «¥-æ÷õî (¯®¤¢÷©-®î ÷¬¯«÷ª æ÷õî) ¢¨á«®¢«¥-ì A â B - §¨¢ îâì ¢¨á«®¢«¥--ï A $ B, 瘟 õ ¯à ¢¤¨¢¨¬ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷,
ª®«¨ ®¡¨¤¢ ¢¨á«®¢«¥--ï A â B õ ¢®¤-®ç á ¯à ¢¤¨¢¨¬¨ ¡® ¢®¤-®ç á -¥¯à ¢¤¨¢¨¬¨ (- ¡ã¢ îâì ®¤- ª®¢¨å §- ç¥-ì).
‡ 㢠¦¥--ï 1.4. ‚¨á«®¢«¥--ï A $ B õ ¯à ¢¤¨¢¨¬ ⮤÷ i â÷«ìª¨ â®- ¤÷, ª®«¨ ¢®¤-®ç á ¯à ¢¤¨¢÷ ®¡¨¤¢÷ ÷¬¯«÷ª æ÷ù A ! B â B ! A, ⮡â®:
A $ B = (A ! B) ^ (B ! A).
Ž§- ç¥--ï 1.7. ‘ã¬®î § ¬®¤ã«¥¬ 2 (¢¨ª«îç-®î «®£÷ç-®î á㬮î) ¢¨á«®¢«¥-ì A â B - §¨¢ îâì ¢¨á«®¢«¥--ï A © B, 瘟 õ ¯à ¢¤¨¢¨¬ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ à÷¢-® ®¤-¥ § ¢¨á«®¢«¥-ì A ç¨ B õ ¯à ¢¤¨¢¨¬ (¢¨á«®- ¢«¥--ï A â B - ¡ã¢ îâì à÷§-¨å §- ç¥-ì).
‡ 㢠¦¥--ï 1.5. ‚¨á«®¢«¥--ï A © B õ ¯à ¢¤¨¢¨¬ ⮤÷ i â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ¥ª¢÷¢ «¥-æ÷ï A $ B õ -¥¯à ¢¤¨¢®î: A © B = :(A $ B).
1.1.2. •¥ªãàᨢ-¥ ¢¨§- ç¥--ï ä®à¬ã«¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì
‡ §- 稬®, é® ¯®-ïââï ä®à¬ã«¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì õ ÷-âãù⨢-® §à®- §ã¬÷«¨¬, ¯à®â¥ ä®à¬ «÷§ æ÷ï ¯®âॡãõ ç÷âª¨å ¢¨§- ç¥-ì.
Ž§- з¥--п 1.8. Œ-®¦¨- д®а¬г« ¢¨§- з хвмбп в ª¨¬¨ ва쮬 㬮¢ ¬¨:
² ¯à®¯®§¨æ÷©- «÷â¥à õ ä®à¬ã«®î;
² ïªé® A â B { ä®à¬ã«¨, â® (A_B), (A^B), (:A) { â ª®¦ ä®à¬ã«¨; ² ÷-è¨å ä®à¬ã« -¥¬ õ.
•à¨ª« ¤¨ ä®à¬ã« «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì: (A_(:B)), (A^(B_C)). ‡ ¯¨á A _ B ^ C, §£÷¤-® § ®§- ç¥--ï¬ 1.8, -¥ õ ä®à¬ã«®î «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì.
• ¤ «÷ ¢¨à § A ! B ¢¢ ¦ ⨬¥¬® ᪮à®ç¥--ï¬ ¤«ï (:A) _ B, ¢¨à §
A $ B { ᪮à®ç¥--ï¬ ¤«ï (A ! B) ^ (B ! A) (¤¨¢. § ã¢. 1.3 â 1.4).
‡ ¬¥в®о б¯а®й¥--п § ¯¨бг, - ¤ «ч г д®а¬г« е ®¯гбª в¨¬¥¬® §®¢-чи- -ч ¤г¦ª¨, й® -¥ -¥бгвм ¢ б®¡ч ¤®¤ вª®¢®щ ч-д®а¬ жчщ, ¯а®в¥ -¥¬¨-гз¥ §'п¢«повмбп, пªй® д®а¬г« ¬чбв¨вм е®з ¡ ®¤-г «®£чз-г ®¯¥а жчо. ’ ª, § ¬чбвм (A _ B) ¡ã¤¥¬® ¯¨á ⨠A _ B.
9
•®§¤÷« 1. €«£¥¡à ¢¨á«®¢«¥-ì
• ¤ «÷ ¢¢ ¦ ⨬¥¬®, é® ¡÷- à-÷ ®¯¥à æ÷ù «_», «^», «!», «$» â «©»
¬ îâì ¬¥-訩 ¯à÷®à¨â¥â, -÷¦ ã- à- ®¯¥à æ÷ï «:». ‡ ¯¨áãîç¨ ä®à¬ã-
«¨ «£¥¡а¨ ¢¨б«®¢«¥-м, ¡г¤¥¬® ®¯гбª в¨ ¤г¦ª¨, - п¢-чбвм пª¨е ¢бв -®- ¢«охвмбп § ¬чаªг¢ -м ¯ач®а¨в¥в-®бвч ®¯¥а жч©. ’ ª, § ¬чбвм A _ (:B) â
(:A) ! B ¯¨á ⨬¥¬® ¢÷¤¯®¢÷¤-® A _ :B â :A ! B.
