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государственныйш |
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информатики |
и |
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Лекция 11 |
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||||||||||
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й |
и |
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||||
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е |
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Характеристические функции |
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радиоэлектроники |
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с |
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к |
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||||||
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|||||||
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и |
е |
|||||
Белорусский |
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ы |
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|
и |
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|||||||||
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Простое решение весьма многих задач теории вероятностей, особенно тех |
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университет |
В |
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т |
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||||||
из них, которые связаны с суммированием независимых случайных величин, |
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государственныйш |
|
|||||
удается получить с помощью характеристических функций, теория которых |
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развита в математическома |
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информатики |
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й |
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анализе и известна под именем преобразований Фу- |
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м |
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рье. Этот метод был впервые применен А.М.Ляпуновым в 1900г. при доказа- |
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|
д |
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тельстве центральной предельной теоремы. |
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е |
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с |
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Характеристическойе |
|
функцией |
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(х.ф.) ϕ(t) |
скалярной с.в. X |
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называетсяк |
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радиоэлектроники |
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м.о. случайнойф т |
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величины eitx , |
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Белорусский |
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ы |
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||||||||||||
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t R |
. |
|
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|
университет |
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|||||||||||||||||
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|
Если ϕ(x) - плотность вероятностей си.в. x, |
|||||||||||||||||||||||||||||
а |
а |
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|
M (e |
itx |
|
) |
= |
∞ |
|
itx |
f (x) dx . |
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В |
|
т |
|
||||||||
тоКпо определению ϕ(t) = |
|
|
|
∫e |
|
В общем случае |
ϕ(t) - ком- |
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м |
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X |
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−∞ |
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а |
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|||||
плексозначная функция. Если |
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м |
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||||||||||||
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|
- дискретная с.в. с законом распределения |
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|
∞ |
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pk . |
|
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|
д |
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|||
pk = p(x = xk ) , то х.ф. ϕ(t) = ∑eitxk |
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е |
е |
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||||||||||||||||||||||
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k =1 |
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ф |
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|
тсовместной плотностью |
||||||||||||||
|
Если Z = ( X ,Y ) - двумерный случайный вектор с |
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вероятностей |
f (x, y) , то для него |
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К |
а |
а |
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||||||||||||||||||
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|
ϕ(t, s) = |
∞ |
∞ |
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м |
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||||||||||
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∫ |
∫ |
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||||||||||
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ei (tx+sy) f (x, y) dx dy . |
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||||||||||||||
−∞ −∞
и
|
В случае дискретных с.в. x |
|
и |
|
y |
|
|
с совместным законом распределения |
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государственныйш к |
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1 |
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∞ |
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pke = p(x = xk , y |
= ye |
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и |
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∞ |
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∞ |
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|||||||||
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|
информатикисf (x) |
= |
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|
∫ϕ(t)e−itx dt , аналогично |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
ϕ(t, s) = |
й |
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ei(txk |
+sye ) p |
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. |
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||||||||||||||||||||
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е |
∑∑ |
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ke |
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|||||||
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k =1e=1 |
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||||
|
По формулам обратного преобразованияи |
Фурье мы можем получить |
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|
радиоэлектроники |
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2π −π |
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Белорусский |
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а |
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ы |
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и |
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государственныйш |
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|
университет |
|
В |
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т |
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2π −∞ |
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|
д |
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|
pk = p(X = xk ) = |
|
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∫ϕ(t) e |
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dt . |
информатики |
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й |
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е |
и |
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м |
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к |
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|
Характеристические функции основных законов распределения. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
м |
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В этом случае |
f (t) = b − a |
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a ≤ x ≤ b . |
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|
радиоэлектрониким |
|
с |
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1. |
|
Биномиальный закон |
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Белорусский |
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а |
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е |
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|
|
и |
|
||||||||||||
К |
|
|
е |
|
|
∞ |
|
itk |
|
k |
1 |
|
|
|
n−k |
|
|
|
|
∞ |
k |
|
|
|
it |
университет |
|
it |
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ф |
|
т |
|
|
ϕ(t) = |
∑e |
|
cn |
p |
|
q |
|
|
|
= |
|
∑cn (pe |
|
) q |
|
= (pe |
|
+ q) |
ы. |
|
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||||||||||||||||||||
