государственныйш

информатики

и

Лекция 15

й

и

е

Интервальные оценки параметров распределения

радиоэлектроники

с

к

ем.

е

Белорусский

ы

и

ра θ . Задачууниверситетполучения такого интервала называют интервальным оценивани-

После получения точечной оценки

θ параметра

θ

желательно иметь

В

т

государственныйш

данные о надежности этой оценки. Например, указать интервал

(θ1

,θ

2 )

внутри

которого с вероятностью

p находится точное значение оцениваемого парамети

-

а

информатикис

й

выполнения неравенства θ −θ < ε .

м

вероятностью оценки называют вероятность p =

(1−α)

Доверительнойд

е

е

радиоэлектроники

к

ф

т

Белорусский

ы

и

мПусть вероятность того, что θ −θ < ε равна

университет1−α

а

Обычно доверительная вероятность оценки задается заранее. Наиболее

К

а

В

т

часто полагают 1−α = 0,95; 0,99; 0,9973 .

д

м

а

P (

θ −θ

< ε)=1 −α .

е

е

Эту формулу можно записать так:

ф

P (θ −

ε <θ <θ +ε)=

1−α .т

а

(θ −ε;θ +ε),

Доверительным

интервалом

К

интервала

накры-

называется

вающий неизвестный параметр θ

м

с заданной доверительной вероятностью

p =1−α .

Чем меньше длина доверительного интервала, тем точнее оценка.

Величины

ε, 1−α

и n взаимосвязаны, и,

задавая определенные значе-

государственныйш

ния двум из них, можно определить величину третьей.

и

Общая схема построения доверительных интервалов состоит в следую-

ность распределенияинформатикиf (Y ,θс) .

й

щем.

и

1.

По выборке объема n находитсяе

точечная оценка параметра θ .

2.

к

, имеющая известную плот-

Составляется случайная величина Y (θ)

ло, выбираютсярадиоэлектроникипри условиях:

1

государственныйш

Белорусский1

2

∫

1

2

университет

и

е

c

вероятность 1−α и находят два числа c1

,

3.

Задают доверительнуюы

и c2

В

т c2

информатики

и

д

а

α

α

такие, что

p(c

< Y (θ) < c )=

f (Y ,θ)dy =1 −α .

Значения c и

c

, как правий-

м

радиоэлектроники

с

к

м

а

е

е

p(Y (θ) < c1 )

=

2 ,

p(Y (θ)

> c2 )

=

2

.

ы

и

а

т

университет

В

т

К

4.фПолучают равносильное неравенство

м

Используем указанную схему для нахождения доверительных интервалов

для математического ожидания с.в.

д

x распределенной по нормальному закону

при известном

е

с.в.

x

берем

σ . В качестве оценки математического ожиданияе

выборочное среднее

а

ф

т

К

а

м

и

1 n

x =

∑i=1

x

.

n

й

i

е

и

σ

2

государственный

ш

u.

Как известно

x

→ N

m,

к. Введем в рассмотрение с.в.

Белорусский

информатикис n

и

В

ы

x − m

u

=

u → N (0; 1) .

т

σ

и

а

n

университет

й

Тогда

е

радиоэлектроники

государственныйш

е

д

е

м

uα

uα

к

t2

t2

1

2

−

1

2

−