|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
и |
|
Лекция 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Моменты случайных величин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|||||||||||||||
|
|
|
|
Белорусскийk |
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
университетk ∑ i i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
называется число |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Начальным моментом k и– го порядка с.в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
αk |
= ∫x |
|
p(x) dx - для непрерывной с.в. x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
тαk |
= M ( X k ), k |
= 0, 1, 2, ... . |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
x |
|
p |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
|
|
|
й |
|||||||||
|
|
|
|
|
α |
|
= |
|
|
|
|
− для дискретной с.в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
k |
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
д |
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
с |
|
к |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
называется м.о. величины |
( X − M (x))k = (xo )k , тБелорусский.е. |
|
ы |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
университет |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Приф kт=1 получаем α1 = M ( X ) , т.е. математическое ожидание с.в. xиесть |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
т |
|
|
k |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
момент первого порядка. Центральным моментом k – го порядка |
|
µ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
начальныйа |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
|
= M ( X − M (x))k , |
|
k = 0, 1, 2, ... |
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что µo |
= M (1) =1, |
|
µ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= M (x − Mд(x)) = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
µ2 |
|
= M (x − M (x)) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
е |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
= D(x), т.е. второй центральный момент с.в. x равен диспер- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сии этой с.в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= ∑(xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
µk |
− mx ) |
pi |
|
- для дискретной с.в. x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µk |
= ∫(x − mx )k |
|
f (x) dx - для непрерывной с.в. x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
государственныйш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Установим связь междуи начальными и центральными моментами: |
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
информатики3 с |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
µ |
|
|
= |
|
∞ |
(x − m )2 p = |
|
∞ |
|
x2 p − 2m |
∞ |
|
|
+ m |
|
|
p |
=α − 2m2 + m2 =α − m2 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
йx p |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
∑ i |
|
|
|
|
x |
|
|
|
i |
|
∑ i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
и |
i |
|
x ∑ i |
|
|
2 |
|
|
x |
x |
|
|
2 |
|
|
x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ∑ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
еi=1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ3 |
=α3 −3mxα2 |
+ 2mx3 |
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
µ2 |
|
∞к |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
||||||
|
|
|
|
Белорусский |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
=α2 − mx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
µ3 |
= ∑(xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
и |
∑xi |
pi +3mx |
∑xi pi −mx ∑pi =α3 −3α2 mx +2mx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
−mx ) pi = ∑xi pi −3mx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
университет |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
µ1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
|
и |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
с |
|
к |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
важные ачерты распределения: его положение и степеньБелорусскийразбросанности. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Математическое ожидание m |
|
и дисперсия |
университет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D |
|
- наиболее часто примеи - |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наиболеет |
|||||||
няемыефхарактеристики случайной величины. Они характеризуютВ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
К |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Третий |
|
центральный момент |
служит |
|
для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристики асимметрии |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(или «скошенности») распределения. Если распределение симметричном |
относи- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тельно математического ожидания, то очевидно |
|
|
|
|
е |
д |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и
и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
и |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ3 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
− mx |
|
|
|
|
|
= |
0 . |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
3 |
= |
й(x − m |
x |
)3 |
f (x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
∫ |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
x называется число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Коэффициентом асимметрии |
с.в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|||||||||||||||
|
Белорусский |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ыax = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
мой «крутостиуниверситет», |
|
|
|
|
|
и3 |
= µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= µ(( X *) ) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
т.е. островершинности или плосковершинности распределе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
т |
|
σ x |
|
|
|
|
|
|
|
σ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
- |
||||||||||||||||||
цесса. |
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Четвертый центральный момент служит для характеристики так называеи |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
|
|
й |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ния. Это свойство распределения описывается с помощью так называемого экс- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
к |
||
|
|
Эксцессоме |
с.в. x |
называется число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ф |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Белорусский |
|
|
|
|
ы |
|
и |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
а |
|
|
а |
|
|
|
|
|
lx = |
|
4 |
−3 = |
µ |
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
= µ(( X *) |
|
) −3 . |
т |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
мДля нормального распределения эксцесс равен нулю; кривыеа, более ост- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
ровершинные по сравнению с нормальной обладают положительным эксцес- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сом; кривые более плосковершинные – отрицательным эксцессом. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Ковариация с.в. Ковариацией или корреляционныме |
моментоме |
с.в. X и Y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
называется величина σ xy |
|
= cov(X ,Y ) = M ( X °Y °) |
|
ф |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= M ( X − M (x))(Y − M ( y) = M ( X − m )(Y − m ) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
м |
а x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− mx M (Y ) − my M ( X ) + mx my = |
|||||||||||||||||
|
|
σ xy = M ( XY − mxY − my X + mx my ) = M ( XY ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= M ( XY ) − mx my . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Итак, |
|
σ xy |