1.2.ö-â¥à¯à¥â æ÷ù ä®à¬ã« «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì. ’ ¡«¨æ÷ ¯à ¢¤¨¢®áâ÷
Ž§- з¥--п 1.9. ц-в¥а¯а¥в жчхо д®а¬г«¨ «£¥¡а¨ ¢¨б«®¢«¥-м - - §¨¢ хвмбп §чбв ¢«¥--п ª®¦-ч© ¯а®¯®§¨жч©-ч© «чв¥ач, й® ¬чбв¨вмбп г д®а- ¬г«ч, §- з¥--п «¯à ¢¤ » (1) ç¨ «-¥¯à ¢¤ » (0).
Œ-®¦¨-ã ¢á÷å ÷-â¥à¯à¥â æ÷© ¤ -®ù ä®à¬ã«¨ §àãç-® §¢®¤¨â¨ ¢ â ª §¢ - -ã â ¡«¨æî ¯à ¢¤¨¢®áâ÷. •¥å © ä®à¬ã« A ¬÷áâ¨âì n ¯à®¯®§¨æ÷©-¨å «÷-
â¥à: A1, A2, . . . , An. ’ ¡«¨æï ¯à ¢¤¨¢®áâ÷ ä®à¬ã«¨ A ¡г¤гхвмбп пª в ¡«¨- жп, й® ¬чбв¨вм n+1 á⮢¯æ÷¢ â 2n à浪÷¢. •à¨ æ쮬㠢 ¯¥àè¨å n á⮢¯æïå
§¢®¤пвмбп «®£чз-ч §- з¥--п, пªч §чбв ¢«повмбп n ¯à®¯®§¨æ÷©-¨¬ «÷â¥à ¬,
(n + 1)-© á⮢¯¥æì ¬÷áâ¨âì ¢÷¤¯®¢÷¤-¥ §- ç¥--ï á ¬®ù ä®à¬ã«¨ A. Žâ¦¥, ª®¦¥- § à浪÷¢ ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ®¤-÷© ÷-â¥à¯à¥â æ÷ù.
•à¨ª« ¤ 1.4. • ¢¥¤¥¬® â ¡«¨æ÷ ¯à ¢¤¨¢®áâ÷ ¤«ï ä®à¬ã« «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì :A â A1 _ :A2:
A |
:A |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
A1 |
A2 |
A1 _ :A2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
— бв® ¢ ®¤-г в ¡«¨жо ¯а ¢¤¨¢®бвч §¢®¤пвм ч-в¥а¯а¥в жчщ ¤¥ªч«мª®е д®а¬г«, й® ¬чбвпвм б¯ч«м-ч ¯а®¯®§¨жч©-ч «чв¥а¨.
•à¨ª« ¤ 1.5. ‡¢¥¤¥¬® ¢ ®¤-ã â ¡«¨æî ¯à ¢¤¨¢®áâ÷ ÷-â¥à¯à¥â æ÷ù ¤«ï ¡÷- à-¨å «®£÷ç-¨å ®¯¥à æ÷© «_», «^», «!», «$» â «©»:
10
1.2. ö-â¥à¯à¥â æ÷ù ä®à¬ã« «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì. ’ ¡«¨æ÷ ¯à ¢¤¨¢®áâ÷
A |
B |
A _ B |
A ^ B |
A ! B |
A $ B |
A © B |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
•ã¤ãîç¨ â ¡«¨æ÷ ¯à ¢¤¨¢®áâ÷ ᪫ ¤-¨å ä®à¬ã« ÷-®¤÷ ¤®æ÷«ì-® ¢¨¢¥- á⨠§- ç¥--ï ¯à®¬÷¦-¨å ᪫ ¤®¢¨å ç áâ¨- ¢¨å÷¤-®ù ä®à¬ã«¨.
•à¨ª« ¤ 1.6. •®¡ã¤ãõ¬® â ¡«¨æî ¯à ¢¤¨¢®áâ÷ ¤«ï ä®à¬ã«¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì (A _ B) $ (A ^ B):
A |
B |
A _ B |
A ^ B |
(A _ B) $ (A ^ B) |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
Ž§- ç¥--ï 1.10. ”®à¬ã«¨ A1 â A2 - §¨¢ îâì «®£÷ç-® ¥ª¢÷¢ «¥-â-
-¨¬¨ ¡® â®â®¦-¨¬¨, ïªé® - ª®¦-÷© ÷-â¥à¯à¥â æ÷ù ¢®-¨ - ¡ã¢ îâì ®¤- - ª®¢¨å §- ç¥-ì (¢®¤-®ç á ¯à ¢¤¨¢÷ ¡® ¢®¤-®ç á -¥¯à ¢¤¨¢÷).
