государственныйш

информатики

и

Лекция 4

й

и

Распределение Пуассона.

е

приводит

Формула Бернулли при больших n

радиоэлектроники

с

p q

→ m! e

е

Pn (m) = Cn

к громоздким вычислениям. Иногдакпри больших n удается заменить формулу

Белорусский

ы

и

Бернулли приближенной асимптотической формулой.

университет

В

т

m

m

n−n

λ

−λ

Теорема (Пуассона).

Если n → ∞

и

p → 0

так, что

pn → λ,

0 < λ < ∞,

при любом

дпостоянном m, m = 0, 1, 2, ... .

государственныйш

то

а

m

информатики

и

й

■ Положим pn = λn ,

е

е

м

к

радиоэлектроники1 − .

с

=

1 −

1 −

1 −

... 1

−

ф

т

Белорусский

ы

и

м

m

n

− m

+1)

λ

университет

−m

К

а

а

n(n −1)...(n

λ

В

т

P

(m)

=

n 1 − n

=

n

m!

n

n

а

λn

λn

1

2

m −1

λn

м

д

m!

n

n

n

n

n

е

Отсюда при n → ∞ получаем утверждение теоремые .

Таким образом, при больших

n

и малых

ф

тможем воспользоваться

p

мы

приближенной формулой

λm

К

а

а

м

P (m) ≈ n

e−λn ,

= np .

λ

n

n

m!

n >100

np < 30 .

Эта формула обычно используется при

и

государственныйш m=2

Пример. По самолету производится 5000 выстрелов. Вероятность попада-

ния при каждом выстреле равнаи

0,001. Найти вероятность попадания в цель

P (µ ≥ 2) =информатики1 − P (0) − P (1) =1 − e

−5e =1 − 6e

= 0,9596 .

й

двумя и более выстрелами. (Это реальная задача времен Отечественной войны).

е

■ λn = np = 5. Pn

5000

(µ ≥ 2) =

∑Pnи(m) .

радиоэлектроники

с

к

бытияБелорусскийА в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то веро-

и

−5

−5

−5

государственныйш к

летворяет при

n →м∞ соотношению

n

n

n

университет

от точного значения меньше чем на 0,25%.

Это значение отличаетсяы

Локальная теоремаВ

Муаврат

-Лапласа.

Если вероятность

P

и

появления со-

д

а

информатики

й

е

ятность Pn (m) того, что событие А появится в испытаниях равно m раз, удов-

радиоэлектроники

с

м

m − np

а

е

Белорусский

а

где

q =1 − p,

x =

npq .

x 2

ы

и

ф

е

т

lim

P (m) =

1

1

e−

2

,

В

К

а

n→∞

n

npq

2π

т

м

Другими словами при больших

n

е

е

локальная

имеет место приближеннаяд

формула Муавра-Лапласа

ф

т

а

К

а

м

Функция

государственныйϕ(x) четная,

шпоэтомук

ее значения приведены в таблице для

информатики

и

1йϕ(x),

2

P (m) =

ϕ(x) = 1

e−

x

.

2

n

е

и

npq

2π

радиоэлектроники

с

е

Белорусский■ По формуле Бернуллиа

x > 0.

университет

ы

и

Вероятность того, что изделие окажется бракованным равна 0,005. Какова

т

государственныйш

вероятность того, чтоВв 10000 образцах 40 окажутся бракованными.

и

информатики

й

м

(40)

= C 40

(0,005)40 (0,995)9960 = 0,0197 .

P (m) = P

n

10000

10000

Применимд

асимптотическую формулу Муавра-Лапласа.

к

е

е

40 −10000 0,005

радиоэлектроники

с

т

x =

Белорусский1