= M ( XY ) − mx my . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Для непрерывных с.в. X и Y корреляционный момент равен |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
xy |
|
|
∫ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатикис |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ = |
|
∞ |
∞ |
( X − mй )(Y − m |
|
) f (x, y) dx dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
∫ |
∫ |
|
|
|
е |
|
|
x |
и |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ −∞ |
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или σ |
|
радиоэлектроники |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= |
|
|
XYf (x, y) dx dy − m m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Белорусский |
|
|
|
|
|
ы |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
университет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−∞ −∞ |
|
|
В |
|
|
т |
|
|
|
и |
|
|
Y |
|
|
с совместным |
|
законом распределенияи |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Для дискретных |
|
|
с.в. X |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатикис |
|
|
й |
|||||||||
P(x = xi , y = y j ) = Pij . |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
σ xy = ∑∑ |
(xi − mx )( y j |
− my )Pij . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
|
|
|||||||||||
|
м |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
σ xy = ∑∑x = y j Pij |
|
|
|
|
|
|
университет |
|
|
|
|
ы |
|
и |
|
|||||||||||||||||||||||||
К |
|
1. |
|
σ xy |
=σ yx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ф |
е |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
− mx my . |
|
|
|
|
|
|
В |
|
т |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
аОтметим свойства корреляционного момента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2. σ xx = D(x) =σ x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3. |
|
Если X и Y независимые с.в., то σ |
xy |
= |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Действительно, для незави- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
симых с.в. M ( XY ) = mx my . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
ф |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и
и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеет место неравенство Коши-Буняковского: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатикис2 |
|
|
|
|
й |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ xy |
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
D( X ), |
|
σ y = |
|
D(Y ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤σ x σ y , где |
σ x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
■ M |
( X °−λY °)2 |
≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
M ( X °2 |
− 2λM ( X °Y °) + λ2 M (Y °2 ) ≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
е |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Белорусский |
|
|
|
|
ы |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
D(x) |
− 2λσ xy + λ |
D(Y ) ≥ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
университет |
|
В |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
государственныйш |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
е |
|
|
P (x) |
= |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
к |
|||||||||||||||||||
|
|
Дискриминант этого квадратного трехчлена от |
|
должен быть неположи- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тельным, т.е. σ xy2 |
− D( X ) D(Y ) ≤ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
0, |
|
x < − π , x > 1 . |
|
|
|
|
|
|
информатики |
|
|
й |
|||||||||||||||||||
|
|
Плотность вероятности с.в. x равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
1 |
cos x, − π ≤ x ≤ π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
как интеграл от нечетнойрадиоэлектроникифункции |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
m |
|
|
= 1 |
2 x cos x dx = 0 , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Белорусский |
|
|
|
|
|
ы |
|
|
и |
|||||||||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
университет |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
К |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с.в. X и |
X |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
т |
|
|
|||||||||||
|
Найти ковариацию σ xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
м |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
∫π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ( XY ) = M ( X X |
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
∫π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = M ( X |
) = |
|
|
|
аx cos x dx = 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ xy = M ( XY ) − mx my = 0 −0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
зависимы, |
ковариация оказалась |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Таким образом, |
хотя функции x и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равной нулю. |
|
|
информатики |
и |
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Коэффициент корреляции. |
|
|
Корреляционный момент служит для характе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ристики связи между с.в. |
X |
|
|
|
е |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
и Y. Однако величина корреляционного момента |
зависит от единиц измерения случайных величин. Для того, чтобы устранить |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
радиоэлектроники |
|
|
с |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
µ(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|||||||||||||||
этот недостаток вводят новую числовую характеристику – коэффициент корре- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Белорусский |
|
|
|
ы |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
величинуниверситет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ляции. |
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
т |
|
гxy с.в. |
X и Y называют отношениеикорре- |
|||||||||||||||||||
|
Коэффициентом корреляции |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
д |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
|
е |
|||||||
ляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этихй |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
м |
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
гxy |
= |
|
. |
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
с |
|
к |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
а |
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
Белорусский |
|
|
|
ы |
и |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ф |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ x σ y |
|
|
|
|
университет |
В |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- безразмерная величина. Если |
|
г |
|
|
|
|
Y на- |
||||||||||||||||||
|
Очевидно, г |
xy |
|
xy |
= 0 , то с.в. |
X и |
||||||||||||||||||||||||||
К |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|||
|
|
|
не коррелированными, если же г |
|
≠ |
0 , то с.в. X |
и Y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
зываютсяа |
|
|
называются |
|||||||||||||||||||||||||||||
коррелированными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Приведем основные свойства коэффициента корреляциид |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1. |
|
гxy |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
е |
т |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2. |
|
гxy |
= гyx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и
и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3. |
|
|
|
|
государственныйинформатики |
|
|
|
й |
и |
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
гxy ≤1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4. |
Если X и Y независимыее с.в., то г |
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Эти свойства следуют |
шнепосредственно из определения коэффициента |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Белорусский |
|
|
|
ы |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