” ªâ «®£÷ç-®ù ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ (â®â®¦-®áâ÷) ä®à¬ã« A1 â A2 ¯®§- - ç ⨬¥¬® ïª A1 , A2 ¡® A1 = A2.
•à¨ª« ¤ 1.7. Žç¥¢¨¤-®, é® A _ B = B _ A, A ^ B = B ^ A, ¯à®â¥
A ^ B 6= A _ B.
„«п ¤®¢¥¤¥--п в®в®¦-®бвч д®а¬г« «£¥¡а¨ ¢¨б«®¢«¥-м, й® ¬чбвпвм -¥¢¥«¨ªг ªч«мªчбвм ¯а®¯®§¨жч©-¨е «чв¥а, §агз-® ¢¨ª®а¨бв®¢г¢ в¨ в ¡«¨- жч ¯а ¢¤¨¢®бвч.
•à¨ª« ¤ 1.8. „®¢¥¤¥¬® § ª®- ¤¨áâਡã⨢-®áâ÷ ¤¨§'î-ªæ÷ù ¢÷¤-®á-® ª®-'î-ªæ÷ù: A _ (B ^ C) = (A _ B) ^ (A _ C).
11
•®§¤÷« 1. €«£¥¡à ¢¨á«®¢«¥-ì
A |
B |
C |
B ^ C |
A _ (B ^ C) |
A _ B |
A _ C |
(A _ B) ^ (A _ C) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ž§- ç¥--ï 1.11. ”®à¬ã«ã A - §¨¢ îâì «®£÷ç-® § £ «ì-®§- çãé®î ¡® ⠢⮫®£÷õî, ïªé® A - ¡ã¢ õ §- ç¥--ï 1 - ¢á÷å ÷-â¥à¯à¥â æ÷ïå. ”®à- ¬ã«ã A - §¨¢ îâì «®£÷ç-®î á㯥à¥ç-÷áâî ¡® ¯à®áâ® á㯥à¥ç-÷áâî, ïª- é® A - ¡ã¢ õ §- ç¥--ï 0 - ¢á÷å ÷-â¥à¯à¥â æ÷ïå. ”®à¬ã«ã A - §¨¢ îâì
в ª®о, й® ¢¨ª®-гхвмбп, пªй® A - ¡ã¢ õ §- ç¥--ï 1 å®ç ¡ - ®¤-÷© ÷-- â¥à¯à¥â æ÷ù.
|
„«ï ⠢⮫®£÷ù â á㯥à¥ç-®áâ÷ §¡¥à¥¦¥¬® ¯®§- ç¥--ï 1 ÷ 0 ¢÷¤¯®¢÷¤-®. |
|||
|
•à¨ª« ¤ 1.9. ”®à¬ã« |
A |
A = A1 _ :A1 |
õ ⠢⮫®£÷õî, ®áª÷«ìª¨ |
A1 |
_ :A1 = 1. ”®à¬ã« |
= A1 ^ :A1 õ |
á㯥à¥ç-÷áâî, ®áª÷«ìª¨ |
|
A1 |
^ :A1 = 0. ”®à¬ã« A = |
A1 ^ :A2 х в ª®о, й® ¢¨ª®-гхвмбп, ¯а®- |
||
â¥, ïª ¢¨¤-® § ¢÷¤¯®¢÷¤-®ù â ¡«¨æ÷ ¯à ¢¤¨¢®áâ÷ (¤¨¢. ¯à¨ª«. 1.4), -¥ õ ⠢⮫®£÷õî.
1.3. ’®â®¦-®áâ÷ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì
1.3.1. Žá-®¢-÷ â®â®¦-®áâ÷ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì
• ¢¥¤¥¬® ç®â¨à¨ ¯ ਠ§ ª®-÷¢ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì, ïª÷ - ¤ «÷ ¢¨¤÷- «ï⨬¥¬® ïª ®á-®¢-÷.
•¥å © A, B, C { ¤®¢÷«ì-÷ ä®à¬ã«¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì. 1. Š®¬ãâ ⨢-÷áâì (¯¥à¥áâ ¢-¨© § ª®-): A _ B = B _ A;
A ^ B = B ^ A:
2. „¨áâਡã⨢-÷áâì (஧¯®¤÷«ì-¨© § ª®-):
A _ (B ^ C) = (A _ B) ^ (A _ C);
A ^ (B _ C) = (A ^ B) _ (A ^ C):
12
1.3. ’®â®¦-®áâ÷ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì
3.•¥©âà «ì-÷áâì:
4.„®¯®¢-¥-÷áâì:
A _ 0 = A; A ^ 1 = A: A _ :A = 1; A ^ :A = 0:
‚¯à ¢ 1.1. ‚¨¢¥á⨠- ¢¥¤¥-÷ ®á-®¢-÷ § ª®-¨ § ¤®¯®¬®£®î â ¡«¨æì ¯à ¢¤¨¢®áâ÷.