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|
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k =0 |
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k =0 |
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В |
|
т |
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а2. |
|
Равномерный закон распределения |
|
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а |
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||
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b |
|
eitx |
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eitb −eita |
д |
е |
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|||||||||||
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ϕ(t) = ∫ |
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|
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dx = |
|
|
|
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|
е |
. |
|
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|||||||||
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|
ф |
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|||||||||||||||
|
|
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a b − a |
|
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|
т |
|
|
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|
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|
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|||||||||||
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it(b − a) |
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|||||||||||||
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|
К |
а |
|
|
а |
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|||||
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м |
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||||||||
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|||
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|
государственныйш |
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3. |
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|
|
|
информатики |
и |
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
Нормальное распределение |
N (m,σ 2 ) . |
|
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|
− |
е |
|
и |
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1 |
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(x−m)2 |
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|
|||||||
|
|
Для него |
f (x) = |
|
|
|
|
|
e |
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2σ 2 |
. |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
с |
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|
|
к |
|
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|
|
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радиоэлектроники |
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е |
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Белорусский |
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2πσ |
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а |
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∞ |
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−Ax2 +2Bx−e |
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π |
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− |
Ae−B2 |
й |
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университет |
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ы |
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и |
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1 |
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∞ |
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− |
(x−m)2 |
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A |
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σ |
В |
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т |
ϕ(t) = |
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2πσ |
∫e 2σ |
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dx . |
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государственныйш |
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2t2 |
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−∞ |
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информатики |
и |
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|||||||||||||||
получим |
ϕ(t) = e |
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2 . |
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известной |
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формулой |
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∫e |
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, |
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Воспользовавшись |
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dx |
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м |
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−∞ |
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A |
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к |
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радиоэлектроники, λ > 0 . Тогдам |
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4. |
Закон Пуассона. |
В этом случае pk |
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= k! e |
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при X k |
= k |
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ф |
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т |
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itm− |
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Белорусский |
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м |
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λk |
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университет−λ |
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а |
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σ 2t2 |
В |
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К |
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2 |
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х.ф. |
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ϕ(t) = e |
itm− |
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2 |
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т |
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Итак, для нормального закона N(m,σ |
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itk |
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−λ ∞ (λeit ) |
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it |
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получим |
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ϕ(t) = ∑e |
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e |
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∑ |
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ф |
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= e |
(e |
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k =0 |
k! |
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т |
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5. Экспоненциальный закон распределенияа. |
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f |
(x) = λe |
−λx |
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К |
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x > 0 . |
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∞ |
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∞ |
м |
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λ |
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ϕ(t) = λ∫eitx e−λx dx = λ∫ex |
(it |
−λ) |
= |
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λ −it |
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государственныйш |
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Рассмотрим свойства характеристических функций. |
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1. |
ϕ(0) =1, |
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ϕ(t) |
≤ |
1. |
и |
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2. |
ϕ(−t) =ϕинформатики(t) . с |
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й |
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∞ |
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∞ |
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∞ |
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||||
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Действительно, ϕ(0) = |
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∫ |
|
f (еx) dx =1 |
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ϕ(t) |
≤ |
∫ |
|
|
eitx |
|
|
f )(x) dx = |
|
|
∫ |
f (x) dx =1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ (t) |
= eрадиоэлектроникиϕ (kt) . |
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−∞ |
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к |
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−∞ |
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−∞ |
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Белорусский |
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государственныйш |
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||||||||||||||||||
y |
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x |
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университет |