корреляции и свойств ковариации. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
университет |
|
|
|
|
|
|
гxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
5. |
Если |
Y |
= AX |
+ B, то |
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
е |
В |
|
т |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= |
|
|
=1. |
|
государственныйш |
к |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гxy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
||
|
|
■ Пусть |
M (x) = a, |
|
D(x) =σ |
|
. |
Тогда |
|
M ( y) = Aa + B, |
|
|
D( y) = A σ . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2σ 2 |
σ 2 |
|
|
|
A |
|
|
|
− a)) = |
|
информатикис |
|
й |
||||||||||||||
Cov( X ,Y ) = M ((X − a)(Y − Aa |
− B)) |
= M ((X − a)(A( X |
AD( X ) = Aσ . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
д |
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
Aσ 2 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
метода наименьших квадратов, если математическоеБелорусскийожидание |
M (Y |
− g(x))2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
Линейнаяф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
университет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
||
с.в. Функциюа |
g(x) =αx + β называют «наилучшим приближением» Y втсмысле |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
а |
|
|
|
|||||
принимает наименьшее возможное значение; функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
g(x) называют средне- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
квадратической регрессией Y на X. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Очевидно, что эта оптимизационная задача имеете |
хотя бы одно решение. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
имеет вид |
|
||||||||
|
|
Покажем, что линейная средняя квадратическая регрессият |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ y |
|
|
|
а |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) = my |
+ гxy |
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ x |
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Введем в рассмотрение функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
− a − BX ) |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
F(α, β) = M (Y |
|
|
|
|
|
|
и
|
|
|
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−α |
− β m ) |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
государственныйш= −2(m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
M ( X − mx ) = M (Y |
− my ) |
|
= 0, M ((x − mx ) |
|
( y |
− my )) = µxy = гxyσ xσ y , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
2 й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
информатикис∂α |
|
|
|
е |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
F (α, β) = σ y + β σ x − |
2гxyσ xσ y β + (my −α − β mx ) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
|
∂F |
|
|
|
к y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Белорусский |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
σ y |
∂F |
|
|
|
σ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Отсюдауниверситетβ = гxy |
|
|
|
|
|
, |
|
α = my − гxy |
|
|
mx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
и |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
ы |
|
|
|
= |
2βσ |
|
|
− 2г σ σ = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
x |
|
|
|
xy x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Так полученод |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатикис |
|
|
й |
|
||||||||||
|
|
|
одно решение, оно является искомым. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
м |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
σ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ x |
|
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
|
|
к |
|
||||||||||||||||
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
а |
|
е |
|
σ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Белорусский |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ y |
|
|
|
|
|
σ y |
|
|
|
|
|
|
ы |
и |
|
|
|||||
или |
|
g(x) = my + гxy |
|
|
|
|
|
(x − mx ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
университет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
а |
ф |
|
т |
|
g(x) =α + βx = my − гxy |
σ x |
mx |
+ гxy |
|
σ x |
|
x |
|
В |
|
т |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Коэффициент |
|
|
B = г |
|
|
|
называют коэффициентом регрессиие |
Y на X, а |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy σ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
а |
ф |
е |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рессии Y на X. |
|
государственныйш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
прямую |
y − m |
|
|
= |
г |
|
σ y |
(x − m ) |
|
называютй |
прямой среднеквадратической рег- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
xy σ x |
|
|
|
|
x |
|
е |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
β |
в F(α, β) |
|
|
|
|
|
е |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Подставив найденныесзначения α и |
получим ее минималь- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Белорусский |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|||||||
|
|
университет |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
г |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ное значение равное |
σ |
ы(1 − г |
|
) . |
Величину |
σ |
|
(1 |
− |
|
|
) |
называют остаточной |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
дxy |
|
|
|
|
|
В |
y |
т |
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
xy |
|
|
государственныйш |
|
||||||
дисперсией случайной величины Y относительно случайной величины X; она |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функциональную зависимость |
Y =αX + β . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатикис |
|
|||||||||||||||||||||||
характеризует величинуаошибки, которую допускают при замене Y линейной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функцией g(x) . |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
||||||||||
|
|
При |
г = ±1 остаточная дисперсия равна нулю. В этом случае мы имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
е |
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
к |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
а |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
Аналогичноф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
университет |
|
|
|
X |
|||||||||||||
К |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
т |
|
на Y : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X − mx |
= гxy |
|
|
|
(Y − my ) . |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|||
|
|
Обе прямые проходят через точку (mx |
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
, my ), которую называют центром |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
совместного распределения величин X и Y . |
|
|
|
ф |
е |
|
т |
е |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и
|
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
и |
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
с |
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Белорусский |
|
|
|
ы |
|
|
и |
|
|
|
|
|
государственныйш |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
университет |
|
В |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
д |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информатики |
и |
|
й |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
и |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиоэлектроники |
|
|
с |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
м |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ф |
е |
т |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
университет |
|
В |
ы |
|
|
и |
|
|||||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
||||||||||
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
д |
е |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|