• ¢¥¤¥-¨е ¢®бм¬¨ (з®в¨а¨ ¯ а¨) ®б-®¢-¨е § ª®-ч¢ ¤®бв в-м® ¤«п ¢¨- ¢¥¤¥--п ¡г¤м-пª®щ в®в®¦-®бвч «£¥¡а¨ ¢¨б«®¢«¥-м ¡¥§ ¢¨ª®а¨бв --п в ¡- «¨жм ¯а ¢¤¨¢®бвч (ж¥© д ªв -¥£ ©-® ¢¨¯«¨¢ х § ¬®¦«¨¢®бвч §®¡а ¦¥--п ¤®¢ч«м-®щ д®а¬г«¨ г ¢¨£«п¤ч в ª §¢ -®щ ¤®бª®- «®щ ¤¨§'о-ªв¨¢-®щ -®а- ¬ «м-®щ д®а¬¨; в¥®ачп ¤¨§'о-ªв¨¢-¨е ч ª®-'о-ªв¨¢-¨е д®а¬ ஧£«п¤ - хвмбп, - ¯а¨ª« ¤, г [3]).
‡ §- з¨¬®, й® ¦®¤-г ¯ аг - ¢¥¤¥-¨е ®б-®¢-¨е § ª®-ч¢ -¥ ¬®¦- ¢¨- ¢¥бв¨ § вам®е ч-и¨е ¯ а, й® § «¨и овмбп. •а®в¥, ®¤- (¡г¤м-пª ) § в®- ⮦-®бв¥© -¥©ва «м-®бвч ¬®¦¥ ¡гв¨ ¢¨¢¥¤¥- § б¥¬¨ § ª®-ч¢, й® § «¨- и овмбп. ‘¯а ¢¤ч, ¢¨¢¥¤¥¬® в®в®¦-чбвм A _ 0 = A. „«ï æ쮣® ᯮç âªã
¢¨¢¥¤¥¬® â ª §¢ -ã â®â®¦-÷áâì ã-÷¢¥àá «ì-¨å ¬¥¦ A _ 1 = 1 (- £ ¤ - õ¬®, é® A { ¤®¢÷«ì- ä®à¬ã« ), ¯®â÷¬ ¤®¢¥¤¥¬® ¯®âà÷¡-ã â®â®¦-÷áâì -¥©âà «ì-®áâ÷ A _ 0 = A.
A _ 1 = (A _ 1) ^ 1 = (A _ 1) ^ (A _ :A) = A _ (1 ^ :A) = A _ :A = 1; A _ 0 = A _ (A ^ :A) = (A ^ 1) _ (A ^ :A) = A ^ (1 _ :A) = A ^ 1 = A:
‘¨бв¥¬ § б¥¬¨ § ª®-ч¢, й® § «¨и овмбп ¯чб«п ¢¨ª«оз¥--п ®¤-чхщ § в®- ⮦-®бв¥© -¥©ва «м-®бвч, ¢¨п¢«пхвмбп -¥§ «¥¦-®о (¤¨¢. [3]).
1.3.2. ö-è÷ § ª®-¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì
• ¢¥¤¥¬® ¤¥ïª÷ ÷-è÷ § ª®-¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì, é® ¡ã¤ãâì ç áâ® ¢¨- ª®à¨á⮢㢠â¨áì - ¤ «÷.
5. “-÷¢¥àá «ì-÷ ¬¥¦÷: A _ 1 = 1;
A ^ 0 = 0:
6. €¡á®à¡æ÷ï (¯®£«¨- --ï): A _ (A ^ B) = A;
A ^ (A _ B) = A:
7. ö¤¥¬¯®â¥-â-÷áâì: A _ A = A;
A ^ A = A:
13
•®§¤÷« 1. €«£¥¡à ¢¨á«®¢«¥-ì
8. €á®æ÷ ⨢-÷áâì (ᯮ«ãç-¨© § ª®-): A _ (B _ C) = (A _ B) _ C;
A ^((B ^ C) = (A ^ B) ^ C:
9. ô¤¨-÷áâì § ¯¥à¥ç¥--ï: á¨á⥬ à÷¢-ï-ì |
A _ X = 1; |
¢÷¤-®á-® |
X |
|
A ^ X = 0 |
|
|
¬ õ õ¤¨-¨© ஧¢'燐ª X = :A (⮡⮠ïªé® A _ X = 1 â |
A ^ X = 0, â® |
||
X= :A).
10.ö-¢®«î⨢-÷áâì (¯®¤¢÷©-¥ § ¯¥à¥ç¥--ï): :(:A) = A .
11.‡ ª®- (¯à ¢¨«®) ¤¥ Œ®à£ - : :(A _ B) = :A ^ :B;
:(A ^ B) = :A _ :B:
• £ ¤ õ¬®, é® - ¢¥¤¥-÷ â®â®¦-®áâ÷ (ïª ÷ ¡ã¤ì-ïª÷ ÷-è÷ â®â®¦-®áâ÷ «- £¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì) ¬®¦ãâì ¡ã⨠¢¨¢¥¤¥-÷ § ç®â¨àì®å ¯ à ®á-®¢-¨å § ª®-÷¢ ¡¥§ ¢¨ª®à¨áâ --ï â ¡«¨æì ¯à ¢¤¨¢®áâ÷.