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∞ |
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∞ |
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−itx |
В |
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|
т |
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itx |
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|
ы |
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и |
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|||||||||
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■ ϕ(−t) = ∫e |
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f (x) dx = |
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∫e f (x) dx =ϕ(t) . |
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|
информатики |
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й |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
д |
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|
|
|
|
ity |
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|
|
|
|
|
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it(kx+b) |
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itb |
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itkx |
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itb |
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−∞ |
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−∞ |
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е |
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|||||
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3. |
Пусть ϕ(t) - характеристическаяа |
функция с.в. |
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x. Если Y = kX +b , то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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itb |
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м |
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.радиоэлектроники |
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с |
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к |
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м |
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ϕx, y (t, s) =ϕx (t) ϕy |
(s) |
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а |
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Белорусский |
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ы |
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и |
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||||||||||||||||
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е |
|
еM (e |
|
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)= M (e |
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= e M (e )= e ϕx |
(kt) . |
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■ ϕy |
(t) = |
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аф |
С.Вт. X и |
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Y |
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университет |
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В |
|
т |
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||
К |
|
4. |
|
|
|
независимы тогда и только тогда, когда |
|
|
х.ф. |
ϕx, y |
(ts) |
с.в. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
равна произведению х.ф. случайных величин . |
X и Y : |
|
а |
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Z = ( X ,Y ) |
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■ |
Пусть |
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X |
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и |
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Y |
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- независимые |
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д |
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м |
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случайные величины. Тогда |
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f (x, y) = f x (x) f y ( y) . |
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ф |
е |
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т |
е |
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а |
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К |
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а |
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м |
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и
и
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государственныйш |
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∞ ∞ |
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|
и |
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|
∞ |
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∞ |
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||||||
Фурье, получим |
информатикиf (x, y) = f |
(x) |
|
|
f |
|
|
( y) . |
|
∫eitx fx (x) dx ∫eisy f y ( y) dy =ϕx (x) ϕy ( y) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕx, y |
(ts) |
= |
|
∫ |
∫ei(tx+sy) |
|
fx (x) |
|
f y |
( y) dx dyй |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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−∞ −∞ |
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е |
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и |
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|||||||||||
|
|
|
Если |
же |
ϕxy (t, s) =ϕx (t) ϕy |
(s) |
, |
|
то |
|
применив |
обратное |
|
преобразование |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
радиоэлектроники |
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с |
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к |
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|
е |
|||||||||||
|
|
Белорусский |
|
|
|
|
|
ы |
|
x |
|
|
и |
|
|
|
y |
|
|
|
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|||||||||||||||||||
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университет |
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|
|
В |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
х.ф. ϕx+y (t) |
|
|
суммы |
|
|
|
X + |
Y |
|
имеет вид |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(k ) |
|
5. |
|
|
Для независимых с.в. X и |
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
еk |
д |
|
е |
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|
государственныйш |
к |
|||||||||||||||||
f x+y = f x |
(t) |
f y |
(t) . |
Действительно в силу независимости X |
|
|
|
и Y |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ |
|
(0) = i αk . |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
it( x+y) |
|
|
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|
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|
|
|
|
ixt |
|
|
|
iyt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i+x |
|
|
|
|
|
|
|
информатикис |
|
й |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕx+y |
(t) = M (e |
)= M (e |
e |
)= M |
(e |
) M (e |
i+y |
). |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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6. |
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м |
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|
= M (x |
k |
), |
|
k = 0, 1, 2,..., |
то |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Если существуют начальные моменты α |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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радиоэлектроники |
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|||||||||||||||||
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|
ф |
|
|
т |
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|
|
|
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Белорусский |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
||||||||||||||||||||||
|
а |
Действительно, продифференцировав |
|
|
|
|
|
|
k |
|
университет |
|
|
t |
|
ыравенство |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
раз |
|
|
по |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕК(t) = |
|
∞ |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
k |
(ϕ(t)) |
|
|
|
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|
∞ |
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|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
В |
|
т |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
∫e |
itx |
f (x) dx , получим |
|
|
|
|
|
= i |
k |
|
|
∫x |
k |
e |
itx |
f (x) dx . |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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k |
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м |
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|
dt |
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−∞ |
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|
а |
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|||||||||
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|
−∞ |
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|
м |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Положив t = 0 , получим |
|
|
d kϕ(0) |
= i |
k |
αk . |
|
|
|
|
|
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|
д |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
dt k |
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
е |
|