•®§£«ï-ã¢è¨ - ¢¥¤¥-÷ § ª®-¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì, -¥¢ ¦ª® ¯®¬÷â¨- ⨠¯¥¢-ã ᨬ¥âà÷î { ãá÷ ®á-®¢-÷ § ª®-¨ §£à㯮¢ -÷ ¢ â ª §¢ -÷ «¤ã «ì-÷
¯ ਻. –ï ᨬ¥âà÷ï õ ®á-®¢®î ¤«ï ¯à¨-樯㠤㠫ì-®áâ÷ { ¯®âã¦-®£®
§ ᮡ㠤®¢¥¤¥--ï â®â®¦-®á⥩ ¢ «£¥¡à÷ ¢¨á«®¢«¥-ì â ÷-è¨å ¯®¤÷¡-¨å áâàãªâãà å.
1.4.•à¨-樯 ¤ã «ì-®áâ÷. “§ £ «ì-¥-¥ ¯à ¢¨«® ¤¥ Œ®à£ -
1.4.1. •à¨-樯 ¤ã «ì-®áâ÷
Ž§- ç¥--ï 1.12. ”®à¬ã«ã A¤ - §¨¢ îâì ¤ã «ì-®î ¤® ä®à¬ã«¨ A, ïªé® A¤ ®ва¨¬гхвмбп § A § ¬÷-®î ¢á÷å ¢å®¤¦¥-ì «_» - «^», ¢á÷å ¢å®- ¤¦¥-ì «^» - «_», ¢á÷å ¢å®¤¦¥-ì «0» - «1» â ¢á÷å ¢å®¤¦¥-ì «1» - «0».
•à¨ª« ¤ 1.10. (A _ :B)¤ = A ^ :B, (A ^ :(B _ 1))¤ = A _ :(B ^ 0).
‡ §- 稬® ®ç¥¢¨¤-¨© ä ªâ ÷-¢®«î⨢-®áâ÷ ®¯¥à æ÷ù ¢§ïââï ¤ã «ì-®ù ä®à¬ã«¨: A¤¤ = A.
• áâã¯- ⥮६ ä®à¬ã«îõ â ª §¢ -¨© ¯à¨-樯 ¤ã «ì-®áâ÷ ¤«ï «- £¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì.
’¥®à¥¬ 1.1. •¥å © ä®à¬ã«¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì A â B ¥ª¢÷¢ - «¥-â-÷, ⮡⮠¬ õ ¬÷áæ¥ â®â®¦-÷áâì A = B. ’®¤÷ ¬ õ ¬÷áæ¥ â®â®¦- -÷áâì ¤ã «ì-¨å ä®à¬ã«: A¤ = B¤.
14
1.4. •à¨-樯 ¤ã «ì-®áâ÷. “§ £ «ì-¥-¥ ¯à ¢¨«® ¤¥ Œ®à£ -
„®¢¥¤¥--ï. •¥å © ¬ õ ¬÷áæ¥ â®â®¦-÷áâì A = B. ’®¤÷ ¬ õ ÷á-㢠â¨
¢¨¢¥¤¥--ï § §- ç¥-®ù â®â®¦-®áâ÷ § ®á-®¢-¨å ä®à¬ã« |
«£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì: |
A = A1 = A2 = ¢ ¢ ¢ = An = B; |
(1.1) |
¤¥ - ª®¦-®¬г ªа®жч § бв®б®¢гхвмбп ®¤¨- ч§ § ª®-ч¢ |
«£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì. |
€«¥ ⮤÷, ®áª÷«ìª¨ ¢á÷ ®á-®¢-÷ § ª®-¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì §£à㯮¢ -÷ ¢ |
|
ç®â¨à¨ «¤ã «ì-÷ ¯ ਻, ¬®¦¥¬® ¯®¡ã¤ã¢ ⨠¢¨¢¥¤¥--ï, ¤ã «ì-¥ ¤® (1.1): |
|
A¤ = A1¤ = A2¤ = ¢ ¢ ¢ = An¤ = B¤; |
|
¤¥ - ª®¦-®¬г ªа®жч ¢¨ª®а¨бв®¢гхвмбп ®б-®¢-¨© § ª®-, ¤г «м-¨© ¤® в®- ⮦-®бвч, й® ¢¨ª®а¨бв®¢г¢ « бм - ¢ч¤¯®¢ч¤-®¬г ªа®жч г ¢¨¢¥¤¥--ч (1.1).