е |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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В частности при k = 0, 1, 2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
получим: |
|
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|
|
ф |
т |
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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ϕ (0) =1. |
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а |
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ϕ′(0) = iα1 = iM (x) = imx . |
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К |
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а |
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м |
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ϕ |
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′′ |
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2 |
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|||||||
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(0) |
= −α2 = −(D(x) + mx ). |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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Отсюда M (x) = −iϕ′(0); |
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D(x) = −ϕ′′(0) +ϕ′2 (0) . |
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7. |
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государственныйш |
x |
|
|
|
при малых |
|
t |
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|
справедлива асимптотическая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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Для непрерывной с.в. |
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α |
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2 |
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+ 0(t 2 ), |
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|||||||||||||
формула |
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ϕ(t) =1 +imxt − |
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t → 0 . |
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информатики ′′ |
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|
й |
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2 |
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и |
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||||
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Действительно, раскладываяе |
ϕ(t) |
|
в ряд Маклорена с остаточным членом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в форме Пеано, получаем |
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с |
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к |
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радиоэлектроники |
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|||||||||||
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Белорусский |
|
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|
′ |
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|
ϕ |
|
(0) |
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2 |
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2 |
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|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
университет |
|
|
|
|
ы |
|
|
2 |
и |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
x |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
государственныйш |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ϕ |
|
(t) =ϕ |
(0) |
+ϕ (0) t + |
т |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
+ 0 (t |
|
) =1 +im |
|
t −α |
|
|
|
|
|
|
|
+ 0 (t |
|
), |
|
t → 0 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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В |
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|
t |
2 |
|
|
|
|
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|
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|
|
информатики |
и |
|
й |
|||||||||||
|
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|
д |
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+ 0 (t 2 ) . |
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|||||||||||||||||||||||
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|
При m |
|
= 0 |
и |
|
D(x) =1 |
|
следует ϕ(t) =1− |
|
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x |
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|
а |
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2 |
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е |
||||
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|
Пример. |
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|
м |
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|
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X |
|
+ |
|
Y |
|
|
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|
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|
|
к |
||||||||||||||||||
|
|
|
Найти закон распределения суммы |
|
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|
|
независимых слу- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
м |
|
|
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|
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радиоэлектроники |
|
|
с |
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|||||||||||||||||||
чайных величин распределенных |
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Белорусский |
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а |
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е |
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2 2 |
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пое |
т |
|
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x |
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y |
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|
2 |
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x |
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y |
|
|
|
университет |
|
|
|
|
ы |
|
|
и |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) |
|
нормальному закону N (mx ,σ x ) и |
|
N (my , |
σ y ) ; |
|
|
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|
В |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
бф) по закону Пуассона |
|
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|
x |
(m, λ) и |
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y |
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|
|
µ) |
|
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|
|
итµ . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а |
|
P |
|
|
P |
(m, |
с параметрами |
λ |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
К |
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|
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σxt |
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2 |
2 |
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|
2 |
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2 |
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|
а |
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||||||||
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itm − |
|
|
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|
itm |
|
|
− |
σ yt |
|
|
|
|
|
|
|
|
it(m |
|
+m )− |
σx |
+σ y |
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
■ а) ϕx+y (t) = e |
|
2 e |
|
|
|
2 = e |
|
|
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2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Это |
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характеристическая |
|
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|
функция |
|
|
|
|
|
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|
нормальногод |
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закона |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N (mx + my ,σ x2 +σ y2 . |
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|
а |
ф |
е |
т |
|
е |
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К |
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|
а |
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и
и
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и |
, есть закон Пуассона, для которого |
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характеристическуюинформатикифункциюс |
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б) ϕx+y (t) = eλ(eit −1) eµ(eit −1) |
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й |
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= e(λ+µ)(eit −1) , |
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и |
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т.е. является характеристическойефункцией некоторого закона Пуассона. Со- |
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к |
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гласно теореме единственности, единственное распределение имеющее такую |
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радиоэлектроники |
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университет |
В |
= |
(λ + µ)m e−(λ+µ) |
, m |
≥ 0 . |
государственныйш |
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т |
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P(Z = m) |
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Белорусский |
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государственныйш |
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