•а¨ª« ¤ 1.11. •а®¤¥¬®-бвагх¬®, пª ¯а жох ¯а¨-ж¨¯ ¤г «м-®бвч, - ¯а¨ª« ¤ч ¢¨¢¥¤¥--п § ª®-г г-ч¢¥аб «м-¨е ¬¥¦:
A _ 1 = (A _ 1) ^ 1 = (A _ 1) ^ (A _ :A) = A _ (1 ^ :A) = A _ :A = 1; A ^ 0 = (A ^ 0) _ 0 = (A ^ 0) _ (A ^ :A) = A ^ (0 _ :A) = A ^ :A = 0:
‚¯à ¢ 1.2. ‚¨¢¥á⨠§ ª®-¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì 6 { 11 § ®б-®¢-¨е § ª®-ч¢, -¥ ª®а¨бвгоз¨бм §¬чбв®¢-¨¬¨ ¢¨§- з¥--п¬¨ ®¯¥а жч© (§®ªа¥¬ , -¥ ª®а¨бвгоз¨бм в ¡«¨жп¬¨ ¯а ¢¤¨¢®бвч).
‚ª §÷¢ª . ’®â®¦-®áâ÷ §àãç-® ¤®¢®¤¨â¨ ¢ ⮬㠦 ¯®à浪ã, ¢ 类¬ã ¢®-¨ - ¢¥¤¥-÷ ¢¨é¥. Šà÷¬ ⮣®, § ¢¤ïª¨ ¯à¨-樯㠤㠫ì-®áâ÷, ¤®á¨âì ¤®¢¥á⨠«¨è¥ ®¤-ã â®â®¦-÷áâì § ª®¦-®ù ¤ã «ì-®ù ¯ à¨.
1.4.2. “§ £ «ì-¥-¥ ¯à ¢¨«® ¤¥ Œ®à£ -
Š« á¨ç-¥ ¯à ¢¨«® ¤¥ Œ®à£ - à §®¬ ÷§ § ª®-®¬ ÷-¢®«î⨢-®áâ÷ (§ - ª®-¨ 11 â 10 - á. 14) §àãç-® ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨠¤«ï «¯à®-¥á¥--ï»
§®¢-÷è-ì®ù ®¯¥à æ÷ù «®£÷ç-®£® § ¯¥à¥ç¥--ï ¯÷¤ ®¯¥à æ÷ù ¤¨§'î-ªæ÷ù â ª®-'î-ªæ÷ù.
•à¨ª« ¤ 1.12.
:(A _ (B ^ :C)) = :A ^ :(B ^ :C) = :A ^ (:B _ ::C) = :A ^ (:B _ C):
15
•®§¤÷« 1. €«£¥¡à ¢¨á«®¢«¥-ì
‚¦¥ § - ¢¥¤¥-®£® ¯à¨ª« ¤ã ¢¨¤-®, é® ®¯¥à æ÷ï «¯à®-¥á¥--ï § ¯¥à¥- ç¥--ï» â÷á-® ¯®¢'ï§ - § ¤ã «ì-÷áâî ä®à¬ã«, ÷ ¯à ¢¨«® ¤¥ Œ®à£ - ¬®¦-
- ¯à¨à®¤-¨¬ ç¨-®¬ 㧠£ «ì-¨â¨ - ¢¨¯ ¤®ª ¤®¢÷«ì-¨å ä®à¬ã« |
«£¥¡à¨ |
||||
¢¨á«®¢«¥-ì. |
|
|
|
|
|
’¥®à¥¬ 1.2 (㧠£ «ì-¥-¥ ¯à ¢¨«® ¤¥ Œ®à£ - ). •¥å © |
|
{ ¤®- |
|||
¢÷«ì- ä®à¬ã« «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥-ì, ä®à¬ã« |
|
~ ®ва¨¬гхвмбпA |
|
||
¬ã«¨ A¤ § ¬÷-®î ¢á÷å ¯à®¯®§¨æ÷©-¨å «÷â¥à - |
A |
|
§ ä®à- |
||
|
|
|
|||
|
|
ùå § ¯¥à¥ç¥--ï. ’®¤÷ ¬ õ |
|||
¬÷áæ¥ â®â®¦-÷áâì: |
A~ = :A: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„«ï ¤®¢¥¤¥--ï ⥮६¨ - ¬ §- ¤®¡¨âìáï - áâã¯- «¥¬ . |
|
|
|||
‹¥¬ 1.1. „«ï ¤®¢÷«ì-¨å ä®à¬ã« A â |
B ¢¨ª®-говмбп в ªч в®- |
||||
⮦-®áâ÷: |
|
|
|
|
|
’¢¥à¤¦¥--ï «¥¬¨ -¥£ ©-® ¢¨¯«¨¢ õ § ®§- ç¥--ï ¤«ï A~ â¡ B~¢. |
|||||
(A ^ B)~ = A~ _ B~; (A _ B)~ = A~ ^ B~; (:A)~ = : A~ |
: |
||||
„®¢¥¤¥--ï ⥮६¨ 1.2. ‡ áâ®áãõ¬® ¬¥â®¤ ¬ ⥬ â¨ç-®ù ÷-¤ãªæ÷ù § ª÷«ìª÷áâî «®£÷ç-¨å ®¯¥à æ÷© («_», «^», «:») ã ¢¨å÷¤-÷© ä®à¬ã«÷ A.
1. • § ÷-¤ãªæ÷ù. •¥å © ä®à¬ã« A ¬÷áâ¨âì 0 ®¯¥à æ÷©. –¥ ®§- ç õ, é® A õ ¯à®¯®§¨æ÷©-®î «÷â¥à®î: A = A. ’®¤÷ ⢥द¥--ï ⥮६¨, ®ç¥¢¨¤-®,
¢¨ª®-гхвмбп: |
A~ = A~ = :A = :A: |
|
2.•à¨¯ãé¥--ï ч-¤гªжчщ. •¥е © в¢¥а¤¦¥--п в¥®а¥¬¨ ¢¨ª®-гхвмбп ¤«п ¡г¤м-пª®щ д®а¬г«¨ A, é® ¬÷áâ¨âì -¥ ¡÷«ìè ïª n «®£÷ç-¨å ®¯¥à æ÷©.
3.Šà®ª ÷-¤ãªæ÷ù. „®¢¥¤¥¬® ⢥द¥--ï ⥮६¨ ¤«ï ä®à¬ã«¨ A, é® ¬÷áâ¨âì n + 1 «®£÷ç-ã ®¯¥à æ÷î.
3.1. •¥å © §®¢-÷è-ï ®¯¥à æ÷ï õ ¤¨§'î-ªæ÷ï, ⮡⮠A = A1 _ A2. Žç¥-
¢¨¤-®, é® ä®à¬ã«¨ A1 â A2 ¬чбвпвм -¥ ¡ч«ми пª n ®¯¥à æ÷©. ’®¤÷ -
¯÷¤áâ ¢÷ «¥¬¨ 1.1, ª« á¨ç-®£® ¯à ¢¨« ¤¥ Œ®à£ - ⠯ਯãé¥--ï ÷-¤ãª- æ÷ù ¬ õ¬®:
A~ = (A1 _ A2)~ = A~1 ^ A~2 = :A1 ^ :A2 = :(A1 _ A2) = :A:
3.2. •¥å © §®¢-÷è-ï ®¯¥à æ÷ï { ª®-'î-ªæ÷ï, ⮡⮠A = A1 ^ A2. „®¢¥- ¤¥--ï ¯à®¢®¤¨âìáï - «®£÷ç-® ¢¨¯ ¤ªã 3.1.
16
1.5.‹®£÷ç-¨© - á«÷¤®ª ÷ «®£÷ç- ¥ª¢÷¢ «¥-â-÷áâì
3.3.•¥å © §®¢-÷è-ï ®¯¥à æ÷ï { § ¯¥à¥ç¥--ï, ⮡⮠A = :A1. Žç¥-
¢¨¤-®, é® ä®à¬ã« A1 ¬÷áâ¨âì n ®¯¥à æ÷©. ’®¤÷ - ¯÷¤áâ ¢÷ «¥¬¨ 1.1 ⠯ਯãé¥--ï ÷-¤ãªæ÷ù ¬ õ¬®:
¡ ¢
A~ = (:A1)~ = : A~1 = ::A1 = :A:
Žâ¦¥, ⥮६㠯®¢-÷áâî ¤®¢¥¤¥-®.
•à¨ª« ¤ 1.13. ‡ áâ®áãõ¬® 㧠£ «ì-¥-¥ ¯à ¢¨«® ¤¥ Œ®à£ - ¤® ä®à- ¬ã«¨ § ¯à¨ª«. 1.12:
:(A _ (B ^ :C)) = (A _ (B ^ :C))~ = :A ^ (:B _ C):
1.5. ‹®£÷ç-¨© - á«÷¤®ª ÷ «®£÷ç- ¥ª¢÷¢ «¥-â-÷áâì
Ž§- ç¥--ï 1.13. ”®à¬ã« B «®£÷ç-® ¢¨¯«¨¢ õ § ä®à¬ã« A1, A2, . . . , An (ä®à¬ã«¨ A1, A2, . . . , An «®£÷ç-® âï£-ãâì ä®à¬ã«ã B), ïªé® ä®à¬ã- « B õ ¯à ¢¤¨¢®î - ¢á÷å ÷-â¥à¯à¥â æ÷ïå, - ïª¨å ¢®¤-®ç á ¯à ¢¤¨¢÷
ä®à¬ã«¨ A1, A2, . . . , An.
”®à¬ã«¨ A1, A2, . . . , An - §¨¢ îâì £÷¯®â¥§ ¬¨, ä®à¬ã«ã B { - á«÷¤-
ª®¬. „«ï ä ªâã «®£÷ç-®£® - á«÷¤ªã ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨬¥¬® ¯®§- ç¥--ï: A1; A2; : : : ; An j= B. Ÿªé® n = 1 (®¤- £÷¯®â¥§ A), ¢¨ª®а¨бв®¢гхвмбп
â ª®¦ ¯®§- ç¥--ï A ) B.
Ÿªé® n = 0, ä®à¬ã« B õ - á«÷¤ª®¬ ¯®à®¦-ì®ù ¬-®¦¨-¨ £÷¯®â¥§, ⮡- â® - ¡ã¢ õ §- ç¥--ï 1 - ¢á÷å ÷-â¥à¯à¥â æ÷ïå, ¡¥§ ¤®¤ ⪮¢¨å ¯à¨¯ãé¥-ì 鮤® ¯à ¢¤¨¢®áâ÷ £÷¯®â¥§ (B х в ¢в®«®£чхо). “ ж쮬г а §ч ¢¨ª®а¨бв®¢гхвмбп ¯®§- з¥--п j= B.
Žç¥¢¨¤-®, ¥ª¢÷¢ «¥-â-÷áâì ä®à¬ã« A â B ¬ õ ¬÷áæ¥ â®¤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ A ) B â B ) A.
’¥®à¥¬ 1.3 (⥮६ ¤¥¤ãªæ÷ù). |
, . . . , An ⮤÷ i â÷«ìª¨ |
1. ”®à¬ã« B «®£÷ç-® ¢¨¯«¨¢ õ § ä®à¬ã« A1 |
⮤÷, ª®«¨ ä®à¬ã« (A1 ^ A2 ^ ¢ ¢ ¢ ^ An) ! B õ ⠢⮫®£÷õî.
2. ”®à¬ã«¨ A â B «®£÷ç-® ¥ª¢÷¢ «¥-â-÷ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ä®à¬ã« A $ B õ ⠢⮫®£÷õî.
17
|
•®§¤÷« 1. €«£¥¡à ¢¨á«®¢«¥-ì |
|
’¢¥à¤¦¥--ï ⥮६¨ õ ¡¥§¯®á¥à¥¤-÷¬ - á«÷¤ª®¬ ®§- ç¥-ì «®£÷ç-®£® |
- |
á«÷¤ªã, «®£÷ç-®ù ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ â ®§- ç¥-ì «®£÷ç-¨å ®¯¥à æ÷© ÷¬¯«÷- |
ª |
æ÷ù i ¥ª¢÷¢ «¥-æ÷ù. |
1.5.1. •à¨ª« ¤¨ § ¤ ç - «®£÷ç-¨© - á«÷¤®ª
1. „®¢¥á⨠«¯à ¢¨«® ¢¨¡®àã» (Modus Ponens1, MP): A; A ! B j= B.
•¥å © - ¤¥ïª÷© ä÷ªá®¢ -÷© ÷-â¥à¯à¥â æ÷ù jAj = 1 â jA ! Bj = 1.
’®¤÷, ïª ¢¨¯«¨¢ õ § ®§- ç¥--ï ÷¬¯«÷ª æ÷ù, - ¤ -÷© ÷-â¥à¯à¥â æ÷ù jBj = 1.
‡ ¢¤пª¨ ¤®¢ч«м-®бвч дчªб®¢ -®щ ч-в¥а¯а¥в жчщ, ¯а ¢¨«® MP ¤®¢¥¤¥-®. Žва¨¬ -¥ ¤®¢¥¤¥--п з бв® § ¯¨бговм г ª®¬¯ ªв-®¬г ¢¨£«п¤ч:
1. jAj = 1 |
(ƒ÷¯®â¥§ 1, ƒ1) |
2. jA ! Bj = 1 |
(ƒ2) |
3. jBj = 1 |
(1,2) |
2. „®¢¥á⨠¯à ¢¨«® ᨫ®£÷§¬ã: A ! B; B ! C j= A ! C.
‹®£÷ç-¨© - á«÷¤®ª ¤®¢®¤¨â¨¬¥¬® §¢¥¤¥--ï¬ ¤® ¡áãà¤ã. •à¨¯ãáâ÷¬®, |
|
é® - ¤¥ïª÷© ÷-â¥à¯à¥â æ÷ù £÷¯®â¥§¨ ¯à ¢¤¨¢÷ â - á«÷¤®ª -¥¯à ¢¤¨¢¨©, |
|
¯÷á«ï 箣® ®âਬãõ¬® á㯥à¥ç-÷áâì. |
|
1. jA ! Bj = 1 |
(ƒ1) |
2. jB ! Cj = 1 |
(ƒ2) |
3. jA ! Cj = 0 |
(¯à¨¯ãé¥--ï) |
4. jAj = 1 |
(3) |
5. jCj = 0 |
(3) |
6. jBj = 1 |
(MP(4,1)) |
7. jCj = 1 |
(MP(6,2)) |
•ã-ªâ¨ 5 â 7 ¤ îâì á㯥à¥ç-÷áâì.
„¥â «ì-÷è÷ ¢÷¤®¬®áâ÷ § ¬ ⥬ â¨ç-®ù «®£÷ª¨ - ¢¥¤¥-®, §®ªà¥¬ , ¢ à®- ¡®â å [1{4].
1•àﬨ© ¯¥à¥ª« ¤ § « â¨-á쪮ù: ¯à ¢¨«® ¯®§¨æ÷®-㢠--ï.
18